微专题5 高考中的圆锥曲线问题(2019高考帮・数文)

2019版《高考帮》配套PPT课件微专题5高考中的圆锥曲线问题【高考帮·文科数学】微专题5：高考中的圆锥曲线问题A考法帮∙考向全扫描目录CONTENTS考向1圆锥曲线的标准方程和几何性质考向2圆锥曲线中的最值、取值范围问题考向3圆锥曲线中的定点、定值问题考向4圆锥曲线中的探索性问题A考法帮∙考向全扫描考向1圆锥曲线的标准方程和几何性质考向2圆锥曲线中的最值、取值范围问题考向3圆锥曲线中的定点、定值问题考向4圆锥曲线中的探索性问题文科数学微专题5：高考中的圆锥曲线问题文科数学微专题5：高考中的圆锥曲线问题考情揭秘圆锥曲线是平面解析几何的核心部分,也是高考的必考内容,一般有两道小题和一道大题,高考的主要命题点有:圆锥曲线的标准方程、几何性质、位置关系、定点与定值问题、最值问题、取值范围问题、探索性问题.对于解答题的第(1)问,一般比较容易,但第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算,对考生的数学运算能力要求较高,通常作为压轴题.考向1圆锥曲线的标准方程和几何性质圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型,一般出现在选择题和解答题的第(1)问.圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点,主要命题角度有:椭圆、双曲线的离心率,求抛物线的准线,求双曲线的渐近线,利用圆锥曲线的几何意义求参数、距离、面积、弦长等.示例1[2016全国卷Ⅰ,5,5分][文]直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为A.13B.12C.23D.34命题意图本题主要考查椭圆的几何性质、直线和椭圆的位置关系等知识,意在考查考生的数形结合思想、转化与化归思想以及数学运算能力.文科数学微专题5：高考中的圆锥曲线问题解析解法一不妨设直线l过椭圆的上顶点(0,b)和左焦点(-c,0),b0,c0,则直线l的方程为bx-cy+bc=0,由已知得𝑏𝑐𝑏2+𝑐2=14×2b,解得b2=3c2,又b2=a2-c2,所以𝑐2𝑎2=14,即e2=14,所以e=12(e=-12舍去).解法二不妨设直线l过椭圆的上顶点(0,b)和左焦点(-c,0),b0,c0,则直线l的方程为bx-cy+bc=0,由已知得𝑏𝑐𝑏2+𝑐2=14×2b,所以𝑏𝑐𝑎=14×2b,所以e=𝑐𝑎=12.答案B文科数学微专题5：高考中的圆锥曲线问题示例2[2015新课标全国Ⅱ,15,5分][文]已知双曲线过点(4,3),且渐近线方程为y=±12x,则该双曲线的标准方程为.命题意图本题主要考查双曲线的基本量之间的关系,意在考查考生的数学运算能力、逻辑推理能力,对考生的转化与化归思想有较高的要求.解析解法一因为双曲线过点(4,3),且渐近线方程为y=±12x,故点(4,3)在直线y=12x的下方.设该双曲线的标准方程为𝑥2𝑎2-𝑦2𝑏2=1(a0,b0),所以文科数学微专题5：高考中的圆锥曲线问题42𝑎2−(3)2𝑏2=1,𝑏𝑎=12,解得𝑎=2,𝑏=1,故双曲线的标准方程为𝑥24-y2=1.解法二因为双曲线的渐近线方程为y=±12x,故可设双曲线为𝑥24-y2=λ(λ0),又双曲线过点(4,3),所以424-(3)2=λ,所以λ=1,故双曲线的标准方程为𝑥24-y2=1.文科数学微专题5：高考中的圆锥曲线问题考向2圆锥曲线中的最值、取值范围问题圆锥曲线中的最值与取值范围问题是高考中的常考题型,主要命题角度有:(1)涉及距离、面积的最值以及与之有关的一些问题;(2)求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题.题型以解答题为主,难度一般较大,注重函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用.示例3[2013新课标全国Ⅱ,20,12分]平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)右焦点的直线x+y-3=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为12.(Ⅰ)求M的方程;(Ⅱ)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.命题意图本题主要考查用待定系数法求椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系及利用函数思想求最值,意在考查考生分析问题、解决问题的能力及转化与化归思想,对考生的综合素质提出了较高的要求.