微积分第三章导数与微分

calculus第三章导数与微分§3.1导数的概念§3.2导数基本公式和求导运算法则§3.3链法则与隐函数的导数§3.4高阶导数§3.5微分§3.6边际与弹性calculus§3.1导数的概念0().ttfttt设S表示一物体从某个时刻开始到时刻作直线运动所经过的路程，则S是时刻的函数S=求时的瞬时速度.00tttt当时间由改变到时，物体这段时间内所经过的距离为引例1、变速直线运动的瞬时速度00()()Sfttft一、引例calculus（1）当物体作匀速运动时000()()fttftsvtt（2）当物体作变速运动时00stttvt表示从到这一段时间的平均速度0tvv很小时，t且越小，近似程度越好calculus00limtstt当时，如果存在00000lim()()limttsvtfttftt则引例2——平面曲线的切线斜率在点求曲线L：)(xfy),(00yxM处切线的斜率.倾角倾角),,00yxM（已知定点00Nxxyy作动点（，）割线MN切线MTcalculus割线MN的斜率为：tanxxfxxf)()(00xy当x0时动点N将沿曲线趋向于定点M从而割线MN也将随之变动而趋向于切线MT即割线MN的极限位置就是曲线L在点M处的切线MT.0x当时,limtantan切线MT的斜率为：tanklimtanxyx0limxxfxxfx)()(lim000calculus000()()()10yfxxyfxxfxxx定义：设函数在点处的某邻域内有定义，如果函数的改变量与自变量的改变量的比值当的极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000的表达方式有四种等价处的导数，也叫微商，在点函数称为处可导，而上述极限值在点存在，则称00)()(xxfxxf二、导数的定义calculus0000()();|;|;|xxxxxxdfxdyfxydxdx000000()()()limlimxxyfxxfxfxxxx即　定点000fxxxfxxfx如果函数（）在点处可导，也称点为函数（）的可导点，否则称为函数（）的不可导点.000()ttvsft00()xxkyfxcalculus00000xxxxxxxxxxxx我们把终值记为即+，有则就是，故定义的式子可写为：0000000)()(lim)()(limlim)(0xxxfxfxxfxxfxyxfxxxxcalculus()(,)(,)2fxabxabx如果函数在区间内的每一点处都可导，即对内的每一点，都对应着一个确定定义：的导数值),()()(lim)(0baxxxfxxfxfx内的导函数，简称导数在区间数内可导，上述极限为函在区间则称),()(),()(baxfbaxfdxdydxxdfyxf;)(;);(记为calculus[()][()]()dfxfxfxdx我们用或表示的导数运算()[()]()[()]dfxfxfxfxdx即或的区别与联系：)(),(0xfxf注意区别：是一个函数；是一个数)(,)(0xfxf联系：0)()(0xxxfxfcalculus3,()(2).yxfxf求，例已知1.0()()()limxfxxfxfxx解:330()limxxxxx2230222033limlim[33]3xxxxxxxxxxxxx（）（）（）22(2)312xfxcalculus三、导数的几何意义0,0()Mxy切线曲线在点处方程为：000()()yyfxxx0001()()yyxxfx00000()()()(,)().fxxfxyfxMxyxfx若函数在点处有导数，则曲线在对应点处有唯一的一条不垂直于轴的切线，且切线的斜率为0,0()Mxy法线曲线在点处方程为：calculus3(2,8)yx求曲线在点处的切线方程和例2：法线方程.(2)12f解由前例知：,(28)点，处切线方程为：8(2)(2)yfx1216yx即法线方程为：18(2)(2)yxf149126yx即calculus四、左、右导数00000()()0(3())00yfxxxxxxyfxxfxxxx设函数在点的某左邻域，（）内有定义，如果函数的改变量与自变量的改变量（）的比值当定义：的极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000000()(),().fxxfxxfx存在，则称在点处左可导，而上述极限就称为函数在点处的左导数记为calculus0000000()()()()()limlimxxxfxxfxfxfxfxxxx即：处的右导数同样，也可以定义点0x0000()()()limxfxxfxfxx00)()(lim0xxxfxfxx等处的左右导数存在并相在点函数是：处可导的充分必要条件在点函数00)()(xxfxxfcalculus例3.讨论函数||)(xxf在0x处的可导性.