§chap3 量子力学中的力学量 习题

1．指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。,4222dxdx,2nK122222122212222211222221122244)(4)(4)(41)(udxdxcudxdxcucdxdxucdxdxucucdxdx是线性算符22221122222121212122211][][2][2)(ucucucuuccucucuc不是线性算符NKNKNKNKnKucucucucucuc12211112211112211)3(是线性算符2．指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。224dxddxdidxd，，不是厄米算符，，当解：dxddxdxddxdxddxdxddxdxdxdxdxddxdxd*)(*)(**00***-xpxˆˆ)ˆˆˆˆ(21xppxxx是厄米算符dxdidxdxdidxdxdidxdxdiidxdxdi*)(*)(***-是厄米算符22222222-224*)4(*4*4*4*4*4*44*dxddxdxddxdxddxdxddxddxdxddxddxdxddxddxddxdxddpxdpxxx)ˆ(ˆ)ˆˆ(2*12*1dxpdpxxx2121*)ˆˆ(ˆ*)ˆ（xxpxpˆˆˆ因不是厄米算符。dxpdpxdxppxxxxx2*12*12*1)ˆˆ(21)ˆˆ(21)]ˆˆˆˆ(21[dpxdxpxx2*12*1)ˆˆ(21)ˆˆ(21dxppxxx2*1]))ˆˆˆˆ(21[dpxxpxx2*1])ˆˆˆˆ(21[)ˆˆˆˆ(21xppxxx是厄米算符。22dxd3、下列函数哪些是算符的本征函数，其本征值是什么？2x①②xe③xsin④xcos3⑤xxcossin2)(222xdxd①xxeedxd22②xxdxdxdxdsin)(cos)(sin22③)cos3(cos3)sin3()cos3(22xxxdxdxdxd④)cos(sincossinsin(cos)cos(sin22xxxxxxdxdxxdxd）⑤)ˆˆˆˆ(ˆˆ)ˆˆˆˆ(ˆˆˆˆyzxxyzxxxxPzPyPPPzPyLPPL)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆyxzxxyxzPzPPyPPPzPPy0)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆxyxzxyxzPPzPPyPPzPPy?ˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[xxxxxxLPPLPLyzxPzPyLˆˆˆˆˆ(1)（2）?ˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[yxxyxyLPPLPLzxyPxPzLˆˆˆˆˆ)ˆˆˆˆ(ˆˆ)ˆˆˆˆ(ˆˆˆˆzxxxzxyxxyPxPzPPPxPzLPPL)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2zxzxxzxPxPPzPPPxPz)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ22zxxxzxPxPPzPPxPzzxxPxPPxˆ)ˆˆˆˆ(zPiˆ利用基本对易关系证明:?ˆˆˆˆxxLxxL]ˆ,ˆ[xLx(3))ˆˆˆˆ(ˆˆ)ˆˆˆˆ(ˆˆˆˆyzyzxxPzPyxxPzPyLxxLyzyzPzxPyxxPzxPyˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ0ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆxPzxPyxPzxPyyzyz?ˆˆˆˆyyLxxL]ˆ,ˆ[xLy(4))ˆˆˆˆ(ˆˆ)ˆˆˆˆ(ˆˆˆˆzxzxyyPxPzxxPxPzLxxLzxzxPxPzxxPxxPzˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2)ˆˆˆˆ(ˆxxPxxPzziˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[zyxzpxpzpzpy角动量算符的对易关系]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[zxyzyxpxpzpzpyLL证：yxzxzyLiLLLiLLˆ]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆ[同理]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[zxyzxzpxpzpzpxpzpy]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[zyxyzzxzpxpzpzpzpxpypzpyzyxLiLLˆ]ˆ,ˆ[yzzyzxxzppxzpxpzppzypzpyˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[yzxzppxzpzpyˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[yzyzxzxzppxzppzxpzpyppyzˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[yxpixpiyˆ)(ˆ)(]ˆˆ[xypypxizLiˆzyxLiLL,,3211ˆ]ˆ,ˆ[123或，，，，其中其意义如下：合记之：yxyxLiLLLiLLˆˆˆˆˆˆ1,1,)1)(()1()1(ˆmlmllmYmlmlYmmllYL例：证明在LZ本征态Ylm下，Lx=Ly=0证：方法IdYLYLlmxlmxˆ*]ˆˆ[21ˆ]ˆˆ[21ˆLLiLLLLyx代入平均值公式：dYLLYLlmlmx]ˆˆ[21*dYLYdYLYlmlmlmlmˆ21ˆ21**dYYmmlldYYmmlllmlmlmlm1*1*)1()1(2)1()1(20同理：0yL由角动量对易关系：]ˆˆˆˆ[1ˆ,ˆ1ˆˆˆ,ˆyzzyzyxxzyLLLLiLLiLLiLL代入平均值公式：dYLLLLYiLlmyzzylmx]ˆˆˆˆ[1*dYLLYidYLLYilmyzlmlmzylmˆˆ1ˆˆ1**dYLYLidYLLYilmylmzlmzylmˆ)ˆ(1)ˆ(ˆ1**dYLYmidYLYmilmylmlmylmˆ1ˆ1**0yyLimLim同理：0yL方法II返回例1：已知空间转子处于如下状态),(32),(312111YY试问：（1）Ψ是否是L2的本征态？（2）Ψ是否是Lz的本征态？（3）求L2的平均值；（4）在Ψ态中分别测量L2和Lz时得到的可能值及其相应的几率。解：),(32),(31ˆˆ)1(211122YYLL212112)12(232)11(131YY211122312YYΨ没有确定的L2的本征值，故Ψ不是L2的本征态。),(32),(31ˆˆ)2(2111YYLLzz21113231YY21113231YYΨ是Lz的本征态，本征值为。（3）求L2的平均值方法I）已归一化（dxxFxF)(ˆ)(*验证归一化：dc*21dYYYYc2111211123231*3231dYYYYYYYYc11212111212111112*92*92*94*9122959491cc53c归一化波函数21113231YYcdLL2*2ˆdYYLYY211122111251ˆ*251dYYYY2121122111262*251dYY2212211224251222526]242[51方法II2111251YYnnncF2||利用222222526652251L21112111251323153YYYY545122262相应几率L（4）1相应几率zL例2：（《周》）3.6设t=0时，粒子的状态为(x)=A[sin2kx+(1/2)coskx]求粒子的平均动量和平均动能。}2{224ikxikxikxikxAeeee解：)}(])[{()(21221ikxikxikxikxieeeeAx可写成单色平面波的叠加})()()()()({)(543215432121xpixpixpixpixpiepcepcepcepcepcx比较二式，因单色平面波动量有确定值：kpkpkpkpp54321220或：kpkpkpkpp54321220从而得：24)()(24)()(242)(54321ApcpcApcpcApc1||]11)1()1(2[216|||)(|2222222251AApciikpkpkpkpp543212201A42)()(42)()(22)(54321pcpcpcpcpc归一化后。|c(pi)|2表示粒子具有动量为pi的几率，于是就可以计算动量和动能的平均值了。（1）动量平均值kpkpkpkpp5432122042)()(42)()(22)(54321pcpcpcpcpc0)(4242)2(42242022|)(|22222251kkkkppcpiii（2）动能平均值85)(81)(81)2(81)2(81021)(42)(42)2(42)2(42022212|)(|2222222222222222251kkkkkkkkkppcTiiidxexxUx222222212122222241212121221413.1(1)0122)12(5312aandxexnnaxntixex2222)(dxxpxpT)(ˆ)(2122*2dxedxdexx22222122221)(21dxexx22)1(22222][222222222dxexdxexx]2[2322244222222241(2)tixex2222)(dxxxpcp)()()(*212221dxeePxixdxeePxix222121dxepipx2222222)(2121dxeeipxp222222)(212212212222pe22221pe(3)tixex2222)(动量几率分布函数为2221)()(2pepcpdrddrreadrrrarsin1),,(02200/230203.2(1)0/233004draraar04030232!34aaa01!naxnandxex0/301),,(arear02203020/23020200/23020