正交化方法-特征值与特征向量

1教学目的掌握基与正交基的定义，掌握向量内积与长度的概念与性质，掌握正交向量组的性质与基的正交化方法。掌握特征值与特征向量概念，会求矩阵的特征值与特征向量作业重点正交基与基的正交化方法练习册交：P37-P38和P41－42难点同上讲授方法投影与板书结合讲授内容主线基－坐标－内积－长度－正交－正交组－正交基－求与已知向量正交的向量－正交组性质－正交化方法－特征值与特征向量－特征多项式－特征向量求法内容概括任意最大无关组组成的基经过施密特正交化以后，可变成以内积、长度和施瓦茨不等式为基础定义的规范正交基。特征值与特征向量则依赖于行列式和齐次线性方程组求解。班级：时间：年月日；星期第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量2友情提示本次课讲第五章第一、二节，向量组的内积与正交，特征值概念下次课讲第五章第二三节，特征值，相似矩阵与对角化下次上课时交作业P41～423一、向量空间的最大无关组——基的概念1.基的定义设V为向量空间，如果r个向量∈V,满足raaa,,,21（i）线性无关；raaa,,,21（ii）V中任一向量都由线性表示，raaa,,,21那么，向量组称为向量空间V的一个基,raaa,,,21r称为向量空间V的维数，并称V为r维向量空间.特别地：如果向量空间V没有基则V的维数为0。0维向量空间只含一个零向量0.2.结论1：任何n个线性无关的n维向量都是向量空间Rn的一个基，由此可知Rn的维数为n.分析：因为任意n＋1个n维向量线性相关，所以按照线性相关的线性表示定理，任意一个无关向量以外的n维向量都能由这n个线性无关的n维向量线性表示。显然，n个无关向量可自身表示，故以上结论成立。第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量44.向量由基线性表示的系数——坐标一个基的基础解系是其解集的：齐次线性方程组结论02Ax3.过渡矩阵概念：的过渡矩阵到基为由基则称，使得：矩阵如存在、有两个基设向量空间BACACBCBABAVrr,.,,:,,,:,2121第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量可表示为：的一个基，则是向量空间若向量组VVaaar,,,21}/{12211RaaabbVrrr，，，中的坐标在基是向量数组rraaab,,,,,2121线性表示坐标有解，解的列向量就是表示即线性用基表示，则向量向量组用设向量空间的基组成的系数，用基向量组线性表示的是在基中的坐标实际上就bAXAbAbb}/{12211RaaabbVrrr，，，5例4:设1231222114,,212,(,)03,12242AaaaBbb验证是R3的一个基，并求在这个基中的坐标.321,,aaa21,bb解表示系数）的列向量即坐标（线性有解，解用基表示，即基，的一个线性无关，它就是只要维向量组成的向量组，是由xBAxbbRaaaA213321,,,3243041221212122BA|2422178630699001320103211003432001322021132010321100因R(A)=3，故为R3的一个基，321,,aaa第十二讲：方程组解的解构与向量空间6且,32323211aaab.32343212aaab32,1,341,3232,21和，的坐标分别为：bb____21,11:11,01:440521212的过渡矩阵为：到的基从分），数学一，（例题BARBACACBCBA1,即，则的过渡矩阵为到基分析：从基的解即），（），（－BAXBAC,2112112132),(211032012110320121101111),1CBAEBA所以，应填～～～（第十二讲：方程组解的解构与向量空间7与基础解系的解集SAx0rAA最大无关组与其向量组rAV与其基向量空间有解即组中向量线性表示BxABAArr同解方程组求解00,~),(rnrrDEBA)0,,0,1,0,,0(irneD量向量为列为自由变量令自由变rnrn，，，个无关解即解集的基得21rnSR)(解集秩rAR)(向量组秩rVR)(空间的维方程组求基础解系同解00,~rnrDEA秩与最大无关组（行阶梯）求~A成其最大无关组线性无关向量组个维空间任意nn有解即组中向量线性表示BxABVArr同解方程组求解00,~),(rnrrDEBA数的列向量即线性表示系rnDrnrnkkx11通解的坐标在的列向量即rrnABD第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量8二、向量的内积与长度1.内积的定义定义1设有n维向量,21nxxxx,21nyyyyxyyxyxTT，由矩阵运算，显然：记作,的内积、为向量称YXyxyxyxyxnnT22112.内积的性质设x,y,z为n维向量，λ为实数.(i);,,xyyx性质）然：（由矩阵运算性质，显xyyxTT(ii);,,yxyx)]()[yxyxTT显然：（(iii);,,,zyzxzyx结论成立。证：zyzxzyxzyxTTTTT)()((iv),0,xx且当时有0x.0,xx第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量922112222212122211221212)(],[),(),,(yxyxyxyxyxyxyxyyyxxx则：设对于施瓦茨不等式，我们证明2维向量的情形,,,.2xyxxyy（V）施瓦茨不等式212222212222212122212221))((],][,[yxyxyxyxyyxxyyxx21222121222121212222212122yxyyxxyxyyxxyxyx22122122122122211],[)(],[)()(yxyxyxyxyxyxyxyx＝3.