第三章多维随机变量习题课

一、重点与难点二、主要内容三、典型例题第三章多维随机变量及其分布习题课一、重点与难点1.重点二维随机变量的分布有关概率的计算和随机变量的独立性2.难点条件概率分布随机变量函数的分布定义联合分布函数联合分布律联合概率密度边缘分布条件分布两个随机变量的函数的分布随机变量的相互独立性定义性质二维随机变量推广二、主要内容.),,(,)()(},{,或二维随机变量叫作二维随机向量由它们构成的一个向量上的随机变量是定义在和设它的样本空间是是一个随机试验　　设YXSeYYeXXeSE二维随机变量e)(eYS)(eX(1)定义.,),(},{)}(){(),(:,,,),(的联合分布函数和机变量或称为随的分布函数称为二维随机变量二元函数对于任意实数是二维随机变量设YXYXyYxXPyYxXPyxFyxYX二维随机变量的分布函数);,(),(,,),(112120yxFyxFxxyyxyxF时当意固定的即对于任的不减函数和是变量).,(),(,1212yxFyxFyyx时当对于任意固定的,1),(020yxF,y对于任意固定的;0),(lim),(yxFyFx且有,x对于任意固定的;0),(lim),(yxFxFy;0),(lim),(yxFFyx(2)性质.1),(lim),(yxFFyx.,),(),0,(),(),,0(),(30也右连续关于右连续关于即yxyxFyxFyxFyxFyxF,,),,(),,(4212122110yyxxyxyx对于任意.0),(),(),(),(21111222yxFyxFyxFyxF有.),,,(,,)(,),(),(},{,212211维随机变量维随机向量或叫做维向量由它们构成的一个上的随机变量在是定义设它的样本空间是是一个随机试验　　设nnXXXnSeXXeXXeXXeSEnnn元函数个实数对于任意nxxxnn,,,,21},,,{),,,(221121nnnxXxXxXPxxxF.),,,(21联合分布函数的称为随机变量nXXX(3)n维随机变量的概念.,),(,,2,1,,},{,,2,1,),,(),(的联合分布律和随机变量或的分布律变量称此为二维离散型随机记值为所有可能取的设二维离散型随机变量YXYXjipyYxXPjiyxYXijjiji二维随机变量(X,Y)的分布律也可表示为:二维离散型随机变量的分布律,),(xxyyijijpyxF离散型随机变量(X,Y)的分布函数为.,,求和的其中和式是对一切满足jiyyxxjiXY21ixxxjyyy2112111ippp22212ippp21ijjjppp.,),(),(,),(,dd),(),(,),(),,(),(的联合概率密度和变量或称为随机的概率密度称为二维随机变量函数量是连续型的二维随机变则称有使对于任意如果存在非负的函数的分布函数对于二维随机变量YXYXyxfYXvuvufyxFyxyxfyxFYXyx二维连续型随机变量的概率密度(1)定义.1),(dd),(20Fyxyxf.dd),(}),{(GyxyxfGYXP.0),(10yxf(2)性质).,(),(,),(),(320yxfyxyxFyxyxf则有连续在若的概率是内落在点平面上的一个区域是设GYXxoyG),(,40表示介于f(x,y)和xoy平面之间的空间区域的全部体积等于1.,dd),(}),{(GyxyxfGYXP1dd),(yxyxf.),(,}),{(为顶面的柱体体积以曲面为底的值等于以yxfzGGYXP.),(,表示空间的一个曲面几何上yxfz(3)说明.,0,),(,1),(其他DyxSyxf(4)两个常用的分布设D是平面上的有界区域,其面积为S,若二维随机变量(X,Y)具有概率密度则称(X,Y)在D上服从均匀分布.2211π21),(ρσσyxf,11,0,0,,,,,212121ρσσρσσμμ为常数其中),(yx).,,,,(~),(222121ρσσμμNYX若二维随机变量(X,Y)具有概率密度])())((2)([)1(212222212121212eσμyσσμyμxρσμxρ记为布的二维正态分服从参数为则称.,,,,),(2121ρσσμμYX二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布.}{},{),()(yYPyYXPyFyFY},,{),(,),(),(yYxXPyxFYXyxF　则的分布函数为随机变量设).,()(xFxFX记为边缘分布函数,x同理令为随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数..),(),(},{}{,的边缘分布函数关于为随机变量称令XYXxFYxXPxXPy.),(),2,1(),2,1(,,2,1},{,,2,1},{.,2,1,,},{),(11的边缘分布律和关于关于为和分别称记的联合分布律为量　　设二维离散随机变YXYXjpipjyYPppixXPppjipyYxXPYXjijiijjijijiijji离散型随机变量的边缘分布,),()(1xxjijXipxFxF.),()(1yyiijYjpyFyF随机变量关于X和Y的边缘分布函数分别为联合分布边缘分布连续型随机变量的边缘分布同理得Y的边缘概率密度.d),()(xyxfyfY.),(d),()(,dd),(),()(),,(),,(的的边缘概率密度关于称为随机变量记由于度为设它的概率密对于连续型随机变量XYXyyxfxfxyyxfxFxFyxfYXXxX.,,2,1,}{},{}{,0}{,,),(的条件分布律条件下随机变量为在则称若对于固定的是二维离散型随机变量设XyYippyYPyYxXPyYxXPjYPjYXjjijjjiji(1)离散型随机变量的条件分布随机变量的条件分布.,,2,1,}{},{}{,0}{,的条件分布律条件下随机变量为在则称对于固定的YxXjppxXPyYxXPxXyYPxXPiiiijijiiji同理可定义.)