已知系统的开环传递函数

第4章根轨迹法4-1根轨迹的基本概念4-2绘制根轨迹的基本法则4-3广义根轨迹4-4系统性能的分析基本要求1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极点、偶极子等概念。2.正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)。熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益和开环增益。3.正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解，熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开环增益K从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。4.了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。根轨迹法根据反馈控制系统的开、闭环传递函数之间的关系，直接由开环传递函数零、极点求出闭环极点（闭环特征根）。这给系统的分析与设计带来了极大的方便。闭环控制系统的稳定性和性能指标主要由闭环系统极点在复平面的位置决定，因此，分析或设计系统时确定出闭环极点位置是十分有意义的。定义：根轨迹是指系统开环传递函数中某个参数（如开环增益K）从零变到无穷时，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。4－1根轨迹法的基本概念•当闭环系统为正反馈时，对应的轨迹为零度根轨迹；而负反馈系统的轨迹为根轨迹。1801、根轨迹概念例4-1如图所示二阶系统，系统的开环传递函数为：()(0.51)KGsss•开环传递函数有两个极点。没有零点，开环增益为K。120,2pp•闭环特征方程为2()220DsssK•闭环特征根为12112,112sKsK闭环传递函数为2()2()()22CsKsRsssK从特征根的表达式中看出每个特征根都随K的变化而变化。例如，设K=0K=0.5K=1K=2.5K=+∞12121212120,21,11,112,121,1sssssjsjsjsjsjsj如果把不同K值的闭环特征根布置在s平面上，并连成线，则可以画出如图所示系统的根轨迹。•稳定性当K由0→∞，根轨迹不会进入s右半边，即系统总是稳定的。•稳态特性坐标原点有一个开环极点，所以属I型系统，根轨迹上的K值就是Kv。如果已知ess，则在根轨迹上可确定闭环极点取值范围。•动态特性当0K10.5时，闭环极点位于实轴上，为过阻尼状态；当K1=0.5时，两个闭环实极点重合，为临界阻尼系统；当K10.5时，闭环系统是复极点，为欠阻尼状态，单位阶跃响应为衰减振荡过程。2、根轨迹与系统性能3、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系如图所示系统闭环传递函数为()()1()()GssGsHs（4－1）将前向通道传递函数G（s）表示为：221212221222*11(1)(21)()(1)(21)()()GfiiGqiiKsssGssTsTsTsszKsp……（4－2）为前向通道增益，为前向通道根轨迹增益*GKGK式中为反馈通道的根轨迹增益。*HK1*1()()()ljjHhjjszHsKsp（4－4）2*1222GGKKTT1……（4－3）（4－5）11**1111*11()()()()()()()()()()flijijGHqlijiiflijijqhijijszszGsHsKKspspszszKspsp问：f与l、q与h有什么关系？闭环传递函数*11()()()fhkkGnkkszsKsp,kkzp分别为闭环零、极点。式中：（4－6）比较式（4－2）和式（4－6）可得出以下结论①闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益；②闭环系统零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成；③闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及开环根轨迹增益有关。*K根轨迹法的任务是在已知开环零、极点分布的情况下，如何通过图解法求出闭环极点。4、根轨迹方程根轨迹方程G(s)H(s)=-1式中G(s)H(s)是系统开环传递函数，该式明确表示出开环传递函数与闭环极点的关系。闭环特征方程D(s)=1+G(s)H(s)=0（4-7）闭环极点就是闭环特征方程的解，也称为特征根。设开环传递函数有m个零点，n个极点，并假定n≥m，这时根轨迹方程又可以写成：*11()()()1()miiniiszGsHsKsp（4－8）不难看出，式子为关于s的复数方程，因此，可把它分解成模值方程和相角方程。相角方程（4－9）11()()(21)0,1,2,mniiiiszspkk*11||1||miiniiKszsp模值方程（4－10）注意•在实际应用中，用相角方程绘制根轨迹，而模值方程主要用来确定已知根轨迹上某一点的值。*K模值方程不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关；而相角方程只与开环零、极点有关。相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要条件。例4-2它们应满足相角方程（4－9）2()()2/(2)GsHsKs已知系统的开环传递函数:1224,24sjsj试证明复平面上点是该系统的闭环极点。12122,2,ppss若系统闭环极点为证明：该系统的开环极点例4－1开环零、极点分布图001112()()9090(21)22spspk(k=0)2s以为试验点，可得1s•以为试验点，观察右图，可得1112()()9090(21)22(1)spspkk证毕12,ss可见，都满足相角方程，所以，点是闭环极点。