2.2 控制系统的复数域数学模型

1、第二章控制系统的数学模型2-1控制系统的时域数学模型2-2控制系统的复数域数学模型2-3控制系统的结构图与信号流图2-4控制系统建模实例2-2.复域数学模型1.传递函数的定义和性质2.传递函数的零点和极点3.传递函数的极点和零点对输出的影响4.典型元部件的传递函数控制系统的微分方程：是在时域描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出响应。但系统中某个参数变化或者结构形式改变，便需要重新列写并求解微分方程。传递函数：对线性常微分方程进行拉氏变换，得到的系统在复数域的数学模型为传递函数。传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。传递函数是经典控制理论中最基本也是最重要的概念。1.传递函数定义和性质定义：线性定常系统的传递函数，是在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。设：线性定常系统由n阶线性常微分方程描述)()(...)()()()(...)()(1111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnnnnn。

2、n关的常系数。是与系统机构和参数有和是输入量是输出量；式中：),,2,1(),,2,1(,)()(mjbniatrtcji时的值都为零，即：导数在及其各阶和初始条件下，由传递函数定义，在零0)()(ttctr0)0()0()0()1(mrrr0)0()0()0()1(nccc)()...()()...(11101110sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn变换，得：对方程左右两边取拉氏)()(......)()()(11101110sNsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm(2-37)nnnnmmmmasasasasNbsbsbsbsM11101110...)(,...)(式中，一个控制系统性能的好坏，取决于系统的内在因素，即系统的结构参数，而与外部施加的信号无关。因而，对于一个控制系统品质好坏的评价可以通过对系统结构参数的分析来达到，而不需要直接对系统输出响应进行分析。例2-8试求例2-1RLC无。

3、源网络的传递函数Uo(s)/Ui(s)。)()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo0)0(')0(oouu初始条件：时取拉氏变换：解：方程左、右两边同)()()1(2sUsURCsLCsio11)()()(2RCsLCssUsUsGio(2-38)(2)传递函数的性质①传递函数是复变量s的有理真分式函数，且具有复变量函数的性质(s=δ+jβ)，且m≤n，所有的系数均为实数。11)(2RCsLCssG②传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式，它只取决于系统的和参数，而与输入量的形式无关，也不反映系统内部的任何信息(即工作状态)。式中，L、R、C均是系统参数。如传递函数：因此，可以用方块图来表示一个具有传递函数为G(s)的线性系统。)()()C(sRsGs图中：)()()(sRsCsG或：G(s)R(s)C(S)图2-8传递函数的图示③传递函数与微分方程有互通性。a)传递函数分子多项式系统和分母多项式系数，分别与相应的微分方程的右边和左边的系数相对应。b)将微分方程中的算符d/dt用复数s替换即得到传递函数；反。

4、之将传递函数中的变量s用算符d/dt替换即得到微分方程。212021)()()(asasabsbsRsCsG)()()()(212120sRbsbsCasasa)()()()()(2121220trbtrdtdbtcatcdtdascdtda例：由传递函数求系统微分方程。解：由传递函数，可得s的代数方程在零初始条件下，用算符d/dt替换s变量，即得微分方程:④传递函数G(s)拉氏反变换是脉冲响应g(t)。)()()()(sGsRsGsC设：单位脉冲δ(t)作用于系统G(s)，其输出为C(s)1)]([)(tLsR)]([)]()([)]([)(111sGLSRSGLsCLtg控制系统的零初始条件有两方面的含义：一是指输入量是在t≥0时才作用于系统，因此，在t=0-时，输入量及其各阶导数都为零；二是指输入量加于系统之前，系统都处于稳定的工作状态，即输出量及其各阶导数在t=0时的值也为零，现实的工程控制系统多属此类情况。　nnnnmmmmasasasabsbsbsbsG11101110......)(2.传递。

5、函数的零点和极点设系统的传递函数为：轨迹增益）称为传递系数（或：根系数00abK将上式的分子和分母多项式经因式分解后，可得：njjmiinmpszsKpspspsazszszsbsG11210210)()())...()(())...()(()(zi(i=1,2,…,m)是分子多项式的零点，称为传递函数的零点；pj(j=1,,2,…,n)是分母多项式的零点，称为传递函数的极点。(2-41)如何确定传递函数的零点、极点1.将传递函数的分子、分母多式分解成因式之积，并消去公因子，即得传递函数的零点、极点。2.零点在分子，极点在分母。3.零点和极点可以是实数或共轭复数。4.在s平面上：零点用“○”表示。极点用“×”表示。jS平面传递函数的零极点分布图传递函数有时也分解成为：)1)...(12)(1()1)...(12)(1()(2222122221sTsTsTsTassssbsGjnimKabpzKGnmnjjmii11)()()0(当s＝0时，共轭复数零、极点。　　对应二次因子：；　　等对应实数零、极点式中。