解()||fxx,0,0xxxx0()(0)lim0xfxfx(0)f00limxxx10()(0)lim0xfxfx(0)f00limxxx1(0)f(0)f所以,函数||)(xxf在0x处不可导.xyoyx思考000()()()?fxfxfx什么情况下必须用左右导数，来确定calculus五、可导性与连续性的关系00()()fxxfxx若函数在点处可导，则在点处必连续.事实上,因()yfx在0x处可导,即00()limxyfxx存在0limxy0limxyxx00limlimxxyxx0定理所以,函数()yfx在0x处连续.calculus问题：连续是否一定可导？xy020()0xxfxxx　　　　例已知如.()0(0)fxxf在处连续，但不存在结论函数在其可导的点处一定连续函数在其连续的点处不一定可导函数在其不连续的点处一定不可导calculusxy00xxy00xxy00x注意00()()fxxfxx曲线在点处出现下列情况时，函数在点处不可导.（1）曲线()fx处是尖点在点（2）曲线0x()fx()fx在点在点0x0x（3）曲线间断处有垂直切线处calculusP89:T8；P106：T1(1)；T2；T5.作业先看书再做练习calculus(0)xnn而当的整数时，xxnxsinlim0x因为处函数无定义，所以该点处函数间断第二类无穷间断点.0lim1sinxxx但，0x所以是函数的可去间断点，(0)()xnnfx所以的整数为的作业讲评P88.5(2)()0asinxyxcalculusP89.6.xxx)11(lim121lim(1)xxx121ln(1)limxxxe(5).解法1：121lim()xxxe1lim01xxee111,0ln(1)xxxx（时，与等价）解法2：原式=11lim(1)(1)xxxxx1111lim[(1)](1)1xxxeexx121limln(1)xxxecalculus解法3：xxvxxuxxxxlim)(lim,0)1(lim)(lim而0)1(lim)1(limxxxxx10e原式解法4：xxx)11(lim1lim[(1)]xxxxx1lim()lim(1)0xxxuxex1lim()limlim0xxxxvxxx10e原式calculus(4)222)2sin1(lim])1sin1[(coslim)1sin1(coslimxxxxxxxxxxx解法1：2lim,02sinlimxxxxeexxxxxx1122lim2sin2lim，原式而解法2：xxxxxxxx]11sin1cos1[lim)1sin1(coslim）（11lim(cossin1)0xxxxxlimP89.6.calculus11lim(cossin1)xxxx11lim()(1cos)limsinxxxxxx21()11lim()limlim1122xxxxxxxxee1原式221()11111(,0,1cos~,sin~)22xxxxxxxcalculus六、利用导数定义求极限例4：00000()(),()()limhfxxxfxAfxahfxbhch设函数在处可导,且求解00000()()()limlimxxyfxxfxfxxxAhxfhxfxfh)()(lim)(0000由导数定义可知00000000()()lim[()()][()()]limhhfxahfxbhchfxahfxfxbhfxch因此：calculus00000()()()()lim[]hfxahfxfxbhfxchch00000()()()()lim[]hfxahfxfxbhfxabcahcbh00()()abfxfxcc()Aabccalculus0()(3)lim6(0)(0).xfxfxffx已知，且存在，求解答00()(3)()(0)(0)(3)limlimxxfxfxfxfffxxx解：00()(0)(3)(0)lim3lim030(0)3(0)2(0)2(0)6(0)3xxfxffxfxxfffff，故calculus注意分段函数分段点的导数必须用定义求例5：设函数21sin,0(),(0).0,0xxfxfxx求解因为01sinlim0)0()(lim200xxxxfxfxx()0(0)0fxxf所以在处可导，且calculus0()(0)(0)lim0xfxffx20limxxxx例6：解2,0()0ln(1),0xxxfxxxx讨论函数在处是否可导处的左右导数在点必须先求所以处两侧的表达式不同因为在点0)(0xxf，x0lim11xx（）calculus0()(0)(0)lim0xfxffx0ln(1)lim1xxx(0)f(0)1f()0fxx所以在处可导，xy0xy2,0()ln(1),0xxxfxxx(0)1f且()(0,0)fxyx说明曲线在点处的切线为：calculus00220lim()limxxxxfxxx000lim()lim()xxxxfxaxbaxb200()fxx方法一：.,,,,)(0002baxxxxbaxxxxxf求处可导在设函数例7：解而处也必连续在点所以处可导因为在点，xxxf，xx00)(calculus200xaxb所以200,()