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平行线的判定及性质一、【基础知识精讲】1、平行线的判定(1)平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.(2)平行公理的推论:平行于同一条直线的两条直线.(3)在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线.(4)同位角相等,两直线平行.(5)内错角相等,两直线平行.(6)同旁内角互补,两直线平行.3、平行线的性质(1)两直线平行,同位角相等.(2)两直线平行,内错角相等.(3)两直线平行,同旁内角互补.二、【例题精讲】专题一:余角、补角、对顶角与三线八角例题1:∠A的余角与∠A的补角互为补角,那么2∠A是()A.直角B.锐角C.钝角D.以上三种都有可能【活学活用1】如图2-79中,下列判断正确的是()A.4对同位角,2对内错角,4对同旁内角B.4对同位角,2对内错角,2对同旁内角C.6对同位角,4对内错角,4对同旁内角D.6对同位角,4对内错角,2对同旁内角【活学活用2】如图2-82,下列说法中错误的是()A.∠3和∠5是同位角B.∠4和∠5是同旁内角C.∠2和∠4是对顶角D.∠1和∠2是同位角【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图中∠1与∠2的关系是()A.对顶角B.互余C.互补D相等例题2:如果两个角的两边分别平行,而其中一个角比另一个角的4倍少30°,那么这两个角分别是_______.ABCDOEF【活学活用4】如图,∠AOC+∠DOE+∠BOF=.专题二:平行线的判定例题3:如图,已知∠EFB+∠ADC=180°,且∠1=∠2,试说明DG∥AB.12ABCDFEG【活学活用】1、长方体的每一对棱相互平行,那么这样的平行棱共有()A.9对B.16对C.18对D.以上答案都不对2、已知:如图2-96,DE⊥AO于E,BO⊥AO,FC⊥AB于C,∠1=∠2,求证:DO⊥AB.3、如图2-97,已知:∠1=∠2=,∠3=∠4,∠5=∠6.求证:AD∥BC.4、如图2—101,若要能使AB∥ED,∠B、∠C、∠D应满足什么条件?5、同一平面内有四条直线a、b、c、d,若a∥b,a⊥c,b⊥d,则c、d的位置关系为()A.互相垂直B.互相平行C.相交D.没有确定关系专题三:平行线的性质1、如图,110,ABCACBBO、CO分别平分ABCABCEFOABCDE和,ACBEF过点O与BC平行,则BOC.2、如图,AB//CD,BC//DE,则∠B+∠D=.3、如图,直线AB与CD相交于点O,OB平分∠DOE.若60DOE,则∠AOC的度数是.4、如图,175,2120,375,则4.13425、如图,//ABCD,直线EF分别交AB、CD于E、F,ED平分BEF,若172,则2.【例题讲解】例1:如图,已知:AD∥BC,∠AEF=∠B,求证:AD∥EF。证明:∵AD∥BC(已知)∴∠A+∠B=180°(两直线平行,同旁内角互补)∵∠AEF=∠B(已知)∴∠A+∠AEF=180°(等量代换)∴AD∥EF(同旁内角互补,两条直线平行)例2:如图,已知:AE平分∠BAC,CE平分∠ACD,且AB∥CD。求证:∠1+∠2=90°CABDOEABCDEF123E1ABCD2ABCDEF证明:∵AB∥CD(已知)∴∠BAC+∠ACD=180°(两条直线平行,同旁内角互补)又∵AE平分∠BAC,CE平分∠ACD(已知)∴∠1=21∠BAC,∠2=21∠ACD(角平分线的定义)∴∠1+∠2=21(∠BAC+∠ACD)(等式的性质)=21×180o=90o即∠1+∠2=90o例3:如图,已知:∠1=∠2,求证:∠3+∠4=180o证明:例4:如图,已知:AB∥CD,MG平分∠AMN,NH平分∠DNM,求证:MG∥NH。例5:如图,已知:AB∥CD,∠A=C,求证:AD∥BC。ABCDABCDMFG123451ABCDMFGEHN2例6:如图,EF⊥AB,CD⊥AB,∠EFB=∠GDC,求证:∠AGD=∠ACB。