§8.1 一种特殊数――行列式

第八章处理线性关系的数学问题——线性代数概述§8.1一种特殊数——行列式22221211212111bxaxabxaxa采用消元法21222212121122212221212211baxaaxaaabxaaxaa211222112122211aaaabaabx同理211222112112112aaaaabbax若a11a22a12a210求解二元线性方程组一、行列式的定义1.二阶和三阶行列式为了便于讨论,引进符号22211211aaaa来表示数a11a22a12a21,即2112221122211211aaaaaaaa我们称之为二阶行列式,其中横写的叫行,竖写的叫列,aij(i,j=1,2)称为它的元素.则方程组22221211212111bxaxabxaxa的解222112112221211aaaaababx222112112211112aaaababax,211222112122211aaaabaabx211222112112112aaaaabbax可写成:公式解在这个公式解中,有一定的规律可循:(1)分母是由原方程组未知数系数按原顺序排成的一个行列式,记作D.(2)x1的分子行列式是将分母行列式的第一列换成常数项而得;x2的分子行列式是将分母行列式的第二列换成常数项所得.分别记作D1,D2.222112112221211aaaaababx222112112211112aaaababaxDD1DD2(a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31)x1=b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32b1a23a32a12b2a33a13a22b3求解三元线性方程组333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa采用消元法,消去x2与x3由二阶行列式的定义,x1的系数可表示成:333231232221131211aaaaaaaaa323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa把它记为,称为三阶行列式.上式的规律:把第一行每一元素乘以划去该元素所在的行、列之后剩下的二阶行列式,前面再冠以正、负相间的符号,最后求它们的代数和.若x1的系数不为零,方程组的解可表示为:3332312322211312113332323222131211aaaaaaaaaaabaabaabx3332312322211312113333123221131112aaaaaaaaaabaabaabax3332312322211312113323122221112113aaaaaaaaabaabaabaaxx1,x2,x3分子行列式都是由分母行列式去掉对应于的第i列,再换上常数列b1,b2,b3组成.,22DDxDDx33,11DDx公式解:2.n阶行列式定义:由n2个数aij(i,j=1,2,...,n)构成n阶行列式nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211当n=1时,D=a11当n1时,1,211,332311,22221113133331223211232333322232211)1(nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD即D是第一行元素与其对应的n1阶行列式乘积的代数和.其中与a1j(j=1,2,...,n)对应的n1阶行列式,是由D中划去a1j所在的行和列后余下的元素按原顺序组成的,且在代数和中带有符号(1)1+j.例1计算行列式938727061解:原式=382709877693721=1(3)67+0=45例2证明下三角行列式(主对角线上方所有元素全为零)的值等于其主对角线上元素的乘积nnnnnnnaaaaaaaaaaaaaD2211321333231222111000000[证]nnnnaaaaaaaD3233322211000nnnnaaaaaaaa434443332211000=a11a22...ann上三角行列式(主对角线下方所有元素全为零)的值也等于其主对角线上元素的乘积nnnnnnnaaaaaaaaaaaaaD2211333223221131211000000二、行列式的性质性质1行列式的某一行乘以数k,等于用数k乘该行列式,即nnnniniinnnnniniinaaaaaaaaakaaakakakaaaa212111211212111211(以下性质对行和列都成立)性质2若行列式中某一行的所有元素为零,则该行列式为零.性质1中,令k=0,有:性质3交换行列式任意两行,行列式改变符号.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaacccaaaaaabbbaaaaaacbcbcbaaa21211121121211121121221111211性质4如果行列式D中某行的所有元素是两个数的和,那么D可表示成两个新行列式之和.性质5行列式的某一行的k倍加到另一行上去,其值不变.nnnninjnijijiniinnnnnjnjjiniinaaakaakaakaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa212211211121121212111211性质6若行列式有两行对应元素相同或成比例,则该行列式为零.性质7行列式的行列互换,其值不变.nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa212221212111212222111211D的转置行列式:DT【注】计算行列式时,常用行列式的性质,把它化为三角形行列式来计算.例如化为上三角形行列式的步骤是:(1)若第一列第一个元素为0,先将第一行与其他行交换,使第一列第一个元素不为0.(2)把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使第一列除第一个元素外其余元素全为0;(3)再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式;(4)依次作下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值.例1计算行列式107825513713913152解:利用性质把行列式化为三角行列式来计算原式=107825513315271391(第1行与第2行交换)24332602634260172513071391(第1行分别乘2,(3),(2)加到第2,3,4行上)10170081600172513071391(第2行乘2分别加到第3,4行上)2300081600172513071391(第3行乘1617加到第4行)2316)13(1=3122101044614753124025973313211D例2.计算行列式的值2101044614753124025973313211D3解2101044614753124022010013211312rr221010446147531402020100132113122rr42220035120140202010013211144rr133rr42rr2220020100140203512013211222002010021100351201321123rr222000100021100351201321134rr26400001000211003512013211352rr46000001000211003512013211612454rr.12在此例中，先利用性质2和性质5将行列式化为上三角行列式，再计算其值的方法，是计算数字行列式的基本方法。由于这个方法的计算过程完全格式化，所以对于阶数较高的数字行列式可利用计算机来计算其值。【注】例3.计算n阶行列式abbbbabbbbabbbba解:原式=abbbnababbnabbabnabbbbna)1()1()1()1(abbbabbbabbbbna1111])1([babababbbbna0000000001])1([=[a+(n1)b](ab)n1上例中行列式的特点是:行列式的各列(行)的元素之和相同.今后凡遇此类行列式均可利用此方法来计算其值。【注】