文科数学微专题5：高考中的圆锥曲线问题解析(Ⅰ)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则𝑥12𝑎2+𝑦12𝑏2=1,𝑥22𝑎2+𝑦22𝑏2=1,𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1=-1,由此可得𝑏2(𝑥2+𝑥1)𝑎2(𝑦2+𝑦1)=-𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1=1.因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,𝑦0𝑥0=12,所以a2=2b2.又由题意知,M的右焦点为(3,0),故a2-b2=3.因此a2=6,b2=3.文科数学微专题5：高考中的圆锥曲线问题所以M的方程为𝑥26+𝑦23=1.(Ⅱ)由𝑥+𝑦−3=0,𝑥26+𝑦23=1,解得𝑥=433,𝑦=−33或𝑥=0,𝑦=3.因此|AB|=463.由题意可设直线CD的方程为y=x+n(-533n3),C(x3,y3),D(x4,y4).文科数学微专题5：高考中的圆锥曲线问题由𝑦=𝑥+𝑛,𝑥26+𝑦23=1,得3x2+4nx+2n2-6=0.于是x3,4=−2𝑛±2(9−𝑛2)3.因为直线CD的斜率为1,所以|CD|=2|x4-x3|=439−𝑛2.由已知,四边形ACBD的面积S=12|CD|·|AB|=8699−𝑛2.当n=0时,S取得最大值,最大值为863.所以四边形ACBD面积的最大值为863.文科数学微专题5：高考中的圆锥曲线问题考向3圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、定值问题是高考中的常考题型,主要命题角度有:(1)证明直线、圆过定点;(2)代数式为定值、点到直线的距离为定值、线段的长度为定值、与曲线上的动点有关的定值问题.题型以解答题为主,难度一般较大,注重函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用.示例4[2015新课标全国Ⅱ,20,12分][文]已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)的离心率为22,点(2,2)在C上.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.命题意图本题主要考查直线与椭圆的综合应用,具体涉及椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识,意在考查考生的逻辑推理能力与数学运算能力及数形结合思想.文科数学微专题5：高考中的圆锥曲线问题解析(Ⅰ)由题意有𝑎2−𝑏2𝑎=22,4𝑎2+2𝑏2=1,解得a2=8,b2=4.所以C的方程为𝑥28+𝑦24=1.(Ⅱ)设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代入𝑥28+𝑦24=1得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.故xM=𝑥1+𝑥22=−2𝑘𝑏2𝑘2+1,yM=k·xM+b=𝑏2𝑘2+1.于是直线OM的斜率kOM=𝑦𝑀𝑥𝑀=-12𝑘,即kOM·k=-12.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.文科数学微专题5：高考中的圆锥曲线问题考向4圆锥曲线中的探索性问题圆锥曲线中的探索性问题具有开放性和发散性,此类问题的条件和结论不完备,需要结合已知条件或假设新的条件进行探究、观察、分析、比较、抽象、概括等,是高考的常考题型,以解答题的形式出现,难度一般较大,主要命题角度有:(1)探索点是否存在;(2)探索曲线是否存在;(3)探索命题是否成立.示例5[2016全国卷Ⅰ,20,12分][文]在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.(Ⅰ)求|𝑂𝐻||𝑂𝑁|;(Ⅱ)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.命题意图本题考查抛物线的几何性质、直线和抛物线的位置关系等知识,意在考查考生的数学运算能力.解析(Ⅰ)由已知得M(0,t),P(𝑡22𝑝,t).文科数学微专题5：高考中的圆锥曲线问题又N为M关于点P的对称点,所以N(𝑡2𝑝,t),ON的方程为y=𝑝𝑡x,代入y2=2px,整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=2𝑡2𝑝.因此H(2𝑡2𝑝,2t).所以N为OH的中点,即|𝑂𝐻||𝑂𝑁|=2.(Ⅱ)直线MH与C除H以外没有其他公共点.理由如下:直线MH的方程为y-t=𝑝2𝑡x,即x=2𝑡𝑝(y-t).代入y2=2px,得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.文科数学微专题5：高考中的圆锥曲线问题找新题，组好卷！智能筛选，一键成卷！强区名校，新题好卷，每日更新，智能选题，模板体例，3步成卷自动查重，一键替换，难度自定，天星原创题库，好题随选随用!免费组卷《高考帮》增值PPT课件查看更多