12,ss例4-3•已知系统开环传递函数当变化时其根轨迹如图4-2所示，求根轨迹上点所对应的K值。4()()/(1)GsHsKs0K10.50.5sj*K解根据模值方程求解值41|0.50.51|Kj模值方程14K•根据图可得所以2|0.50.51|2j•上面两个例子说明如何应用根轨迹方程确定复平面上一点是否是闭环极点以及确定根轨迹上一点对应的值。*K•根轨迹法可以在已知开环零、极点时，迅速求出开环增益（或其他参数）从零变到无穷时闭环特征方程所有根在复平面上的分布，即根轨迹。返回根轨迹起于开环极点，终于开环零点。法则1、根轨迹的起点与终点*111)()(Kpszsniimii由根轨迹方程有：4－2绘制根轨迹的基本法则mnmn若开环零点数m开环极点数n(有个开环零点在无穷远处)则有()条根轨迹趋于无穷远点0*K0ipsips→→起点*K0izsizs→→终点一、根轨迹的分支数分支数＝开环极点数＝开环特征方程的阶数二、根轨迹对称于实轴闭环极点为实数→在实轴上复数→共轭→对称于实轴法则2根轨迹的分支数、对称性和连续性三、根轨迹具有连续性法则3、根轨迹的渐近线渐近线与实轴正方向的夹角为：mnka)12(渐近线与实轴相交点的坐标为：mnzpnimjjia11例4-4已知系统的开环传递函数试根据法则3，求出根轨迹的渐近线。12340,4,11,11,4pppjpjn极点解：零点1,1zm*2(1)()()(4)(22)KsGsHsssss按照公式得12300011(21)(21)(21)41360(0)180(1)300(2)53nmiiiikkknmkkkpznm以下是几种开环传递函数的根轨迹渐近线*1()Kssp*12()()Ksspsp*123()()()Ksspspsp*2123()()()Ksspspsp对应的开环传递函数*1()()()KGsHsssp(a)*12()()()()KGsHssspsp(b)*123()()()()()KGsHssspspsp(c)*2123()()()()()KGsHssspspsp(d)法则4、根轨迹在实轴上的分布实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、极点数目之和应为奇数。证明：设一系统开环零、极点分布如图。在实轴上任取一试验点代入相角方程则3411121()()()()()(21)iiiiszspszszspk1s所以相角方程成立，即是根轨迹上的点。1s一般，设试验点右侧有L个开环零点，h个开环极点，则有关系式证毕11()()()lhiiiiszsplh()(21)lhk•如满足相角条件必有所以，L-h必为奇数，当然L+h也为奇数。例4-52(1)()(2)KsGsss0K•设一单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K(s+1)/[s(0.5s+1)],求时的闭环根轨迹。•解：将开环传递函数写成零、极点形式最后绘制出根轨迹图。法则1，两条根轨迹分别起始于开环极点0、－2，一条终于有限零点－1，另一条趋于无穷远处。法则2，有两条根轨迹法则4，在负实轴上，0到－1区间和－2到负无穷区间是根轨迹。按绘制根规迹法则逐步进行：例4－4根轨迹法则5、根轨迹的分离点与分离角定义：几条（两条或两条以上）根轨迹在s平面上相遇又分开的点。若根轨迹位于实轴两相邻开环极点之间，则此二极点之间至少存在一个分离点。若根轨迹位于实轴两相邻开环零点之间，则此二极点之间至少存在一个会合点。分离点的坐标d可由下面方程求得nimjjizdpd1111jz式中：为各开环零点的数值，为各开环极点的数值。ip法则6、根轨迹的起始角和终止角根轨迹的终止角是指终止于某开环零点的根轨迹在该点处的切线与水平正方向的夹角。根轨迹的起始角是指根轨迹在起点处的切线与水平正方向的夹角。终止角计算公式：)()()12(11jmkjjkniikzzzpzkk11(21)()()kmnpkjkijiikkpzpp起始角计算公式：例4-6*(2)(2)()()(12)(12)KsjsjGsHssjsj•设系统开环传递函数试绘制系统概略根轨迹。•解将开环零、极点画在图4－4的根平面上，逐步画图：①n=2，有两条根轨迹②两条根轨迹分别起始于开环极点(-1-j2),(-1+j2)；终于开环零点(-2-j),(-2+j)③确定起始角,终止角。如图例4－6所示。例4－6根轨迹*(2)(2)(12)(12)Ksjsjsjsj例4－6根轨迹的起始角和终止角例4-7*2(1)()()33.25KsGsHsss•已知系统的开环传递函数试求闭环系统的根轨迹分离点坐标d，并概略绘制出根轨迹图。解：根据系统开环传递函数求出开环极点121.51,1.51pjpj按步骤：①n=2,m=1,有两条根轨迹②两条根轨迹分别起于开环极点，终于开环零点和无穷远零点③实轴上根轨迹位于有限零点－1和无穷零点之间，因此判断有分离点离开复平面极点的初始角为111212180180116.5790206.57206.57pzpppp1.511.511221(21)21aajjk⑤渐近线121111.511.5112.12,0.12djdjddd（舍去）6、求分离点坐标d此系统根轨迹如图所示法则7、根轨迹与虚轴的交点•如根轨迹与虚轴相交，则交点上的值和值可用劳思判据判定，也可令闭环特征方程中的，然后分别令其实部和虚部为零求得。*Ksj例4-8设系统开环传递函数为试绘制闭环系统的概略根轨迹。*2()()(3)(22)KGsHsssss解：按步骤画图①有4条根轨迹②各条根轨迹分别起于开环极点0，-3，-1+j1,-1-j1；终于无穷远③实轴上的根轨迹在0到-3之间④渐近线00(21)45,13540311111.254aakjj⑤确定分离点d4110idp12,32.3,0.920.37ddj