人教版中考数学第21讲《矩形、菱形、正方形》ppt课件

第21讲矩形、菱形、正方形考点一矩形、菱形、正方形的性质和判定温馨提示1.正方形的判定：1先证明四边形是矩形，再证明有一组邻边相等或对角线垂直；2先证明四边形是菱形，再证明有一个角是直角或对角线相等.2.矩形的面积：S＝aba，b表示长和宽；菱形的面积等于两条对角线乘积的一半；正方形的面积等于边长的平方或对角线乘积的一半.考点二平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系温馨提示1.矩形、菱形和正方形都具有平行四边形的所有性质.2.平行四边形及特殊平行四边形的有关知识点比较多，要想做到准确而不混淆就要从“边、角、对角线、对称性”这四个方面来研究它们的性质和判定，多用数形结合法，掌握它们的区别与联系，把握它们的特征是关键.考点一矩形的性质与判定例1(2013·白银)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF.(1)线段BD与CD有何数量关系，为什么？(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、矩形的判定．解：(1)BD＝CD.理由如下：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE.又∵E是AD的中点，∴AE＝DE.∴△AFE≌△DCE.∴AF＝CD.又∵AF＝BD，∴BD＝CD.(2)当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形．又∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.∴四边形AFBD是矩形．方法总结矩形是特殊的平行四边形，证明矩形的常用方法就是先证明四边形是平行四边形，然后再证明有一个角是直角或对角线相等.考点二菱形的性质与判定例2(2013·梅州)如图，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE.(1)求证：四边形BECF是菱形；(2)若四边形BECF为正方形，求∠A的度数．【点拨】本题考查线段垂直平分线的性质、菱形的判定、正方形的性质等．解：(1)证明：∵BC的垂直平分线EF交BC于点D，∴BF＝CF，BE＝CE.又∵∠ACB＝90°，∴EF∥AC.∵D为BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴BE＝AE.又∵CF＝AE，∴CF＝BE.∴CF＝BF＝BE＝CE.∴四边形BECF是菱形．(2)如图，∵四边形BECF为正方形，∴∠BEC＝90°.又∵AE＝CE，∴∠A＝45°.方法总结对于菱形的判定，若可证出四边形为平行四边形，则可证一组邻边相等或对角线互相垂直；若相等的边较多，则可证四条边都相等.考点三正方形的性质与判定例3(2013·南京)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.(1)求证：∠ADB＝∠CDB；(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的判定等．证明：(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.又∵AB＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD.∴∠ADB＝∠CDB.(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°.又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形．∵∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN.∴四边形MPND是正方形．方法总结1.正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形，具有矩形和菱形的所有性质.2.证明一个四边形是正方形，可以先判定为矩形，再证邻边相等或对角线互相垂直；或先判定为菱形，再证有一个角是直角或对角线相等.1．如图，矩形ABCD的对角线AC＝8cm，∠AOD＝120°，则AB的长为(D)A.3cmB．2cmC．23cmD．4cm解析：∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°.∴△AOB是等边三角形．∴AB＝AO＝12AC＝4cm.故选D.2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法错误的是(B)A．AB∥DCB．AC＝BDC．AC⊥BDD．OA＝OC3．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上任意一点，则PK＋QK的最小值为(B)A．1B.3C．2D.3＋1解析：如图，作AE⊥BC于点E，∵四边形ABCD为菱形，∴点Q关于BD的对称点在AD上，∴AE的长是PK＋QK的最小值．∵∠A＝120°，∴∠ABE＝60°.∵AB＝2，sin∠ABE＝AEAB，∴AE＝AB·sin∠ABE＝2×32＝3.故选B.4．如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠A＝60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF的面积为163cm2.解析：∵在Rt△AED中，∠A＝60°，AD＝8cm，sin∠DAE＝DEAD，∴DE＝AD·sin∠DAE＝8×32＝43(cm)，AE＝12AD＝4(cm)．∴S菱形ABCD＝AB·DE＝8×43＝323(cm2)，S△AED＝12AE·DE＝12×4×43＝83(cm2)，S△DFC＝S△AED＝83(cm2)．∴S四边形BEDF＝323－2×83＝163(cm2)．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是12.解析：∵AC＝BC，∴∠A＝∠B.∵∠EFC＝90°，∠C＝90°，∴EF∥BC，∴∠AEF＝∠B，∴∠A＝∠AEF，∴AF＝EF.同理EG＝BG.∴矩形CFEG的周长为EF＋FC＋CG＋GE＝AF＋FC＋CG＋GB＝AC＋CB＝2AC＝12.6．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且BF＝CE.