数学物理方程-答案-谷超豪

第一章．波动方程§1111方程的导出。定解条件1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(txu满足方程()⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂xuExtuxtρ其中ρ为杆的密度，E为杨氏模量。证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为x与+xx∆。现在计算这段杆在时刻t的相对伸长。在时刻t这段杆两端的坐标分别为：),();,(txxuxxtxux∆++∆++其相对伸长等于),()],([)],([txxuxxtxuxtxxuxxx∆+=∆∆−+−∆++∆+θ令0→∆x，取极限得在点x的相对伸长为xu),(tx。由虎克定律，张力),(txT等于),()(),(txuxEtxTx=其中)(xE是在点x的杨氏模量。设杆的横截面面积为),(xS则作用在杆段),(xxx∆+两端的力分别为xuxSxE)()(xuxxSxxEtx)()();,(∆+∆+).,(txx∆+于是得运动方程ttuxxsx⋅∆⋅)()(ρxESutx=),(xxxxxESuxx|)(|)(−∆+∆+利用微分中值定理，消去x∆，再令0→∆x得ttuxsx)()(ρx∂∂=xESu()若=)(xs常量，则得22)(tux∂∂ρ=))((xuxEx∂∂∂∂即得所证。2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。解：(1)杆的两端被固定在lxx==,0两点则相应的边界条件为.0),(,0),0(==tlutu(2)若lx=为自由端，则杆在lx=的张力xuxEtlT∂∂=)(),(|lx=等于零，因此相应的边界条件为xu∂∂|lx==0同理，若0=x为自由端，则相应的边界条件为xu∂∂∣00==x(3)若lx=端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数)(tv给出，则在lx=端支承的伸长为)(),(tvtlu−。由虎克定律有xuE∂∂∣)](),([tvtluklx−−==其中k为支承的刚度系数。由此得边界条件)(uxuσ+∂∂∣)(tflx==其中Ek=σ特别地，若支承固定于一定点上，则,0)(=tv得边界条件)(uxuσ+∂∂∣0==lx。同理，若0=x端固定在弹性支承上，则得边界条件xuE∂∂∣)](),0([0tvtukx−==即)(uxuσ−∂∂∣).(0tfx−=3.试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为2222)1(])1[(tuhxxuhxxE∂∂−=∂∂−∂∂ρ其中h为圆锥的高(如图1)证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x点处截面的半径l为：hxl−=1所以截面积2)1()(hxxs−=π。利用第1题，得])1([)1()(2222xuhxExtuhxx∂∂−∂∂=∂∂−ππρ若ExE=)(为常量，则得2222)1(])1[(tuhxxuhxxE∂∂−=∂∂−∂∂ρ4.绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。解：如图2，设弦长为l，弦的线密度为ρ，则x点处的张力)(xT为)()(xlgxT−=ρ且)(xT的方向总是沿着弦在x点处的切线方向。仍以),(txu表示弦上各点在时刻t沿垂直于x轴方向的位移，取弦段),,(xxx∆+则弦段两端张力在u轴方向的投影分别为)(sin))(();(sin)(xxxxlgxxlg∆+∆+−−θρθρ其中)(xθ表示)(xT方向与x轴的夹角又.sinxutg∂∂=≈θθ于是得运动方程xuxxltux∂∂∆+−=∂∂∆)]([22ρ∣xuxlgxx∂∂−−∆+][ρ∣gxρ利用微分中值定理，消去x∆，再令0→∆x得])[(22xuxlxgtu∂∂−∂∂=∂∂。5.验证2221),,(yxttyxu−−=在锥222yxt−−0中都满足波动方程222222yuxutu∂∂+∂∂=∂∂证：函数2221),,(yxttyxu−−=在锥222yxt−−0内对变量tyx,,有二阶连续偏导数。且tyxttu⋅−−−=∂∂−23222)(2252222322222)(3)(tyxtyxttu⋅−−+−−−=∂∂−−)2()(22223222yxtyxt++⋅−−=−xyxtxu⋅−−=∂∂−23222)(()()22522223222223xyxtyxtxu−−−−+−−=∂∂()()222252222yxtyxt−+−−=−同理()()22225222222yxtyxtyu+−−−=∂∂−所以()().222222252222222tuyxtyxtyuxu∂∂=++−−=∂∂+∂∂−即得所证。6.在单性杆纵振动时,若考虑摩阻的影响,并设摩阻力密度涵数(即单位质量所受的摩阻力)与杆件在该点的速度大小成正比(比例系数设为b),但方向相反,试导出这时位移函数所满足的微分方程.解:利用第1题的推导,由题意知此时尚须考虑杆段()xxx∆+,上所受的摩阻力.由题设,单位质量所受摩阻力为tub∂∂−,故()xxx∆+,上所受摩阻力为()()tuxxsxpb∂∂∆⋅⋅−运动方程为:()()()()tuxxsxbxxuEStuEStuxxsxxx∂∂∆⋅−∂∂−⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂=∂∂⋅∆∆+ρρ22利用微分中值定理，消去x∆,再令0→∆x得()()()().22tuxsxbxuESxtuxsx∂∂−⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂=∂∂ρρ若=)(xs常数，则得()()tuxbxuExtux∂∂−⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂=∂∂ρρ22若()()则得方程令也是常量是常量,.,2ρρρEaExEx===.22222xuatubtu∂∂=∂∂+∂∂§§§§2222达朗贝尔公式、波的传抪1.