§8.4多元复合函数微分法

§8.4多元复合函数微分法第八章多元函数微分学一、多元复合函数的微分法定理若函数),(),,(yxvyxu在点(x,y)的偏导数存在，且在对应于(x,y)的点(u,v)处，函数z=f(u,v)可微，则复合函数)],(),,([yxyxfz对x,y的偏导数存在.且,xvvzxuuzxz.yvvzyuuzyzxvzyu证明由函数z=f(u,v)可微，得)(ovvzuuzz其中.)()(22vu当0y时，有)(ovvzuuzzxxx其中),,(),(yxzyxxzzx),,(),(yxuyxxuux),,(),(yxvyxxvvx.)()(22vuxx由此可得xoxvvzxuuzxzxxxxxxx)(limlimlimlim0000.xvvzxuuz即同理可证.yvvzyuuzyz.xvvzxuuzxz类似地，对于可微的三元函数z=f(u,v,w),其中),().,(),,(yxwyxvyxu偏导数存在，其复合函数对x,y的偏导数为zzuzvzwxuxvxwxzzuzvzwyuyvywy)],(),,(),,([yxyxyxfz例１设,lnsinvuz,,22yxvxyu求.,yzxz解xvuyvuxvvzxuuzxz2sinlncos2vuvzsin，xxv2，xyyu2，,lncosvuuz1yv，yxxyxyxxyy22222)sin(2)ln()cos(，1sin2lncosvuxyvuyvvzyuuzyzyxxyyxxyxy2222)sin()ln()cos(2．,2yxu例2设),,(22xyyxfz且f具有连续的偏导数，求.,yzxz解设,,22xyvyxu则z=f(u,v).,221vuvuxffxffxvvzxuuzxz.212vuvufyffyfyvvzyuuzyz特殊的情形：dxdvvzdxduuzdxdz1．若函数z=f(u,v)可微，)(),(xvxu可导，)](),([xxfz的导数为称之为函数)](),([xxfz的全导数．xvzu则2．若函数z=f(x,y)可微，)(xy可导，则)](,[xxfz的导数为dxdyyzxzdxdzxyz3．若w=f(u)可微，),(yxu则)],([yxfw的偏导数为,xududwxw.yududwyw的偏导数存在，例3设,22vuz,lntu,sintv求.dtdz解dtdvvzdtduuzdtdztutuvvcosln221222.2lncos2lnln2sin2sin1tttttt解设u=x+y,v=xy,则z=f(u,v),vuxffyz,vuyffxzxvzyu例４设),,(xyyxfz其中f具有连续偏导数，求.,,2yxzyzxzyvfyufyfyvfyufvvvuvuvuu)(vvvuvuvuuxffyfxffvvvuvuufxyffyxf)(yxz2xzyvuyffy)()(vvufyyffy解得vvuffuvuff),(,),(2121fyzfxvvfxuufxw例5设w=f(x+y+z,xyz),f具有二阶连续偏导数，求.,2zxwxw令u=x+y+z,v=xyz,并引入记号记.),(,),(,),(,),(22222212122211vvuffuvvuffvuvuffuvuffzxw2zfyzfyzf221)(222121211fxyfyzfyfxyf.)(22221211fyfzxyfzxyf)(21fyzfz解123,zuffyfxx.32yufxfyz例6设z=f(x,xy,u),),(yxu且,f求.,yzxz的偏导数连续，例7设yxtdtz30tan，求yzxz,．解令yxu3，则utdtuz0tan)(，从而xuuxz)(yxu23tanyxyx32tan3，yuuyz)(3tanxuyxx33tan．例8设z=f(x,y)具有二阶连续偏导数，并且满足方程0222222yfCyxfBxfA其中，,02ACB令yxvyxu试确定常数αβ的值，使原方程变为.02vuz解由yxvyxu可知当时,x,y是关于u,v的函数,则函数z=f(x,y)可变为关于u,v的函数z=f[x(u,v),y(u,v)]=F(u,v).把x,y看成自变量,u,v是中间变量,则函数z=f(x,y)是由F(u,v)和yxvyxu,复合而成．,vFuFxvvFxuuFxf,vFuFyvvFyuuFyf,22222222vFvuFuFvFuFxxf,2222222222vFvuFuFvFuFyyf222222)(vFvuFuFvFuFxyxf，由0222222yfCyxfBxfA得02)(2222222222222222222vFvuFuFCvFvuFuFBvFvuFuFA0)2(])([2)2(2222222vFCBAvuFCBAuFCBA即只要取,成为方程022CtBtA的两个不同实根，则可得到.02vuF因此取,分别为,,22CACBBCACBB或者．.,22CACBBCACBB二、全微分形式不变性设z=f(u,v)具有连续偏导数，则有全微分,dvvzduuzdz若),(),,(yxvyxu可微，)],(),,([yxyxfz的全微分为,dyyzdxxzdz则复合函数由复合函数的偏导数公式，得dyyvvzyuuzdxxvvzxuuzdz)()()()(dyyvdxxvvzdyyudxxuuzdvvzduuz由此可见，无论u,v是自变量还是中间变量，函数z=f(u,v)的全微分都具有如下形式dvvzduuzdz此性质称为全微分形式不变性．例9求函数z=(sinx)ln(x-3y)的全微分和偏导数．解根据微分运算法则得(sin)ln(3)(sin)[ln(3)]dxxyxdxydz1(cos)ln(3)sin(3)3xdxxyxdxyxysin(cos)ln(3)33xxxydxdxdyxysin3sincosln(3)33xxxxydxdyxyxy