如图,已知:AB∥DE,∠ABC+∠DEF=180°,求证:BC∥EF。如图。已知:∠1=∠2,AC平分∠DAB,求证:AB∥CD。专题四:批注理由例题3:完成推理填空:如图,直线AB、CD被EF所截,若已知AB//CD,求证:∠1=ABCDFGEABCDFEABCD2∠C.请你认真完成下面填空.证明:∵AB//CD(已知),∴∠1=∠(两直线平行,)又∵∠2=∠3,()∴∠1=∠C().【活学活用1】完成推理填空:如图:已知∠A=∠F,∠C=∠D,求证:BD∥CE.请你认真完成下面的填空.证明:∵∠A=∠F(已知)∴AC∥DF()∴∠D=∠()又∵∠C=∠D(已知),∴∠1=∠C(等量代换)∴BD∥CE().【活学活用2】如图:已知∠B=∠BGD,∠DGF=∠F,求证:∠B+∠F=180°.请你认真完成下面的填空.证明:∵∠B=∠BGD(已知)∴AB∥CD()∵∠DGF=∠F;(已知)∴CD∥EF()∵AB∥EF()∴∠B+∠F=180°().专题五:作辅助线(过平行线之间的拐点作平行线)1、如图,AB//CD,若∠ABE=130,∠CDE=152,则∠BED=.2、如图④,AB∥CD,∠BAE=120º,∠DCE=30º,则∠AEC=度.3、如图2-83,如果AB∥CD,则α、β、γ之间的关系为()A.α+β+γ=360°B.α-β+γ=180°C.α+β-γ=180°D.α+β+γ=180°4、如图2-86,AB∥CD,那么∠1+∠2+∠3+∠4=()A.720°B.360°C.180°D.540°BDE13ACF2ACBDE5、如图,已知AB//CD,(1)你能找到∠B、∠D和∠BED的关系吗?(2)如果∠B=46,∠D=58,则∠E的度数是多少?6、如图,已知AB∥CD,∠ABE和∠CDE的平分线相交于F,∠E=140º,求∠BFD的度数?例题4(探究题):如图1,MA1∥NA2,则∠A1+∠A2=度;如图2,MA1∥NA3,则∠A1+∠A2+∠A3=度;如图3,MA1∥NA4,则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=度;如图4,MA1∥NA5,则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=度;从上述结论中你发现了什么规律?如图5,MA1∥NAn,则∠A1+∠A2+∠A3+……+∠An=度.【课堂练习】1、如图,DH∥EG∥BC,且DC∥EF,那么图中和∠1相等的角的个数是()A.2,B.4,C.5,D.6A1A2A2A2A1A3A2图1图2MMMNNA3A1A4图3NA3A1A2A4A5图4MNA1A2A3A4A5A2A2A6An图5MNABCDE4、如图2-80,DE∥AB,∠CAE=31∠CAB,∠CDE=75°,∠B=65°则∠AEB是()A.70°B.65°C.60°D.55°5、如图2-85,AB∥CD,EF⊥CD,FG平分∠EFC,则()A.∠1∠2B.∠1∠2C.∠1=∠2D.不能确定6、如图2-89,∠BAC=90°,EF∥BC,∠1=∠B,则∠DEC=.7、、把一张长方形纸条按图⑤中,那样折叠后,若得到∠AOB′=70º,则∠B′OG=.8、如图,将长方形ABCD纸片沿BD折叠,使点C落在C处,BC交AD于点E,若∠DBC=22.5°,则在不添加任何辅助线的情况下,图中45°的角有()(虚线也视为角的边)A.6个B.5个C.4个D.3个9、如图,将纸片△ABC沿DE折叠,点A落在点A′处,已知∠1+∠2=100°,∠A=.10、如图2-90,AB∥CD,AF平分∠CAB,CF平分∠ACD.(1)∠B+∠E+∠D=(2)∠AFC=.11、如图2-95,已知CD⊥AB于D,EF⊥AB于F,∠DGC=105°,∠BCG=75°,则∠1+∠2=.CDECADBC12AE12、如图2-100,直线l与m相交于点C,∠C=∠β,AP、BP交于点P,且∠PAC=∠α,∠PBC=∠γ,求证:∠APB=α+∠β+∠γ.
本文标题:平行线的判定及性质-例题及练习
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