北师大版数学九年级上册第一章&2矩形的性质与判定

2学习目标1、能用综合法证明矩形的性质定理、判定定理以及相关结论；2、能用矩形的性质进行简单的证明与计算．复习回顾请从边、角、对角线三个方面说一说平行四边形有哪些性质？边：对边平行且相等；角：对角相等；对角线：对角线互相平分．一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟，一天，师傅有事外出，两徒弟就自已在家练习用两块四边形的废料各做了一扇矩形式的门，完事之后，两人都说对方的门不是矩形，而自已的是矩形。甲的理由是：“我用角尺量我的门任意三个角，发现它们都是直角。所以我这个四边形门就是矩形”。乙的理由是：“我用直尺量这个门的两条对角线，发现它们的长度相等，所以我这个四边形门就是矩形”。根据它们的对话，你能肯定谁的门一定是矩形。4课程引入矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。深入思考：你还有其它的判定方法吗？ABCD∠A=900四边形ABCD是矩形5思考ABCDABCD一个角变形成直角小结：（1）矩形的形成过程是平行四边形的一个角由量变到质变的变化过程．（2）矩形只比平行四边形多一个条件：“一个角是直角”，不能用“四个角都是直角的平行四边形是矩形”来定义矩形．定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．知识小结四边形集合平行四边形两组对边分别平行一个角是直角矩形四边形平行四边形集合矩形集合知识小结如果四边形ABCD的对角线AC=BD,这样的四边形是不是矩形?ABCDAC=BDABCDAC=BD都不是矩形8深入探究O如果一个平行四边形的对角线变成相等呢？ABCD将AC同时向两边拉长，使AC=BDOABCD现在的ABCD会是一个什么图形？9知识探究情境一：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？猜想：对角线相等的平行四边形是矩形。10知识引入定理:对角线相等的平行四边形是矩形.已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.求证:平行四边形ABCD是矩形.DBCA分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.证明:∴AB=CD,AB∥CD.∵AC=DB,BC=CB.∴△ABC≌△DCB.∴∠ABC=∠DCB.∵四边形ABCD是平行四边形.∵∠ABC+∠DCB=180°.∴∠ABC=90°.∴四边形ABCD是矩形.知识引入对角线相等的平行四边形是矩形。矩形的判定方法：几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形AC=BD∴四边形ABCD是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）ABCDO（或OA=OC=OB=OD）12四边形集合平行四边形两组对边分别平行对角线相等矩形四边形平行四边形集合矩形集合知识小结有一个角是直角有两个角是直角的四边形是矩形吗？有三个角是直角ABDC(有一个角是直角)ABDC(有二个角是直角)ABDC(有三个角是直角)14情境一：李芳同学用“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？猜想：有三个角是直角的四边形是矩形。你能证明上述结论吗？15定理:有三个角是直角的四边形是矩形.已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.分析:利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形是平行四边形,可使问题得证.证明:∵∠A=∠B=∠C=90°.∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.∴AD∥BC,AB∥CD.求证:四边形ABCD是矩形.∴四边形ABCD是平行四边形.DBCA∴四边形ABCD是矩形.结论：矩形的判定方法：有三个角是直角的四边形是矩形。ABCD∵∠A=∠B=∠C=90°∴四边形ABCD是矩形几何语言：17四边形集合三个角是直角矩形四边形平行四边形集合矩形集合知识小结有一个角是直角的平行四边形是矩形。对角线相等的平行四边形是矩形。（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）有三个角是直角的四边形是矩形。方法1：方法2：方法3：19归纳小结矩形的三种判定方法定理:矩形的四个角都是直角.已知:如图,四边形ABCD是矩形.分析:由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证.证明:∵四边形ABCD是矩形.∴∠A=90,四边形ABCD是平行四边形.∴∠C=∠A=90,∠B=180-∠A=90,∠D=180-∠A=90.求证:∠A=∠B=∠C=∠D=90.∴四边形ABCD是矩形.DBCA拓展延伸定理:矩形的两条对角线相等.已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.求证:AC=BD.证明:∵四边形ABCD是矩形.∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°.分析:根据矩形的性质,可转化为全等三角形(SAS)来证明.DBCA∵BC=CB.∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=DB.拓展延伸定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.求证:△ABC是直角三角形..21ABCD已知:CD是△ABC边AB上的中线,且EABCD分析:要证明△ABC是直角三角形,可以将点A,B,C构造平行四边形,然后证明其对角线相等,即可证明是矩形.拓展延伸下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？（1）对角线相等的四边形是矩形；（）（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（）（3）有四个角是直角的四边形是矩形；（）（4）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（）XX√√跟踪训练∠A=∠B=∠C=90°ABCDAC=BDABCD∠A=90°ABCD是矩形四边形ABCD是矩形谈一谈，今天你有何收获？1.判定一个四边形是矩形的方法是：本节课我们学习了什么内容，你能总结吗？小结思考有一个角是直角的平行四边形是矩形。对角线相等的平行四边形是矩形。（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）有三个角是直角的四边形是矩形。方法1：方法2：方法3：25通过本课时的学习，需要我们掌握：1、矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等；（3）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.2、矩形的判定定理：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形.3、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半.本章小结1．如图所示，已知□ABCD，下列条件：①AC=BD，②AB=AD，③∠1=∠2，④AB⊥BC中，能说明□ABCD是矩形的有（填写序号）.２１ＤＣＢA解析：根据对角线相等的平行四边形是矩形；矩形的定义.答案：①④随堂练习2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底边上的高，E为AC的中点，则DE＝．解析：根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，DE等于AC的一半，所以DE=4.答案：4随堂练习3．如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．（1）求∠CAE的度数；（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．解析：（1）在等边△ABC中，∵点D是BC边的中点，∴∠DAC＝30º，又∵等边△ADE，∴∠DAE＝60º，∴∠CAE＝30º.EFDABC随堂练习（2）在等边△ABC中，∵F是AB边的中点，D是BC边的中点，∴CF＝AD，∠CFA＝90º，又∵AD＝AE，∴AE＝CF，由（1）知∠CAE＝30º，∴∠EAF＝60º+30º＝90º，∴∠CFA＝∠EAF，∴CF∥AE，∵AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵∠CFA＝90º，∴四边形AFCE是矩形．4．已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、N分别为BC、AD的中点．求证：四边形BMDN是矩形．证明：在正三角形ABD和BCD中，M、N分别为BC、AD的中点.∴BN⊥AD，DM⊥BC，∠DBC=60°，∠BND=∠DMB=90°，∠NBD=30°.∴∠NBM=90°.∴四边形BMDN是矩形.随堂练习5、已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5cm.求矩形对角线的长.解:∵四边形ABCD是矩形.∴AC=BD,且∴OA=OD.∵∠AOD=120°.∴∠ODA=∠OAD=∵∠DAB=90°.∴BD=2AB=2×2.5=5(cm)..AC21OCOADBCAO.BD21ODOB.302120180000你认为本题还可以怎样解？随堂练习