二阶系统的阶跃响应

第三章时域分析法第二节二阶系统的阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的动态性能分析（动态指标求取）二阶系统的其他输入响应一、二阶系统的阶跃响应典型二阶系统的结构图闭环传递函数为一、二阶系统的阶跃响应特征方程特征根显然阻尼比不同，特征根的性质就不同，系统的响应特性也不同。下面我们将对阻尼比取不同值时，对系统的影响作出讨论。一、二阶系统的阶跃响应当系统有两个正实根单位阶跃响应为式中看出，指数因子具有正幂指数，因此系统的动态过程为发散的形式1)1(12)1(121)(22)1(22)1(22ttnneeth一、二阶系统的阶跃响应当系统有两个正实部虚根单位阶跃响应为式中看出，指数因子具有正幂指数，因此系统的动态过程为发散正弦振荡的形式总之，阻尼比小于零时，二阶系统不稳定)1sin(121)(22tethntn01)1arctan(2一、二阶系统的阶跃响应当系统有一对纯虚根单位阶跃响应时可以算出系统的阶跃响应为等幅振荡，振荡频率为自然频率，此时为无阻尼情况。0njs2,12221)()()(nnsssGsRsC一、二阶系统的阶跃响应当系统有一对具有负实部的共轭复数根对应于s平面左半部的共轭复数极点，相应的阶跃响应为衰减振荡过程，此时系统为欠阻尼情况。（后面将继续对欠阻尼情况作出进一步的讨论）10122,1nnjs一、二阶系统的阶跃响应当特征方程有两个相等的实根单位阶跃响应为相应的阶跃响应非周期地趋向于稳态输出，此时系统为临界阻尼情况。1122,1nns22)(1)()()(nnsssGsRsCnnnsss1)(12)1(1)(tetcntn一、二阶系统的阶跃响应当系统有两个不相等的负实根单位阶跃响应为对应于s平面两个不相等的实极点，相应的阶跃响应非周期地趋于稳定状态，但响应速度要比临界阻尼慢。此时系统为过阻尼情况。1122,1nns1/1/1)(21/12/21TTeTTetcTtTt一、二阶系统的阶跃响应上式中由此可见阻尼比的值决定了系统的阻尼程度。)1(1)1(12221nnTT一、二阶系统的阶跃响应具体讨论欠阻尼情况下的阶跃响应当系统有一对具有负实部的共轭复数根若令称为衰减系数，为有阻尼振荡频率10122,1nnjs21,ndndjs2,1d一、二阶系统的阶跃响应当时，由传递函数性质有拉氏反变换得其中10222222222)()(122112)()()(ddnnnnnnsssssssssssGsRsCsssR/1)()sin(111)(2tetcdtnarccos由上式看出，二阶系统的单位阶跃响应由两部分组成:稳态分量为1，表明系统在单位阶跃信号作用下不存在稳态位置误差；瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为，称为阻尼振荡频率，瞬态分量的衰减速度取决于指数函数的幂，称为衰减系数。d)sin(111)(2tetcdtn二阶系统的阶跃响应经过实验知，过阻尼和临界阻尼响应曲线中，临界阻尼响应速度最快；欠阻尼响应曲线中，阻尼比越小，超调量越大，上升时间越小，通常取阻尼比在0.4-0.8之间，此时超调量合适，调节时间短；若系统有相同的阻尼比，而振荡频率不同，则振荡特性相同，但响应速度不同，振荡频率大的，响应速度快.二、二阶系统的动态过程分析控制工程中，一般选取适度的阻尼比，较快的响应速度和较短的调节时间。1、延迟时间td的计算在中，令，得解之得欠阻尼下用近似描述ndt22.06.01)sin(111)(2tetcdtn5.0)(dtc221)arcsin1sin(2ln1dndnttndt7.01二、二阶系统的动态过程分析2、上升时间tr的计算在中，令，得解之得drt)sin(111)(2tetcdtn1)(dtc0)sin(112rdtternarccos二、二阶系统的动态过程分析3、峰值时间tp的计算在中，将求一阶导并另其为零。整理得解之得dpt)sin(111)(2tetcdtn21)tan(pdt21nd)(tc二、二阶系统的动态过程分析4、最大超调量的计算在中，将代入得因为则解之得，因为则超调量为%100%21/e)sin(111)(2tetcdtn)sin(111)(21/2etcp%pttcos21)sin(21/1)(etcp1)(c二、二阶系统的动态过程分析由上式表明，仅是阻尼比的函数，与自然频率无关。超调量与阻尼比的关系曲线如图。可见，阻尼比越大，超调量越小，反之亦然。一般取阻尼比在0.4-0.8时，超调量介于1.5%-25.4%之间。%n二、二阶系统的动态过程分析5、调节时间的计算在中，是对称于的一对包络线，整个响应过程都是在这一对包络线内进行的，为计算方便，常采用包络线代替实际响应曲线，来估算调节时间则解之得，近似为若误差带为0.02，则02.005.0112或tne)sin(111)(2tetcdtntne2111st5.35.3nst)105.0ln(12nst1)(c5.45.4nst二、二阶系统的动态过程分析由此可见，越大，越小，若一定，则调节时间与成反比。这与，，与的关系是不一样的。根据以上分析，如何选取和，来满足系统设计要求，总结如下：1、当一定时，要减小和，必须减小的值，要减小则应增大。但注意是有一定范围的。2、增大，能使，和减小。3、超调量只由决定；越小，越大。n%stnstdtptrtnnrtptstnrtptst%-R(s)C(s)二、二阶系统的动态过程分析要求：能熟记以上动态性能指标在欠阻尼下的求取公式，及求取方法（便于非欠阻尼下的计算）例：设系统结构图如下，若要求系统具有性能指标，，试确定系统参数K和τ，并计算单位阶跃响应的特征量，，和。)1(ssK%20%stp1rtsts1dt三、二阶系统的其他输入响应线性定常系统的重要特性1、对于零初始条件下的线性定常系统，若输入为其对应的输出为，拉氏变换为2、若输入变为，其拉氏变换为这时系统输出为则拉氏反变换为即，当输入为原来输入的导数时，输出也变为原来输出的导数)(tr)(tc)()()(sGsRsCttdrtr)()(1)(])([)(1ssRttdrLsR)()()()()()(11ssCssRsGsRsGSCttdctc)()(1三、二阶系统的其他输入响应3、当输入变为时，拉氏变换为对应的输出变为对上式拉氏反变换为即，输入变为原来的积分时，输出也变为原来的积分。)(1)()()(22sCssRsGsCdttrtr)()(2)(1)(2sRssRdttctc)()(一、单位脉冲信号是单位阶跃信号的一阶导数，所以系统的单位脉冲响应也为单位阶跃响应的一阶导数。二、单位斜坡信号和单位加速度信号是单位阶跃信号的一重二重积分，所以系统的单位斜坡响应好单位加速度响应也为单位阶跃响应的一重积分和二重积分。结论