2006年高考.北京卷.理科数学试题及详细解答

绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡。2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）在复平面内，复数1ii对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（2）若a与bc都是非零向量，则“abac”是“()abc”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（3）在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（A）36个（B）24个（C）18个（D）6个（4）平面的斜线AB交于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交于点C，则动点C的轨迹是（A）一条直线（B）一个圆（C）一个椭圆（D）双曲线的一支（5）已知1,log1,4)13()(xxxaxaxfa是(,)上的减函数，那么a的取值范围是（A）(0,1)（B）1(0,)3（C）11[,)73（D）1[,1)7（6）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()xxxx，1221|()()|||fxfxxx恒成立”的只有（A）1()fxx（B）||fxx（C）()2xfx（D）2()fxx（7）设4710310()22222()nfnnN，则()fn等于（A）2(81)7n（B）12(81)7n（C）32(81)7n（D）42(81)7n（8）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,ABC的机动车辆数如图所示，图中123,,xxx分别表示该时段单位时间通过路段,,ABBCCA的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则20，30；35，30；55，50（A）123xxx（B）132xxx（C）231xxx（D）321xxx绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。（9）22132lim1xxxx的值等于__________________.（10）在72()xx的展开式中，2x的系数中__________________（用数字作答）.（11）若三点(2,2),(,0),(0,)(0)ABaCbab共线，则11ab的值等于_________________.（12）在ABC中，若sin:sin:sin5:7:8ABC，则B的大小是______________.（13）已知点(,)Pxy的坐标满足条件41xyyxx，点O为坐标原点，那么||PO的最小值等于_______,最大值等于____________.（14）已知,,ABC三点在球心为O，半径为R的球面上，ACBC，且ABR，那么,AB两点的球面距离为_______________，球心到平面ABC的距离为______________.三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（15）（本小题共12分）已知函数12sin(2)4()cosxfxx，（Ⅰ）求()fx的定义域；（Ⅱ）设是第四象限的角，且4tan3，求()f的值.（16）（本小题共13分）已知函数32()fxaxbxcx在点0x处取得极大值5，其导函数'()yfx的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：（Ⅰ）0x的值；（Ⅱ）,,abc的值.（17）（本小题共14分）如图，在底面为平行四边表的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，点E是PD的中点.（Ⅰ）求证：ACPB；（Ⅱ）求证：//PB平面AEC；（Ⅲ）求二面角EACB的大小.（18）（本小题共13分）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是,,abc，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）（19）（本小题共14分）已知点(2,0),(2,0)MN，动点P满足条件||||22PMPN.记动点P的轨迹为W.（Ⅰ）求W的方程；（Ⅱ）若,AB是W上的不同两点，O是坐标原点，求OAOB的最小值.（20）（本小题共14分）在数列{}na中，若12,aa是正整数，且12||,3,4,5,nnnaaan，则称{}na为“绝对差数列”.（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（Ⅱ）若“绝对差数列”{}na中，20213,0aa，数列{}nb满足12nnnnbaaa，1,2,3,n，分别判断当n时，na与nb的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：3．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡。4．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）在复平面内，复数1ii对应的点位于（D）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限解：1ii111iii（＋）＝＝－－故选D（2）若a与bc都是非零向量，则“abac”是“()abc”的（C）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件解：abacabac0－＝abc0（－）＝abc（－）故选C（3）在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（B）（A）36个（B）24个（C）18个（D）6个解：依题意，所选的三位数字有两种情况：（1）3个数字都是奇数，有33A种方法（2）3个数字中有一个是奇数，有1333CA，故共有33A＋1333CA＝24种方法，故选B（4）平面的斜线AB交于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交于点C，则动点C的轨迹是（A）（A）一条直线（B）一个圆（C）一个椭圆（D）双曲线的一支解：设l与l是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A与AB垂直所有直线都在这个平面内，故动点C都在这个平面与平面的交线上，故选A（5）已知(31)4,1()log,1aaxaxfxxx是(,)上的减函数，那么a的取值范围是（C）（A）(0,1)（B）1(0,)3（C）11[,)73（D）1[,1)7解：依题意，有0a1且3a－10，解得0a13，又当x1时，（3a－1）x＋4a7a－1，当x1时，logax0，所以7a－10解得x17故选C（6）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()xxxx，1221|()()|||fxfxxx恒成立”的只有（A）（A）1()fxx（B）||fxx（C）()2xfx（D）2()fxx解：2112121212xx111|||||xxxxxx|xx|－－＝＝－|12xx12，（，）12xx1121xx11211|xx－||x1－x2|故选A（7）设4710310()22222()nfnnN，则()fn等于（D）（A）2(81)7n（B）12(81)7n（C）32(81)7n（D）42(81)7n解：依题意，()fn为首项为2，公比为8的前n＋4项求和，根据等比数列的求和公式可得D（8）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,ABC的机动车辆数如图所示，图中123,,xxx分别表示该时段单位时间通过路段,,ABBCCA的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则20，30；35，30；55，50（C）（A）123xxx（B）132xxx（C）231xxx（D）321xxx解：依题意，有x1＝50＋x3－55＝x3－5，x1x3，同理，x2＝30＋x1－20＝x1＋10x1x2，同理，x3＝30＋x2－35＝x2－5x3x2故选C绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。（9）22132lim1xxxx的值等于_______12解：22132lim1xxxx＝1x1x2limx1x1x（）（＋）（＋）（－）＝1x21limx12x－＋＝－－（10）在72()xx的展开式中，2x的系数为14__________－（用数字作答）.解：73rr7rrrr2r+1772TCx2Cxx－－＝（）（－）＝（－）令73r22－＝得r＝1故2x的系数为172C（－）＝－14（11）若三点(2,2),(,0),(0,)(0)ABaCbab共线，则11ab的值等于_______12解：a22AB＝（－，－），C2b2A＝（－，－），依题意，有（a－2）（b－2）－4＝0即ab－2a－2b＝0所以11ab＝12（12）在ABC中，若sin:sin:sin5:7:8ABC，则B的大小是________3.解：sin:sin:sin5:7:8ABCabc＝578设a＝5k，b＝7k，c＝8k，由余弦定理可解得B的大小为3.（13）已知点(,)Pxy的坐标满足条件41xyyxx，点O为坐标原点，那么||PO的最小值等于2________,最大值等于_________________10.解：画出可行域，如图所示：易得A（2，2），OA＝22B（1，3），OB＝10C（1，1），OC＝2故|OP|的最大值为10，最小值为2.（14）已知,,ABC三点在球心为O，半径为R的球面上，ACBC，且ABR，那么,AB两点的球面距离为_____________3R，球心到平面ABC的距离为______________32R.解：如右图，因为ACBC，所以AB是截面的直径，又AB＝R，所以△OAB是等边三角形，所以AOB＝3，故,AB两点的球面距离为3R，于是O1OA＝30，所以球心到平面ABC的距离xyABOCO1OBACOO1＝Rco