(1)求证：DE＝DF；(2)当∠A＝90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，并证明你的结论．解：(1)证明：∵点D是BC的中点，∴BD＝CD.∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°.在Rt△DFB和Rt△DEC中，BD＝CD，BF＝CE，∴Rt△DFB≌Rt△DEC.∴DE＝DF.(2)四边形AFDE是正方形．证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠AFD＝∠AED＝90°.又∵∠A＝90°.∴四边形AFDE是矩形．又∵DF＝DE，∴四边形AFDE是正方形．考点训练一、选择题(每小题4分，共40分)1．(2013·宜昌)如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是(C)A．8B．6C．4D．2解析：∵矩形的对角线相等且互相平分，∴AO＝BO＝CO＝DO，∴△AOB，△BOC，△COD，△AOD都是等腰三角形．又∵AB＜BC，∴△ABC，△BCD，△ADC，△ADB都不是等腰三角形．∴共有4个等腰三角形．故选C.2．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC＝4，则四边形CODE的周长是(C)A．4B．6C．8D．10解析：∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝OD＝12AC＝2.∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形．又∵OC＝OD，∴四边形CODE是菱形，∴它的周长＝4OC＝4×2＝8.故选C.3．(2013·大庆)已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是(C)A．当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形B．当AB＝AD，CB＝CD时，四边形ABCD是菱形C．当AB＝AD＝BC时，四边形ABCD是菱形D．当AC＝BD，AD＝AB时，四边形ABCD是正方形解析：对角线AC与BD互相垂直，A项举反例如图①，故A项错误；B项举反例如图②，故B项错误；D项举反例如图②，故D项错误．故选C.图①图②4．(2013·凉山州)如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为(C)A．14B．15C．16D．17解析：∵四边形ABCD为菱形，AB＝4，∴BC＝AB＝4.∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝4.∴C正方形ACEF＝4×4＝16.故选C.5．(2013·扬州)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于(B)A．50°B．60°C．70°D．80°解析：如图，连接BF，在菱形ABCD中，∠BAC＝12∠BAD＝12×80°＝40°，∵∠BAD＝80°，∴∠ABC＝180°－∠BAD＝180°－80°＝100°.∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∠ABF＝∠BAC＝40°，∴∠CBF＝∠ABC－∠ABF＝100°－40°＝60°.∵在△BCF和△DCF中，BC＝DC，∠BCF＝∠DCF，CF＝CF，∴△BCF≌△DCF(SAS)，∴∠CDF＝∠CBF＝60°(或由菱形的对称性知∠CDF＝∠CBF＝60°)．故选B.6．如图，两个正方形的面积分别为16,9，两阴影部分的面积分别为a，b(ab)，则a－b等于(A)A．7B．6C．5D．47．如图，将矩形沿图中虚线(其中xy)剪成四块图形，用这四块图形恰能拼成一个正方形．若y＝2，则x的值等于(C)A．3B．25－1C．1＋5D．1＋2解析：由题意可先尝试画出符合条件的图形如图所示，然后根据面积相等，可得(x＋y)y＝x2，将y＝2代入，可得x2－2x－4＝0，解得x1＝1＋5，x2＝1－5(舍去)．故选C.8．(2013·南京)设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③3＜a＜4；④a是18的算术平方根．其中，所有正确说法的序号是(C)A．①④B．②③C．①②④D.①③④解析：∵正方形的边长为3，∴对角线长a＝32.∵32是一个无理数，∴①正确；∵所有实数都可以用数轴上的点表示，∴②正确；∵(32)2＝18,18＞16，∴32＞4，∴③错误；∵(32)2＝18，∴32是18的算术平方根，∴④正确．故选C.9．(2013·连云港)如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为(C)A．1B.2C．4－22D．32－4解析：∵∠BAE＝22.5°，∠ABD＝45°，∴∠DAE＝∠AED＝67.5°，∴△ADE是等腰三角形，△BEF是等腰直角三角形，∴DE＝AD＝4，BE＝42－4.∴在Rt△BFE中，EF＝22BE＝4－22.故选C.10．(2013·深圳)如图，有一张一个角为30°，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是(D)A．8或23B．10或4＋23C．10或23D．8或4＋23解析：如图①，∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝2，∴AC＝4，AB＝23.∵DE是中位线，∴DE＝1，AE＝CE＝2，AD＝BD＝3.图①(1)当AE与EC重合时，如图②，其周长为4＋23；图②(2)当AD与BD重合时，如图③④，其周长为8.图③图④综上，所得四边形的周长为4＋23或8.故选D.二、填空题(每小题4分，共20分)11．(2013·宿迁)如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α是90度时，两条对角线长度相等．解析：当∠α是90°时，平行四边形框架是矩形，由矩形的性质可知，对角线长度相等．12．(2013·潍坊)如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件OA＝OC(或AD＝BC或AB＝DC或AD∥BC或AB∥DC或AB＝BC或AD＝DC)，使ABCD成为菱形(只需添加一个即可)．解析：根据菱形的对角线互相垂直平分可添加OA＝OC；或添加AD＝BC或AB＝DC或AD∥BC或AB∥DC或AB＝BC或A