证明方程()常数011122222≻htuhxaxuhxx∂∂⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∂∂的通解可以写成()()xhatxGatxFu−++−=其中F,G为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:()().,:0xtuxutΨ=∂∂==ϕ解：令()vuxh=−则()()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+−=∂∂−∂∂+=∂∂−xvuxhxuxhxvuxuxh2,))(()()()()[(2222xvuxhxuxhxuxhxvuxuxhx∂∂+−=∂∂−+∂∂−+∂∂+−=∂∂−∂∂又()2222tvtuxh∂∂=∂∂−代入原方程，得()()222221tvxhaxvxh∂∂−=∂∂−即222221tvaxv∂∂=∂∂由波动方程通解表达式得()()()atxGatxFtxv++−=,所以()()()xhatxGatxFu−++−=为原方程的通解。由初始条件得()()()[])1(1xGxFxhx+−=ϕ()()()[]xaGxaFxhx//1+−−=ψ所以()()()())2(10cdhaxGxFxx+−=−∫ααψα由)2(),1(两式解出()()()()()22121cdhaxxhxFxxo+−+−=∫ααψαϕ()()()()()22121cdhaxxhxGxxo+−−−=∫ααψαϕ所以)]()()()[()(21),(atxatxhatxatxhxhtxu+−−+−+−−=ϕϕ+∫+−−−atxatxhxha()()(21ψα.)ααd即为初值问题的解散。２．问初始条件)(xϕ与)(xψ满足怎样的条件时，齐次波动方程初值问题的解仅由右传播波组成？解：波动方程的通解为u=F(x-at)+G(x+at)其中F，G由初始条件)(xϕ与)(xψ决定。初值问题的解仅由右传播组成，必须且只须对于任何tx,有G(x+at)≡常数.即对任何x,G(x)≡C0又G（x）=∫−+xxaCdax02)(21)(21ααψϕ所以)(),(xxψϕ应满足+)(xϕ∫=xxCda01)(1ααψ（常数）或'ϕ(x)+)(1xaψ=03.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∂∂=∂∂=+=−).()(0022222xuxuxuatuatxatxψϕ())0()0(ψϕ=解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)令x-at=0得)(xϕ=F（0）+G（2x）令x+at=0得)(xψ=F（2x）+G(0)所以F(x)=)2(xψ-G(0).G（x）=)2(xϕ-F(0).且F（0）+G(0)=).0()0(ψϕ=所以u(x,t)=(ϕ)2atx++)2(atx−ψ-).0(ϕ即为古尔沙问题的解。4．对非齐次波动方程的初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞−∞=∂∂==+∞−∞=∂∂−∂∂)()(),(,0),0(),(22222xxtuxutxttxfxuatuψϕ证明：（1）如果初始条件在x轴的区间[x1,x2]上发生变化，那末对应的解在区间[1x，2x]的影响区域以外不发生变化；（2）在x轴区间[2,1xx]上所给的初始条件唯一地确定区间[21,xx]的决定区域中解的数值。证：（1）非齐次方程初值问题的解为u(x,t)=∫+−+++−atxatxaatxatx21)]()([21ϕϕ+ααψd)(+∫∫−+−−ttaxtaxddfa0)()(.),(21τττξτξ当初始条件发生变化时，仅仅引起以上表达式的前两项发生变化，即仅仅影晌到相应齐次方程初值的解。当),(xϕ)(xψ在[2,1xx]上发生变化，若对任何t0,有x+atx1或x-atx2,则区间[x-at,x+at]整个落在区间[2,1xx]之外，由解的表达式知u(x,t)不发生变化，即对t0,当xx1-at或xx2+at,也就是（x,t）落在区间[21,xx]的影响域)0(2+≤≤−tatxxatxt之外，解u(x,t)不发生变化。（1）得证。(2).区间[21,xx]的决定区域为atxxatxt−≤≤+21,0在其中任给（x,t）,则21xatxatxx≤+−≤故区间[x-at,x+at]完全落在区间[21,xx]中。因此[21,xx]上所给的初绐条件)(),(xxβψϕ代入达朗贝尔公式唯一地确定出u(x,t)的数值。5.若电报方程()GRuuLGCRCLuutttxx+++=()为常数GRLC,,,具体形如()()()atxfttxu−=µ,的解（称为阻碍尼波），问此时GRLC,,,之间应成立什么关系？解()()()atxfttxu−=µ,()()atxftuxx−′′=µ()()()()atxftaatxftut−′−−′=µµ()()()()()()atxftaatxftaatxftutt−′′+−′′−−′′=µµµ22代入方程，得()()()()()()()()()()()()()()()0212=−++′++′′+−′++′−−′′−atxftGRtGRtLGCRtCLatxftLGCRataCLatxftCLaµµµµµµµ由于f是任意函数，故fff′′′,,的系数必需恒为零。即()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+′++′′=++′=−002012tGRtLGCRtCLtLGCRtCLCLaµµµµµ于是得21aCL=()()()LGCRatutu+−=′22所以()()tLGCRaectu+−=202代入以上方程组中最后一个方程，得()()0242224≡++−+⋅GRLGCRaLGCRaCL又()GRCLLGCRCLa=+=2241,1得即()02=−LGCR最后得到RGLC=6．利用波的反射法求解一端固定并伸长到无穷远处的弦振动问题()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥=∞=====00,000,002ttuxxuxuuautttxxttψϕ解：满足方程及初始条件的解，由达朗贝尔公式给出：()()()()()∫+−+−++=atxatxdaatxatxtxuααψϕϕ2121,。由题意知()()xxψϕ,仅在∞x0上给出，为利用达朗贝尔解，必须将()()xxψϕ,开拓到0∞−x上，为此利用边值条件，得()()()()∫−++=atat