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4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质考情分析•“根据图像和性质求三角型函数解析式”是高考常考内容.•一般以小题和大题的第一问为主,考察时有时只求部分参数,且往往会再结合其他性质提出问题•难度一般不大.知识梳理关键:找出与x相对应的五个点知识梳理难点正本疑点清源知识梳理2.函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤如下:由y=sinx的图象,利用图象变换作函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)(x∈R)的图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象沿x轴的伸缩量的区别.先平移变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位,而先周期变换(伸缩变换)再平移变换,平移的量是|φ|ω个单位.2.图象变换的两种方法的区别|φ||φ|ω知识梳理知识梳理要点探究探究点1画函数y=Asin(ωx+φ)图像及图像变换探究点1画函数y=Asin(ωx+φ)图像及图像变换探究点1画函数y=Asin(ωx+φ)图像及图像变换探究点1画函数y=Asin(ωx+φ)图像及图像变换探究点1画函数y=Asin(ωx+φ)图像及图像变换探究点1画函数y=Asin(ωx+φ)图像及图像变换例2.(2011·江苏)已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A0,ω0)的部分图象如图所示,则f(0)的值是______.探究点2求函数y=Asin(ωx+φ)解析式变式:已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A0,|φ|π2,ω0)的图象的一部分如图所示,则该函数的解析式为________________.f(x)=2sin2x+π6探究点2求函数y=Asin(ωx+φ)解析式观察图象可知:A=2且点(0,1)在图象上,∴1=2sin(ω·0+φ),即sinφ=12.∵|φ|π2,∴φ=π6.又∵1112π是函数的一个零点,且是图象递增穿过x轴形成的零点,∴11π12ω+π6=2π,∴ω=2.∴f(x)=2sin2x+π6.例3知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A0,ω0,0φπ2)的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为π2,且图象上一个最低点为M2π3,-2,求f(x)的解析式。思考:题中给出的性质与振幅A,周期T,初相的关系探究点2求函数y=Asin(ωx+φ)解析式变式训练(2012·陕西)函数f(x)=Asinωx-π6+1(A0,ω0)的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设α∈0,π2,fα2=2,求α的值.探究点2求函数y=Asin(ωx+φ)解析式(14分)如图为y=Asin(ωx+φ)的图象的一段.(1)求其解析式;(2)若将y=Asin(ωx+φ)的图象向左平移π6个单位后得y=f(x),求f(x)的对称轴方程.用方程思想求三角函数图象的解析式(1)图象是y=Asin(ωx+φ)的图象.(2)根据“五点法”作图的原则,M可以看作第一个零点;5π6,0可以看作第二个零点.审题视角探究点3函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质的综合应用规范解答解(1)由图象知A=3,以Mπ3,0为第一个零点,N5π6,0为第二个零点.[2分]列方程组ω·π3+φ=0,ω·5π6+φ=π,解之得ω=2,φ=-2π3.[5分]∴所求解析式为y=3sin2x-2π3.[7分](2)f(x)=3sin2x+π6-2π3=3sin2x-π3,[10分]答题模板令2x-π3=π2+kπ,则x=512π+kπ2(k∈Z),[12分]∴f(x)的对称轴方程为x=512π+kπ2(k∈Z).[14分]答题模板第一步:根据图象确定第一个平衡点、第二个平衡点或最高点、最低点.第二步:将“ωx+φ”作为一个整体,找到对应的值.第三步:列方程组求解.第四步:写出所求的函数解析式.第五步:回顾反思,查看关键点,易错点及答题规范.答题模板[2013.四川卷]函数的部分图象如图所示,则的值分别是()()2sin()(0,)22fxx,2,32,64,64,3(A)(B)(C)(D)高考链接A(2012·天津卷)将函数f(x)=sinωx(其中ω0)的图象向右平移π4个单位长度,所得图象经过点3π4,0,则ω的最小值是()A.13B.1C.53D.2D高考链接(2012·浙江卷)把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是()ABCD高考链接A高考链接(2009·辽宁理,8)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示,,则f(0)=()A.B.C.D.32)2(f32213221c高考链接(2012·湖南卷)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)x∈R,ω0,0φπ2的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数g(x)=fx-π12-fx+π12的单调递增区间.高考链接解析:(1)由题设图象知,周期T=211π12-5π12=π,所以ω=2πT=2.因为点5π12,0在函数图象上,所以Asin2×5π12+φ=0,即sin5π6+φ=0.高考链接又因为0φπ2,所以5π65π6+φ4π3.从而5π6+φ=π,即φ=π6.又点(0,1)在函数图象上,所以Asinπ6=1,得A=2.故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin2x+π6.(2)g(x)=2sin2x-π12+π6-2sin2x+π12+π6=2sin2x-2sin2x+π3=2sin2x-212sin2x+32cos2x=sin2x-3cos2x=2sin2x-π3.高考链接由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2,得kπ-π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z.所以函数g(x)的单调递增区间是kπ-π12,kπ+5π12,k∈Z.规律总结在由图象求解析式时,“第一个零点”的确定是重要的,应尽量使A取正值.已知函数图象求函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的解析式时,常用的解题方法是待定系数法,由图中的最大值或最小值确定A,由周期确定ω,由适合解析式的点的坐标来确定φ,但由图象求得的y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的解析式一般不惟一,只有限定φ的取值范围,才能得出惟一解,否则φ的值不确定,解析式也就不惟一.小结
本文标题:函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质
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