(),()(,)(),(,0)(,).(),(),,(),(yfyxfyxfXyYyfyxfyfyyfYYXyxfYXYYYYYX记为的条件概率密度的条件下为在则称的若对于固定的边缘概率密度为关于的概率密度为　　设二维随机变量(2)连续型随机变量的条件分布联合分布、边缘分布、条件分布的关系.)(),()(xfyxfxyfYxXXXY的条件概率密度为的条件下在给定联合分布边缘分布条件分布联合分布.),()(),(},{}{},{,.),()(),(),(的是和则称随机变量即有若对于所有函数的分布函数及边缘分布量分别是二维随机变及　　设相互独立YXyFxFyxFyYPxXPyYxXPyxYXyFxFyxFYXYX随机变量的相互独立性则有边缘概率密度分别为的联合概率密度为设连续型随机变量),(),(),,(),()2(yfxfyxfYXYX).()(),(yfxfyxfYX}{}{},{jijiyYPxXPyYxXP相互独立和YX.)()(,)3(也相互独立和则相互独立和YgXfYX相互独立和YX说明(1)若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为.,2,1,,},{jipjYiXPij.jiijppp即为的维随机变量分布函数),,,()1(21nXXXn.,,,21为任意实数其中nxxx概率密度函数的维随机变量),,,()2(21nXXXn二维随机变量的推广},,,,{),,,(221121nnnxXxXxXPxxxF.ddd),,,(),,,(11212121nnxxnnxnxxxxxxfxxxF.),,,(121分布函数边缘的关于维随机变量称为XXXXnn.),(),,,(2121边缘分布函数的关于维随机变量称为XXXXXnn其它依次类推.分布函数的边缘维随机变量),,,()3(21nXXXn),,,,()(111xFxFX),,,,,()(211,21xxFxFXX边缘概率密度分别为的关于关于则),(,),,,(21121XXXXXXn,ddd),,,()(322111nnXxxxxxxfxf,ddd),,,(),(432121,21nnXXxxxxxxfxxf.)1(),,,(21率密度维边缘概的同理可得nkkXXXn,),,,(),,,(2121密度的概率是若nnXXXxxxf边缘概率密度的),,,(维随机变量)4(21nXXXn(5)随机变量相互独立的定义的推广有若对于所有的nxxx,,,21)()()(),,,(212121nXXXnxFxFxFxxxFn.,,,21是相互独立的则称nXXX有若对于所有的nmyyyxxx,,,,,,,2121),,,(),,,(),,,,,,,(2122112121nmnmyyyFxxxFyyyxxxF.),,,(),,,(.,.),,2,1(),,2,1(.),,,(),,,(21212121相互独立和则是连续函数又若相互独立和则相互独立和设nmjinmYYYgXXXhghnjYmXYYYXXX定理.),,,(),,,(,),,,,,,,(),,,(),,,(,,21212121212121是相互独立的与则称随机变量的分布函数和依次为随机变量其中nmnmnmYYYXXXYYYXXXYYYXXXFFF随机变量函数的分布(1)离散型随机变量函数的分布.,2,1,}),({}{),(,2,1,,},{),(kpzYXgPzZPYXgZjipyYxXPjikyxgzijkkijji的分布律为则随机变量函数变量的联合分布律为　　若二维离散型随机的分布YXZ的密度函数为则的概率密度为　　设YXZyxfYX),,(),(.d),(d),()(yyyzfxxzxfzfZ当X,Y独立时,也可表示为)(zfZ.d)()(yyfyzfYXxxzfxfzfYXZd)()()((2)连续型随机变量函数的分布的分布YXZ密度函数为的则的概率密度为　　设YXZyxfYX),,(),(.d),()(yyyzfyzfZ当X,Y独立时,.d)()()(yyfyzfyzfYXZ的分布及),min(),max(YXNYXM则有),()(,,yFxFYXYX和分布函数分别为它们的变量是两个相互独立的随机设),()()(maxzFzFzFYX)].(1)][(1[1)(minzFzFzFYX推广的分布函数分别为及则),,,min(),,,max(2121nnXXXNXXXM),()()()(21maxzFzFzFzFnXXX),,2,1(),(,,,,,21nixFnXXXiXni它们的分布函数分别为量个相互独立的随机变是设)].(1[)](1)][(1[1)(21minzFzFzFzFnXXX则函数分布相互独立且具有相同的　　若,)(,,,21xFXXXn,)]([)(maxnzFzF.)](1[1)(minnzFzF三、典型例题.,0)4(;)3(;,)2(;),()1(:.,,310,721