向量的度量：（长度的概念及其性质)定义2令xxx,,22221nxxxx称为n维向量x的长度（或范数）.向量的长度（范数）有下列性质：1.非负性当时，0x;0x当时，0x;0x第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量102.齐次性;xx3.三角不等式.yxyx当时，1x称为单位向量.x2,,,xyxxyy,,,xyxxyy2,2,,,xyxxxxyyyy2222()xxyyxy.xyxy2,,2,,xyxyxyxxxyyy证:用施瓦茨不等式来解析[x,y]第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量111.正交向量组的概念的引入：由此可得：1,yxyxyyxxyx,,,2向量的内积满足施瓦茨不等式：当时，,00xyyxyx,arccos称为n维向量与的夹角.xy特殊地：零向量与任何向量都正交.（2）正交向量组定义：如果向量组向量两两正交，则称为正交向量组表示）或可由（由内积定义，正交也0,0xyyxTT三、向量的正交与正交基称与正交.xy当时，0,yx（1）正交定义：,,,2,1,,0,,,:21mjijiAjTim且则正交即若第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量122.正交向量组的性质（无关性）证设有使r,,,210rraaa2211以左乘上式的两端，得Ta10TrTrTTaaaaaaa11212111定理1若n维向量是一组两两正交的非零向量raaa,,,21raaa,,,21线性无关.则因，01a所以,,02111aaa从而必有，01即0111aa,0rraaaaaa,,,1212111分别左乘用TrTaa,,20rraaa2211.0,,02r同理可得：因此向量组线性无关.raaa,,,21第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量13即可求解方程组令0,11AXbbXaaAmTrT3.如何求与已知向量组正交的向量（组）：，即得：满足即对于与已知向量组正交，求一向量组已知向量组：0,,1,,1,,,:11jTimrbamjribbaaA011mTrTbbaa4.正交基（1）正交基的定义：用正交向量组作向量空间的基，称为向量空间的正交基第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量14第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量（2）规范正交基的定义设n维向量是向量空间V（VRn）的一个基reee,,,21如果两两正交，且都是单位向量，则称reee,,,21reee,,,21为V的一个规范正交基.例1已知3维向量空间R3中两个向量121,11121aa正交，试求一个非零向量，使两两正交.3a321,,aaa由此解出方程组即可正交，故，为所求向量，因其与分析：设,0,03231213TT解：记TTaaA21,121111,321xxx3a3a应满足齐次线性方程，即0Ax15121111321xxx00由121111A12rr030111010111010101得,31xx.02x得基础解系令，13x.101.1013即为所求取第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量16首先把正交化：raaa,,,21取;11ab][][,,,,][,,3,22223,121132223211131332,121121112122abbbabbbabbbabbbbabababbbabbbabab5.求正交基——将基正交化的施密特方法正交化方法：设是向量空间V的一个基，raaa,,,21要求V的一个规范正交基，也就是要找一组两两正交的单位向量，reee,,,21使reee,,,21与raaa,,,21等价。这样一个问题，称为把raaa,,,21这个基规范正交化.步骤如下：第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量17第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量.,,,,,,111122221111rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab质根据向量正交的运算性正交两两正交，这里只验证可以验证，2121,,bbbbbr],[],[],[],[],[],[1121111121112121bbabbbabbabbb＝，其中交依次类推，所以两两正。0],[],[],[],[11112121bbbbabab而且，由正交化过程，显然A、B两组向量可互相线性表示等价与则rraaabbb,,,,,,212118再把单位化：rbbb,,,21,111,111111111bbbbebbe取为单位向量，同理求：2121221111111nbbbbbbe,1