矩形性质+判定(公开课2课时合一)

平行四边形有两组对边分别平行的四边形.回顾旧知平行四边形对边相等邻边不相等对角相等邻角不相等边特殊化角特殊化对边相等邻边相等对角相等邻角相等四条边都相等四个角都相等新课导入19.2特殊的平行四边形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形）.矩形矩形是特殊的平行四边形.即：∠A=90°ABCDABCD是矩形.生活中的矩形四边形平行四边形两组对边分别平行一个角是直角四边形平行四边形矩形矩形矩形与四边形、平行四边形的关系矩形有什么性质？有平行四边形的所有性质还有其它特殊的性质ABCDO矩形的对边平行且相等.矩形的对角相等.矩形的对角线互相平分.矩形的一般性质（即平行四边形所有性质）边：角：对角线：猜想1：矩形的四个角都是直角．猜想2：矩形的对角线相等．ABCD矩形的特殊性质角：对角线：边：矩形的四个角都是直角已知：四边形ABCD是矩形求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°DCBA证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=90°∴∠A=∠C=90°∠B+∠C=180°∴∠B=180－∠C=90°∴∠D=∠B=90°即∠A=∠B=∠C=∠D=90°探究1定理证明已知：四边形ABCD是矩形求证：AC=BDABCD证明：在矩形ABCD中∵∠ABC=∠DCB=90°又∵AB=DC，BC=CB∴△ABC≌△DCB（SAS）∴AC=BD矩形的对角线相等探究2定理证明矩形的性质ABCD知识要点矩形的对边平行且相等.角对角线边矩形的对角线相等.矩形的对角线互相平分.矩形的四个角都是直角.矩形的对角相等.对称性矩形是轴对称图形，也是中心对称图形.ABCDO直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.在Rt△ABC中,BO是斜边AC上的中线，则BO=AC.21矩形特殊性质的推论直角三角形的一个性质即：OCBADD证明:延长BO至D，使OD=BO连结AD、DC.∵AO=OC,BO=OD∴四边形ABCD是平行四边形.∵∠ABC=90°∴ABCD是矩形∴AC=BD1212∴BO=BD=AC已知：在Rt△ABC中∠ABC=90°，BO是AC上的中线.求证:BO=AC12定理证明相等的角：在矩形ABCD中，找出相等的线段与相等的角.ADCBO小练习相等的线段：AB=CDAD=BCAC=BDOA=OC=OB=OD=AC=BD2121∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°∠AOB=∠DOC∠AOD=∠BOC∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB等腰三角形：△OAB△OBC△OCD△OAD直角三角形：Rt△ABCRt△BCDRt△CDARt△DAB全等三角形：Rt△ABC≌Rt△BCD≌Rt△CDA≌Rt△DAB△OAB≌△OCD△OAD≌△OCB在矩形ABCD中，找出所有等腰、直角、全等三角形.ADCBO小练习矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长。例题解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC与BD相等且互相平分.∴OA=OB。又∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形.∴矩形的对角线长AC=BD=2OA=2×4=8（cm）.矩形ABCD，AB长8cm，对角线比AD边长4cm。求AD的长及点A到BD的距离AE的长。例题解：设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：AD2+AB2=BD2∴解得x=6。则AD=6cm。∵AE×DB=AD×AB解得AE=4.8cm.22248xx“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式：AE×DB=AD×AB已知：矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC.求证：CE＝EF。练习矩形的问题常可以转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决.证明：∵四边形ABCD是矩形∴∠B=90°，且AD∥BC∴∠1=∠2∵DF⊥AE∴∠AFD=90°∴∠B=∠AFD。在△ABE和△DFA中∠1=∠2∠B=∠AFDAD=AE∴△ABE≌△DFA（AAS）∴AF=BE∴EF=EC脸蛋方方是矩形，例如黑板和窗门.对角线段皆相等，相互交叉且平分.内有直角三角形，斜边中线半斜边.若要牢记其定义，直角平行四边形.矩形之歌矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形.矩形的性质：具有平行四边形的一切特征.四个角都是直角.对角线相等且平分.课堂小结直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.1.填空：（1）矩形的定义中有两个条件：一是__________，二是____________________.（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为____、____、____、____。（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为______cm，____cm，______cm，____cm。有一个角是直角平行四边形60°60°120°120°553535随堂练习2.下列说法错误的是（）A.矩形的对角线互相平分。B.矩形的对角线相等。C.有一个角是直角的四边形是矩形。D.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。3.矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（）A.2对B.4对C.6对D.8对CB4.