叶片的强度与振动

2.主振型的正交性叶片的不同阶的振型之间也存在着正交性，在这里我们把叶片作为连续弹性体，故将表现为积分形式。设分别为对应于的主振型函数，据上节讨论必有,ijYxYx,ij22222ddddiiiYEJAYxx22222ddddjjjYEJAYxx(a)(b)用Yj乘a式并在全梁分部积分，可得222222002222002222222200020dddddddddddddddddddddddddddddddddlliijjlljiijllljjiiijliijYYYEJxYEJxxxxYYYYEJEJxxxxYYYYYYEJEJEJxxxxxxxAYYx(c)同理，用Yi乘b式并在全梁进行分部积分，得222202222222200020dddddddddddddddddddljillljjjiiiljijYYEJxxxYYYYYYEJEJEJxxxxxxxAYYx(d)将上两式相减得2202222222200dddddddddddddddddlijijlljjjiiijiAYYxYYYYYYYEJYEJEJEJxxxxxxxx上式右边实际上是x=0和x=l时叶片的端点条件，应等于零。因此，只要,ijij，便有0d0lijAYYxij该式即为叶片的主振型对于质量的正交性表达式。(3-23)将上式代回c式可得22220ddd0ddljiYYEJxijxx(3-24)该式为叶片的主振型对刚度的正交性表达式。对等截面叶片主振型的正交性表达式简化为0d0lijYYxij22220ddd0ddljiYYxijxx(3-25)(3-26)三、变截面叶片固有频率的计算对于一般系统，由于其复杂性，只能求其近似的数值解。近似求解变截面叶片的固有频率，可用振型迭代法。该法的主要特点是先假设一个系统的主振型，经过逐次迭代，使它收敛到该阶主振型（以前后两次计算值相近为准），从而得到系统的固有频率。振型迭代法又可分为雷利法和矩阵迭代法。1.雷利法变截面叶片可视为悬臂梁，将其离散为如图3-24所示。12,,mm为集中质量，12,,YY为相应集中质量作用截面的静挠度。如忽略阻尼，变截面叶片自由振动可看成是保守系统。在保守系统中机械能量守恒的。叶片在振动的每一瞬间，其能量有两种形式，为势能U和动能T，而U+T=const，在振动到最大振幅时，系统动能为零，具有最大势能Umax，当振动到平衡位置时，系统势能为零，具有最大动能Tmax，据能量守恒，有maxmaxTU(a)图3-24计算最大势能和最大动能必须要知道系统的振型曲线Y(x)，但对多自由度系统智能给出近似的振型曲线。雷利提出可用系统的静挠度曲线来近似系统一阶主振型。工程实践证明，这是一个很好的近似。用能量法求多自由度系统固有频率的方法也称之为雷利法(Rayleigh’smethod)。对于2阶以上的振型，我们很难给出与之相近的曲线。所以雷利法一般只用于计算系统的基频。用该法仅计算一次便可得到工程上满意的结果，故无需多次迭代。如计算出各集中质量点处的静挠度为。设叶片的振动是简谐的，各集中质量的运动可有下式表示12,,YY(,)siniikkyxtYxt(b)式中是叶片横振动的固有频率，为初相位，各质量点处的速度为kkcosiikkkyYxtt(c)其最大速度为1maxikyYt各质量的最大动能及最大势能为22maxmax1212iiikiiiTmYUmgY1,2,i(d)(e)(f)上两式的区别在于3-28式振型可取相对值，而3-27式中必须用系统的静挠度值，不能用相对值。令，有，当Y按一定比例变化时，3-27式中的据能量守恒有221122kiiiimYgmY由此得变截面叶片的固有频率22iikiigmYmY在机械振动理论中，有雷利商式2YEYYMY(3-27)(3-28)iiPmgPYKiiPmg并没有按相同的比例变化，所以该式中只能取系统静挠度的绝对数值。iYiY现在求变截面叶片固有频率问题便转化为求在集中质量作用下梁的静挠度问题。现用直接积分法来求变截面叶片的静挠度。以上已推出2222ddddYEJqxx(3-29)因变截面叶片的截面变化规律A(x)及主惯性矩变化规律J(x)很难用解析式表达，因此对上式只能进行数值积分。2.振型迭代法22222ddddYEJAYxx24001kkkkknnkYAYxEJ24,1,,001kkkkijkijknnkYAYxEJ可以直接假设一个近似的一阶主振型曲线如2xYxl1cos2xYxl等，将其离散为作为振型初始值，所假设的振型曲线必须满足叶片的变形几何边界条件。对叶片自由振动有2qAY可改写为(3-30)这里Y为叶片某阶主振型，ω为相应固有频率，为惯性力集度。出于同样的理由对3-30是也仅能进行数值积分。将叶片分为n段，以根部为0截面，叶顶为n截面，将振型初始值Y(x)及A(x),J(x)的相应离散值代入上式，积分四次，便可以求出一阶振型曲线的第一次近似值。2qAY式中k为计算截面。如以i表振型阶次，j表迭代次数，上式可重写为对上式进行迭代，如前后两次计算结果相当接近，则认为已得到满意结果，可停止计算。