6、：一次因子：12,121,12222222211sTsTsssTs(2-42)为传递系数或增益。＝称为时间常数　nmjiabKT,,(2-42)——时间常数表达式；(2-41)——所示的表达式为零极点表达式。区别零、极点与时间常数(Ts+1),尾1型表达式中，T为时间常数；T(s+1/T),首1型表达式中，－1/T为零、极点根轨迹增益K*与系统增益KK*=b0/a0,a0、b0为分子、分母的最高项系数;K=bm/an,an、bm为常数项。)1)...(12)(1()1)...(12)(1()(2222122221sTsTsTsTassssbsGjnim))...()(())...()(()(210210nmpspspsazszszsbsG00abKnmabK•传递函数的极点就是微分方程的特征根。3.传递函数的极点、零点对输出的影响设某系统的传递函数为：)2)(1()3(6)()()(ssssRsCsG其极点为p1=-1,p2=-2,零点为z1=-3。ttee2和自由运动的模态是5)()(2152。

7、1srsrsRerrtrt时，即当输入可求得系统的零初始条件响应为：)2)(1)(5(])5)[(3(65)2)(1()3(6)]()([)]([)(21121111sssssrrssLsrsrsssLsRsGLsCLtcttterrerrerrsssssrrssLsCLtc221125212111)23()123(9)2)(1)(5(])5)[(3(6)]([)(传递函数的极点可以受输入函数的激发，在输出响应中形成自由运动的模态。零点不形成自由运动的模态，但影响着系统响应曲线的形状。33.1)(5.0)(21)2)(1(25.1)()2)(1(24)(22112121zsGzsGppSSSsGSSSsG的零点是：　　　　　　　　　　的零点是：但它们的零点不同：　　；它们具有相同的极点：　　　例：对比下述传递函数，tttteeSSSSLtceeSSSSLtc2122115.05.01)2)(1(25.1)(321)2。

8、)(1(24)(响应：所以，它们的单位阶跃在c1(t)、c2(t)中，它们的自由模态相同这是因为它们有相同的极点，它们按相同的规律衰减。但它们的衰减系数不同，这是因为它们的零点不同tC(t)1C1(t)C2(t)tttteetceetc22215.05.01)(,321)(33.1-0.5,21zzj01××-1-2z2z1G1(s)的零点z1接近原点，距两个极点的距离都比较远，因此，两个模态所占比重大且零点z11的作用明显；G2(s)的零点z2距原点较远且与两个极点均相距较近，因此，两个模态所占比重就小。推论：如果系统中某一零点和某一极点重叠，p=z，则该极点的影响消失。即零、极点对消。4.典型环节的传递函数E：电源电压；θmax：电位器最大角位移电位器传递系数—其中　max11,)()(EKtKtuu(t)θ(t)0(1)、电位器：电位器是一种把线位移（直线型电位器）或角位移（旋转型电位器）变换为电压量的装置。忽略非线性因素，空载时，电位器的电刷位移θ(t)与输出电压u(t)的关系。

9、：(2-43)，得求拉氏变换，并令对)]([)()],([)()()(1tLstuLsUtKtu1)()()(KssUsG(2-44)上式表明，电位器的传递函数是一个常量，输出量与输入量成正比。这个环节称为比例环节。1)()()(KssUsGK1θ(S)U(S)比例环节方块图(2)、测速发电机：用来测量角速度，并将角速度转换成电压量。量　　　　角速度为输入)()(tKtut　　以角位移为输入量则：dttdKtudttdtt)()(,)()(例系数）输出斜率（或称为：比式中：为输入量　以或：为输入量　　　　以两式分别取拉氏变换：在零初始条件下，对上:)()()()()()()()(tttKtsKssUsGtKssUsG所以，测速发电机，在以角速度为输入量是比例环节；以角位移为输入量是微分环节。KtΩ(s)U(s)KtsΘ(s)U(s)比例环节方块图微分环节方块图(3)、伺服电动机：伺服电动机根据其输入、输出变量不同有几种模型。c.以角速度Ωm(s)与电磁力矩Mc(s)的关系，是惯性环节。a.以角速度Ωm(s)与电枢电压的关系Ua(s。

10、)，是惯性环节。b.以角位移Θm(s)与Ua(s)关系，是惯性加积分环节。12sTKmMc(s)Ωm(s))1(1sTsKmUa(s)Θm(s)11sTKmUa(s)Ωm(s)典型环节的传递函数：任何一个复杂的控制系统都可分解成由几个简单的环节组成，称为典型环节。(1)比例环节又称放大环节。KsRsCsG)()()(运算关系：0),()(ttKrtc传递函数为：(2)惯性环节惯性环节的输出响应需要一定的时间才能达到稳态值，故称为惯性环节,又称非周期环节。1)()()(TsKsRsCsG其传递函数为：)()(d)(dtKrtcttcT微分方程(3)积分环节:符合积分运算关系的环节称为积分环节。sKsRsCsG)()()(传递函数为：tdttrKtc0)()(微分方程：(4)微分环节:符合微分运算关系的环节称为微分环节传递函数为：TssRsCsG)()()(ttrTtcd)(d)(微分方程：(5)二阶环节传递函数为：无阻尼自然振荡频率：阻尼比　　　　　:2)()()(222nnnnsssRsCsG(6)延迟环节:具有纯时间延迟传递关。