二元正态分布定义

3.3多维随机变量及其分布一、多维随机变量及其联合分布函数定义1：如果是概率空间上的n个随机变量，那么称向量（）为n维随机变量或n维随机向量。定义2：对，称为n维随机变量的联合分布函数。12,,,n(,,)FP12,,,n12(,,,)nnxxxR121122(,,,)(,,,)nnnFxxxPxxx12(,,,)n【注】为方便，我们重点讨论二维随机变量2(,)xyR(,)。此时，有(,)(,)FxyPxy。由上述得：F(x,y）是二维随机变量落入图中阴影部分的概率。（，）●（x，y）xy显见：落入任一矩形内的概率：（，）1212{(,):,}xyxxxyyy121222122111(,)(,)(,)(,)(,)PxxyyFxyFxyFxyFxy1x2x1y2y····xy定理1：二维随机变量（，）的联合分布函数F(x,y)具有如下的基本性质：F（x，y）对每个变元是非降的；F（x，y）对每个变元左连续；F（-∞，y）＝0，F（x，-∞）＝0,F(-∞,+∞）=1【注】(,)lim(,)(,)lim(,)(,)1xyFyFxyFxFxyFlim(,)xyFxy22122111(,)(,)(,)(,)0FxyFxyFxyFxy定理2：n维随机变量的联合分布函数具有如下性质：对每个变量是非降的；对每个变量是左连续的；对任意的实数，12(,,,)n12(,,,)nFxxx12(,,,)nFxxx12(,,,)nFxxx1212lim(,,,)0lim(,,,)1iinxnxFxxxFxxx1,iniiab1,in111222121212112(,,,)(,,,)[(,,,)(,,,,)(1)(,,,)0nnnnnnnnnPabababFbbbFabbFbbbaFaaa二、二维连续型随机变量定义：如果二维R.V.的联合分布函数F（x，y），存在非负可积函数p（x，y），使得那么，称F（x，y）是连续型联合分布函数，并称是二维连续型R.V。此时，也称p（x，y）为的概率密度函数。（，）(,)(,)yxFxyPdd（，）（，）的联合密度函数p(x,y)具有如下性质：p(x,y)≥0在p(x,y)的连续点(x,y)处有G是平面上某一区域，则（，）(,)(PxydxdyF，）＝12F(,)(,)xyPxyxy{(,)}(,)GPGpxydxdy边际分布()(){()}{()()}{()()}{,}lim{,}lim(,)(,)yyFxPxPxPxPxPxPxyFxyFx()(,)yFy同理：FF(x,y)的边际分布函数()(,)(,)[(,)]xxFxFxpddpdd()(,)Pxpxd()(,y)Pxpxdy即()(,y)xPxpxd同理：p(x,y)的边际p.d.f三、常用的二维连续型分布1.均匀分布设是一平面区域，其面积为，向内随机地投一点，表示投点的坐标，由几何概型知：对任一区域,有()(,)2BR()((,))()BPB假设1,(,)()(,)0,xypxy其它显然：((,))(,)BPBpxydxdyp(x,y)是随机变量服从区域上的均匀分布(,)注：D,(,)0,(,)xyDxyD特别地，当为矩形={(x,y)：axb,cyd}，则1p(x,y)=(b-a)(d-c)可以把二维区域上的均匀分布推广到n维区域上的均匀分布【例1】设，求边际分布(,)(,,,)abcd～【解】1,P()0,axbxba其它1,(y)0,cydPdc其它(,)(,)abcd即：～～【注】1.上的二元均匀分布可推广到m维区域上的均匀分布。2.可推广到n次矩形体上的多元均匀分布。(,;,)abcd附：(,)(,;,)(,)..(,)0,()(),,()(),,(,),,1,,abcddfFxyxaycxaycaxbcydbadcycxbcydFxydcxaaxbydbaxbyd当～时，则不难求出的联合：或2.二元正态分布（1）二元正态分布定义2211212221212()()()()1[2]2(1)212121212221212221212..1p(,)21,,,,001,,,,),,,,)xaxayayappdfxyepaaaaaa如果（，）的联合为是五个常数，且，，，那么称(,)服从参数为(的二元正态分布。记为(,)～N(。（2）二元正态密度的性质(,)0Pxy(,)1pxydxdy2121()211()(,)2xaPxpxydye2222()221()(,)2yaPypxydxe【例1】2221(,)(1sinsin),,2(,)1xypxyexyxRyRpxydxdy，可见P(x,y)0，且(,)..pxypdf是联合，易求出：221()2xPxe221()2yPye(0,1)N～(0,1)N～两个边际分布都是正态的，但它们的联合分布可以不是二元正态四、随机变量的独立性定义：22()()(,)()(),(,),(,)()(),(,),xFyPxyPxPyxyRFxyFxFyxyR设(,)的联合d.f为F(x,y),边际d.f为F，。如果或那么称与相互独立。定理12(,)(,)..,(),()..(,)()(),(,)xypdfPxPypdfPxyPxPyxyR设P是的联合是边际，则和相互独立定理2,),(,)()()jijiiyPijNPxPiNi设二维离散型R.V.(,)的联合分布列为P(=x边际分布列为()()jjPyPjNijijPPP则与相互独立思考题把定理1和定理2推广到n元的情形【例2】..0,pdf设（，）的联合为：8xy,0xy,0y1P(x,y)=其它问与是否相互独立？【解】344,01P()0,xxxx其它34,01(y)0,yyP其它定理3221212(,)(,,,,),0N设～则与相互独立＝()()xPy由此可见：当点(x,y)图中阴影部分时，P(x,y)P与不相互独立