,ijY,1ijY例题：某压缩机一级动叶片叶高l=17cm，材料为2Cr13，622.18710/EKgcm337.7510/kgcm将叶片等分10段，每段集中质量作用在段中，根部截面下标为0，视为固定端，计算模型图示如下各截面面积A，主惯性矩J，长度012345678910Q0M0l/10012345678910A(cm2)6.7176.5626.3436.2566.2086.10855.6655.2125.074.8834.65J(cm4)0.63600.60110.53180.47310.43280.39810.33110.26180.22830.20240.1745x(cm)1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.7问题1：设初始振型为，用振型迭代法计算变截面叶片的一阶固有频率。2xYxl42,1,24241616()ijnEEYZxx72223442.18710102090.3rad/s1.77.7510123718.26ExZ332.7Hz2f问题2：计算叶片的一阶弯曲振动相对动应力计算见下表，本例只计算背弧顶点B的相对弯曲动应力3.二阶固有频率的计算变截面叶片二阶和二阶以上固有频率计算的困难在于：很难找到相应振型的较准确的近似曲线，一般所取的振型初始值误差较大。以二阶固有频率计算为例，设所去的初始振型曲线为Y(x),则Y(x)可表示为n个主振型的线性组合（如叶片分为n段）1122nnYxaYxaYxaYx初始振型Y(x)中所包含的高于二阶的振型成分，其值相对于可略而不计，但Y(x)所包含的一阶主振型成分却不可略去，可近似认为22aYx1122YxaYxaYx可利用主振型的正交性消去初始振型中的一阶成分。具体做法是将3-32是两端同乘以(3-31)(3-32)1AYx并沿全叶高积分2111212000dddlllAYxYxxaYxxaAYxYxx由叶片主振型对质量的正交性有120d0lAYxYxx上式可写为211100ddllAYxYxxaAYxx故可得101210ddllAYxYxxaAYxx(3-33)将比例常数代入3-32式得1a21121YxYxaYxa由振型的相对值，可取211YxYxaYx(3-34)二阶固有频率的计算需要较多的迭代次数才能得到满意的结果。如需计算二阶以上固有频率，则要多次利用主振型的正交性，来求得各值，以去除低于该阶的主振型成分，有1a020ddliiliAYxYxxaAYxx111iiiYxYxaYxaYx(3-35)(3-36)该法需要较多的迭代次数才能取得较好的结果。一般很少用此法求高于3阶的固有频率。现在较新的求叶片固有频率的方法有传递矩阵法（Prohl法）、有限元法和有限差分法。四、叶片相对弯曲振动应力及动频计算1.叶片相对弯曲振动应力由于主振动的相对性，这里所说的弯曲动应力也是相对值。由3-30式22222ddddYEJAYxx积分两次可得弯矩M的相对值为2ddllxxMAYxx式中数值积分得22kkknnMAYx(3-37)式中k为计算截面，于是有kMW式中minJWh为叶片截面抗弯模量。如前所述，叶片截面的危险点在后缘点，而前缘点与背弧顶点也是较危险的地方，亦须校核，见图3-27。等截面叶片型弯曲振动的危险截面为根部截面。对变截面叶片而言，危险截面却不一定在根部，因为还有截面抗弯横量W这个因素。等截面叶片前三阶弯曲振动主振型及相应弯矩如图3-28所示，可见对于二阶弯曲振动，危险截面在0.6l处，对于三阶弯曲振动，危险截面约在0.75l与0.3l处。因此我们可以根据裂缝出现的位置来大致判断出是由于哪一阶弯曲共振疲劳产生的。这就是相对弯曲动应力分布对破坏分析的意义所在。0A图3-27叶片截面危险点图3-28等截面叶片相对于弯曲动应力2.叶片的动频前已谈及，动叶的动频高于静频。这是因为动叶片工作时，要承受巨大的离心惯性力；由离心力产生的附加弯矩与叶片弹性恢复力共同促使叶片返回平衡位置，这相当于增强了叶片的刚性，因此动叶的动频高于静频。下面用能量法讨论旋转叶片动频的计算。为此先用该法计算叶片的静频。参阅图3-21。设叶片振动运动规律为,sincyxtYxt式中为叶片的静频，即叶片不旋转而自由振动时的固有频率。此时，叶片某截面的转角，弯矩，叶片dx微段的势能为cYMEJYdY2dddd222MEJEJUYYxYx于是叶片的最大势能为22max201dd2dlYUEJxx叶片dx微段的动能为21ddd2dyTAxtcosccyYt故maxcyY(3-38)于是叶片的最大动能为据能量法有22max1d2lcoTAYxmaxmaxUT从而得叶片静频的计算式222022ddddlcloYJxxEAYx(3-39)(3-40)叶片以转速Ω旋转时，叶片势能还应包括离心力场作用下的附加势能U故能量守恒式为maxmaxmaxTUU(3-41)是当叶片振动到最大振幅时，离心力所作的功，此时叶片的最大动能maxU22max1d2ldoTAYx(3-42)不计离心力场影响的最大弹性弯曲势能的表达式仍为3-38式。附加势能的计算U如图3-42所示，当叶片以转速Ω旋转时，作用在微段dx上的离心力为2ddFARxx设dx微段位移前重心坐标为OC=S。当弯201dxOCSYx曲叶片轴线变为弧线式中ddYYx为振型曲线的斜率。则dx微段重心的下降值为201dxeSxYxx因为Y’值很小，所以有221112