函数y=Asin(ωx+φ)的图像及性质

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及性质复习目标1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出函数的图象，了解参数A、ω、φ对函数图象变化的影响．2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题.考题规律1.“五点法”作图及图象的变换是考查的重点．2.结合三角恒等变换考查y＝Asin(ωx＋φ)的性质及简单应用是考查的热点．2．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图像如图，则ω和φ的取值是A．ω＝1，φ＝π3B．ω＝1，φ＝－π3C．ω＝12，φ＝π6D．ω＝12，φ＝－π6()C3、将函数y＝sin2x的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是()A．y＝cos2xB．y＝2cos2xC．y＝1＋sin(2x＋π4)D．y＝2sin2xB4.为了得到函数)62sin(xy的图象，可以将函数xy2cos的图象向右平移____个单位长度.5．关于函数y＝－2sin(2x＋)的图象有以下四个结论：①振幅是－2；②最小正周期是π；③直线x＝是它的一条对称轴；④图象关于点(，0)对称．其中正确命题的序号是.(注：将你认为正确的命题的序号都填上)②③④1.y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相T＝f＝＝知识梳理2.函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤法一法二3．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)的图像用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示：x－φω______πω－φω_______2πω－φωωx＋φ___π2π32π_____y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0π2ω－φω3π2ω－φω02πy＝Asin(ωx＋φ)的图像巩固性题组6.用五点法作图画出函数y＝3sinx2＋cosx2的图像．【解】(1)列表：将函数解析式化简为y＝2sin(x2＋π6)，列表如下：x26x2sin26xy00002322223235383113(2)描点：描出点(－π3，0)、(2π3，2)、(5π3，0)、(8π3，－2)、(11π3，0)．(3)连线：用平滑的曲线将这五个点连接起来，最后将其向两端伸展，得到图像如图所示．【误区警示】(1)列表时是先令相位角ωx＋φ分别为0、π2、π、3π2、2π，从而得到x相应的值，而不是令x为这五个值；(2)在连线时必须用光滑曲线连接，而不是折线．【变式迁移】（ⅰ）已知函数f(x)＝sin.在坐标系内，用五点法画出函数y＝f(x)在一个周期内的图象.求函数解析式及图象变换7.设f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|≤)，最高点M(2，)，由最高点运动到相邻的最低点N时，曲线与x轴交于点(6,0)．(1)求f(x)的表达式；(2)说明y＝f(x)的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到．【规律小结】确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B的解析式的步骤：(1)求A，B.由函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，B＝M＋m2.(2)求ω.确定函数的周期T，则ω＝2πT，(3)求φ.常用方法有：①代入法：把图像上的一个已知点（尽可能是最值点）代入y＝Asin(ωx＋φ)求解．在求解时必须加上周期.②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点”中的第一零点(－φω，0)作为突破口．具体如下：(2)伸缩变换①沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(0ω1)或缩短(ω1)为原来的1ω倍(纵坐标y不变)；②沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A1)或缩短(0A1)为原来的A倍(横坐标x不变)．图像变换包括平移变换、伸缩变换，应分清变换顺序．(1)平移变换①沿x轴平移，按“左加右减”法则；②沿y轴平移，按“上加下减”法则．【变式迁移】（ⅱ）下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点()得到.A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变A8.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的部分图象如图所示．(1)求f(x)的最小正周期及解析式；(2)设g(x)＝f(x)－cos2x，求函数g(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．图像与性质的综合问题提高性题组解：(1)由图可得A＝1，T2＝2π3－π6＝π2，所以T＝π.所以ω＝2.当x＝π6时，f(x)＝1，可得sin2×π6＋φ＝1，因为|φ|π2，所以φ＝π6.所以f(x)的解析式为f(x)＝sin2x＋π6.(2)g(x)＝f(x)－cos2x＝sin2x＋π6－cos2x＝sin2xcosπ6＋cos2xsinπ6－cos2x＝32sin2x－12cos2x＝sin2x－π6.因为0≤x≤π2，所以－π6≤2x－π6≤5π6.当2x－π6＝π2，即x＝π3时，g(x)的最大值为1；当2x－π6＝－π6，即x＝0时，g(x)的最小值为－12.(ⅲ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋)，其中ω0.若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．【变式迁移】(2)解：函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)＝sin[3(x＋m)＋]．g(x)是偶函数当且仅当3m＋＝kπ＋(k∈Z)，即m＝(k∈Z)．从而，最小正实数m＝.解：(1)因为f(x)＝sin(ωx＋)．依题意，.又T＝，故ω＝3，所以f(x)＝sin(3x＋)．(ⅳ)已知函数f(x)＝Asinπ3x＋φ，x∈R，A＞0，0＜φ＜π2.y＝f(x)的部分图象如图所示，P，Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)．(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；(2)若点R的坐标为(1,0)，∠PRQ＝2π3，求A的值．解：(1)由题意得，T＝2ππ3＝6.因为P(1，A)在y＝Asinπ3x＋φ的图象上，所以sinπ3＋φ＝1.又因为0＜φ＜π2，所以φ＝π6.(2)设点Q的坐标为(x0，－A)，由题意可知π3x0＋π6＝3π2，得x0＝4，所以Q(4，－A)．如图，连接PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝2π3，由余弦定理得cos∠PRQ＝RP2＋RQ2－PQ22RP·RQ＝A2＋9＋A2－9＋4A22A·9＋A2＝－12，解得A2＝3.又A＞0，所以A＝3.