数学专业英语

NewWords&Expressions:assume假定sequence序列，数列converge收敛series级数，序列diverge发散subscript下标imaginarypart虚部succession连贯性imply蕴含，推出successor后继recursionformula递推公式2.7序列及其极限SequencesandTheirLimitsKeypoints:thedefinitionofsequencesDifficultpoints:somerelevanttermsIneverydayusageoftheEnglishlanguage,thewords“sequence”and“series”aresynonyms,andtheyareusedtosuggestasuccessionofthingsoreventsarrangedinsomeorder.7-AThedefinitionofsequences在日常英语中，单词“sequence”和“series”是同义词，用以表示按某种次序排列的一串东西或事件。Inmathematicsthesewordshavespecialtechnicalmeanings.在数学中这些单词有特殊的专业含义。Theword“sequence”isemployedasinthecommonuseofthetermtoconveytheideaofasetofthingsarrangedinorder,buttheword“series”isusedinasomewhatdifferentsense.像通常用法一样，术语“sequence”用以表达按次序排列的一串东西的意思，但是“series”一词则用于表示别的意思（级数）。Theconceptofasequencewillbediscussedinthissection,andserieswillbedefinedinsection11.序列的概念在本节讨论，级数的概念将在第11节定义。Ifforeverypositiveintegernthereisassociatedarealorcomplexnumberan,thentheorderedseta1,a2,…,an,…issaidtodefineaninfinitesequence.如果对每一个正整数n都有一个实数或复数an与之对应,则有序集a1,a2,…,an,…称为一个无穷序列.Theimportantthinghereisthateachmemberofthesethasbeenlabeledwithanintegersothatwemayspeakofthefirstterma1,thesecondterma2,and,ingeneral,thenthterman.这里重要的是集合中的每一个元素都由一个整数标记，因此我们可以说第一项,第二项,一般的，第n项Eachtermhasasuccessorandhencethereisno“last”term.每一项都有下面的一项，因此没有最后一项。Themostcommonexamplesofsequencescanbeconstructedifwegivesomeruleorformulafordescribingthenthterm.如果我们给出描述第n项的规则或者公式，就可以构造出序列的常见例子。Thus,forexample,theformulaan=1/ndefinesasequencewhosefirstfivetermsare1,1/2,1/3,1/4,1/5.例如，公式an=1/n定义了一个序列，它的前五项是1,1/2,1/3,1/4,1/5.Sometimestwoormoreformulasmaybeemployedas,forexample,a2n-1=1,a2n=2n2,thefirstfewtermsinthiscasebeing1,2,1,8,1,18,1,32,1.有时可以使用两个或者多个公式(来定义一个序列)，例如，a2n-1=1,a2n=2n2，此时，前几项是……Anothercommonwaytodefineasequenceisbyasetofinstructionswhichexplainshowtocarryonafteragivenstart.Thuswemayhavea1=a2=1,an+1=an+an-1forn≥2.另一种常用的定义序列的方法是，通过一串指令说明在给定首项后如何给出后面的各项。ThisparticularruleisknownasarecursionformulaanditdefinesafamoussequencewhosetermsarecalledFibonaccinumbers.Thefirstfewtermsare1,1,2,3,5,8,13,21,34.这个特殊的规则就是常见的递推公式，它定义了一个著名的序列，其中的项称为菲波那契数。前几项是…...※Inanysequencetheessentialthingisthattherebesomefunctionfdefinedonthepositiveintegerssuchthatf(n)isthenthtermofthesequenceforeachn=1,2,3,…对任意序列，最本质的事就是存在某一个定义在正整数集上的函数，使得对n=1,2,3,…f(n)为序列的第n项。Infact,thisisprobablythemostconvenientwaytostateatechnicaldefinitionofsequence.事实上，这可能是给出序列专业定义的一种最方便的方法。DEFINITION.Afunctionfwhosedomainisthesetofallpositiveintegers1,2,3,…iscalledaninfinitesequence.Thefunctionvaluef(n)iscalledthenthtermofthesequence.定义域为所有正整数集合的函数f被称为无穷序列。函数值f(n)称为序列的第n项。Therangeofthefunction(thatis,thesetoffunctionvalues)isusuallydisplayedbywritingthetermsinorder.函数的值域（即是函数值的集合）通常以按顺序书写各项的方式来表示。Veryoftenthedependenceonnisdenotedbyusingsubscripts,andwewritean,xn…,orsomethingsimilarinsteadoff(n).Unlessotherwisespecified,allsequencesinthischapterareassumedtohaverealorcomplexterms.序列各项对n的依赖性常利用下标来表示，记为an或者其他类似的记号，而不记作f(n)。除非另有说明，本章研究的序列都是假定具有实的项或复的项。Themainquestionweareconcernedwithhereistodecidewhetherornotthetermsf(n)tendtoafinitelimitasnincreasesinfinitely.7-BThelimitofasequence这里我们关心的主要问题是当n无限增加时，项f(n)是否会趋于一个有限的极限。Totreatthisproblem,wemustextendthelimitconcepttosequences.Thisisdoneasfollows.为了解决这个问题，必须把极限的概念推广到序列中。做法如下：DIFINITION.Asequence{f(n)}issaidtohavealimitLif,foreverypositivenumbere,thereisanotherpositivenumberN(whichmaydependone)suchthat|an－L|eforalln≥N.Inthiscase,wesaythesequence{f(n)}convergestoL.Asequencewhichdoesnotconvergeiscalleddivergent.……不收敛的序列被称为发散序列。Inthisdefinitionthefunctionvaluesf(n)andthelimitLmayberealorcomplexnumbers.IffandLarecomplex,wemaydecomposethemintotheirrealandimaginaryparts,sayf=u+ivandL=a+ib.在这个定义中，函数值f(n)和极限L都可能是实数或者复数。如果f和L是复数,可以将其分解为实部和虚部。Inotherwords,acomplex-valuedsequencefconvergesifandonlyifboththerealpartuandtheimaginarypartvconvergeseparately.(P61第三段最后一句)换句话说，复值序列f收敛当且仅当实部和虚部(序列)分别收敛。※Itisclearthatanyfunctiondefinedforallpositiverealxmaybeusedtoconstructasequencebyrestrictingxtotakeonlyintegervalues.显然,每一个对所有正实数x有定义的函数都可以用来构造一个序列，其办法是限制x只取整数值。Thephrase“convergentsequence”isusedonlyforasequencewhoselimitisfinite.Asequencewithaninfinitelimitissaidtodiverge.Thereare,ofcourse,divergentsequencesthatdonothaveinfinitelimits.仅当一个序列的极限有限时，才使用短语“收敛序列”。一个具有无穷极限的序列称为发散序列。当然，一个发散序列未必存在一个无穷极限。本小节重点掌握1.以正整数集为定义域的函数称为序列。2.除非另有说明，本章研究的序列都假定具有实的项或复的项。Afunctionwhosedomainisthesetofallpositiveintegersiscalledasequence.Unlessotherwisespecified,allsequencesinthischapterareassumedtohaverealorcomplexterms.课下自学课文7-CMonotonicsequencesofrealnumbers•Monotonicallydecreasingfunction•Monotonicallyincreasingfunction作业：P632:(3),(8)P643:(1)谢谢！