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图1），使AB=CD,EF=GH（2）摆放成如图（2）的四边形，则这时窗框的形状是＿＿＿＿＿，根据的数学道理是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图3）调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图4）说明窗框合格，这时窗框是＿＿＿＿，根据的数学道理是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿BACEDGFH1234平行四边形两组对边分别相等的矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形四边形是平行四边形5.用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形地面,则每块长方形地砖的长和宽分别是()A.48cm,12cmB.48cm,16cm;C.44cm,16cmD.45cm,15cm.60cmD6.四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？OABCD公平，因为OA=OC=OB=OD10.小明想要做一个矩形像框，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？1、理解并掌握矩形的判定方法。2、能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题。1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？2．矩形有哪些性质？3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？ABCD甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们利用自己所学的几何知识帮助检测一个窗框ABCD是不是矩形，他们各自做了检测。你认为他们的方法对吗？ABCD甲同学先用刻度尺量得AB=CD，AD=BC，然后又用量角器量得其中一个内角∠DAB=90°，因此甲判定这个四边形ABCD是矩形。有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。ABCD乙同学认为甲的方法太复杂，他只用量角器量得这个四边形的三个内角∠DAB、∠ABC、∠BCD都是90°，他就判定这个四边形ABCD是矩形。有三个角是直角的四边形是矩形。ABCD丙同学想了一下，他决定用与他们不同的方法来判断。他先用刻度尺量得AB=CD，AD=BC，然后又量得这个四边形的两条对角线AC=BD，他就判定这个四边形是矩形。对角线相等的平行四边形是矩形。O矩形的判定方法：1、有一个角是直角的平行四边形是矩形。2、对角线相等的平行四边形是矩形。3、有三个角是直角的四边形是矩形。对于1、2两种判定方法是在平行四边形的前提下来判断的，而3是直接在四边形的前提下判断的。1、下列各句判定矩形的说法是否正确？（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（）（2）四个角都相等的四边形是矩形；（）（3）对角线相等的四边形是矩形；（）（4）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（）（5）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（）（6）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形．()DABCEF1ABCDEFBCBE=CFAF=DE1ABFDCE2ABCD、如图，在中，、为上的两点，且，。求证：≌；四边形是矩形。1BE=CFBE+EF=CF+EFBF=CE.ABCDAB=CDAF=DEABFDCESSS证明：，，四边形是平行四边形，又，≌（）2ABFDCEB=CB+C=180B=90ABCD≌，又，是矩形。OABCD2ABCDACBDOAOBABCD、已知的对角线、相交于点，是等边三角形。求证：四边形是矩形。AOBOA=OBABCDAC=2OABD=2OBAC=BDABCD证明：是等边三角形，四边形是平行四边形，，是矩形。要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或者对角线相等。1、下列说法正确的是（）．（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形（C）对角线互相平分的四边形是矩形（D）对角互补的平行四边形是矩形2、满足下列条件（）的四边形是矩形.（A）有三个角相等（B）有一个角是直角（C）对角线相等且互相垂直（D）对角线相等且互相平分3、已知：如图，在平行四边形ABCD中，E为CD中点，三角形ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形。ABCDEABCDEP4MABCDADPBCPEMCPFMBEFABCDPEMF、如图，点是矩形的边的中点，点是边上的一动点，，，垂足分别为、。当矩形的长和宽满足什么条件时，四边形为矩形？猜想并说明理由。5．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：⑴先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB＝CD，EF＝GH；⑵摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是形，根据的数学道理是：；⑶将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是形，根据的数学道理是：；有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形判定方法1有三个角是直角的四边形是矩形。矩形判定方法2对角线相等的平行四边形是矩形。矩形判定方法3习题19.2第2、3题。