2003年高考.北京卷.理科数学试题及答案

绝密★启用前2003年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式：三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cossinlccS)(21台侧)]sin()[sin(21sincos其中c、c分别表示上、下底面)]cos()[cos(21coscos周长，l表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21sinsin球体的体积公式：334RV球，其中R表示球的半径.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．设集合BAxxBxxA则|},0log|{},01|{22等于（）A．}1|{xxB．}0|{xxC．}1|{xxD．}11|{xxx或2．设5.1344.029.01)21(,8,4yyy，则（）A．y3y1y2B．y2y1y3C．y1y2y3D．y1y3y23．“232cos”是“Zkk,125”的（）A．必要非充分条件B．充分非必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件4．已知α，β是平面，m，n是直线.下列命题中不．正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，α∩β=n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m，则α⊥β5．极坐标方程1cos22cos2表示的曲线是（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线6．若Cz且|22|,1|22|iziz则的最小值是（）A．2B．3C．4D．57．如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（）A．2B．23C．332D．218．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）A．24种B．18种C．12种D．6种9．若数列na的通项公式是,2,1,2)23()1(23nannnnnn，则)(lim21nnaaa等于（）A．2411B．2417C．2419D．242510．某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令.,0.,1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第jijiaij其中i=1，2，…，k，且j=1，2，…，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（）A．kkaaaaaa2222111211B．2221212111kkaaaaaaC．2122211211kkaaaaaaD．kkaaaaaa2122122111第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.11．函数xtgxhxxxxxxgxxf2)(.1,2.1||0.1,2)(),1lg()(2中，是偶函数.12．以双曲线191622yx右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是13．如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是.14．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为.三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（本小题满分13分）已知函数.sincossin2cos)(44xxxxxf（Ⅰ）求)(xf的最小正周期；（Ⅱ）若]2,0[x，求)(xf的最大值、最小值..16．（本小题满分13分）已知数列na是等差数列，且.12,23211aaaa（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）令).(Rxxabnnn求数列nb前n项和的公式.17．（本小题满分15分）如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长的3，侧棱AA1=,233D是CB延长线上一点，且BD=BC.（Ⅰ）求证：直线BC1//平面AB1D；（Ⅱ）求二面角B1—AD—B的大小；（Ⅲ）求三棱锥C1—ABB1的体积.18．（本小题满分15分）如图，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（0，r）（).0rb（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；（Ⅱ）直线xky1交椭圆于两点);0)(,(),,(22211yyxDyxC直线xky2交椭圆于两点).0)(,(),,(44433yyxHyxG求证：4343221211xxxxkxxxxk；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q.求证：|OP|=|OQ|.（证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）19．（本小题满分14分）有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=a，BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？20．（本小题满分14分）设)(xfy是定义在区间]1,1[上的函数，且满足条件：（i）;0)1()1(ff（ii）对任意的.|||)()(|],1,1[,vuvfufvu都有（Ⅰ）证明：对任意的;1)(1],1,1[xxfxx都有（Ⅱ）证明：对任意的;1|)()(|],1,1[,vfufvu都有（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数)(xfy，且使得].1,21[,|,||)()(|].21,0[,.|||)()(|vuvuvfufvuvuvfuf当当若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.绝密★启用前2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）（北京卷）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分50分.1．A2．D3．A4．B5．D6．B7．C8．C9．C10．C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.11．)();(xgxf12．)4(362xy13．)(212bar14．44三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分13分.（Ⅰ）解：因为xxxxxf44sincossin2cos)()42cos(22sin2cos2sin)sin)(cossin(cos2222xxxxxxxx所以)(xf的最小正周期.22T（Ⅱ）解：因为,20x所以.45424x当442x时，)42cos(x取得最大值22；当42x时，)42cos(x取得最小值－1.所以)(xf在]2,0[上的最大值为1，最小值为－.216．本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分13分.（Ⅰ）解：设数列}{na公差为d，则,12331321daaaa又.2,21da所以.2nan（Ⅱ）解：令,21nnbbbS则由,2nnnnnxxab得,2)22(4212nnnnxxnxxS①,2)22(42132nnnnxxnxxxS②当1x时，①式减去②式，得,21)1(22)(2)1(112nnnnnnxxxxnxxxxSx所以.12)1()1(212xnxxxxSnnn当1x时,)1(242nnnSn综上可得当1x时,)1(nnSn当1x时，.12)1()1(212xnxxxxSnnn17．本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力.满分15分.（Ⅰ）证明：CD//C1B1，又BD=BC=B1C1，∴四边形BDB1C1是平行四边形，∴BC1//DB1.又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，∴直线BC1//平面AB1D.（Ⅱ）解：过B作BE⊥AD于E，连结EB1，∵B1B⊥平面ABD，∴B1E⊥AD，∴∠B1EB是二面角B1—AD—B的平面角，∵BD=BC=AB，∴E是AD的中点，.2321ACBE在Rt△B1BE中，.32332311BEBBBEBtg∴∠B1EB=60°。即二面角B1—AD—B的大小为60°（Ⅲ）解法一：过A作AF⊥BC于F，∵B1B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB1C1C，∴AF⊥平面BB1C1C，且AF=,323323AFSVVCBBCBBAABBC1111111131.827233)323321(31即三棱锥C1—ABB1的体积为.827解法二：在三棱柱ABC—A1B1C1中，11111111111CBAABAACABBCBAAABBVVVSS.827233)3434(313121111AASCBA即三棱锥C1—ABB1的体积为.82718．本小主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.满分15分.（Ⅰ）解：椭圆方程为,1)(2222bryax焦点坐标为),,(),,(222221rbaFrbaF离心率.22abae（Ⅱ）证明：将直线CD的方程xky1代入椭圆方程，得,)(2221222barxkaxb整理得.0)(2)(22222122122bararxakxkab根据韦达定理，得212222222121222121,2kabbaraxxkabrakxx所以rkbrxxxx12221212①将直线GH的方程xky2代入椭圆方程，同理可得rkbrxxxx22243432，由①，②得2121222212112xxxxkrbrxxxxk所以结论成立.（Ⅲ）证明：设点P（p,0），点Q（q,0），由C、P、H共线，得,221121xkxkpxpx解得22112121)(xkxkxxkkp，由D、Q、G共线，同理可得,)(434322121132213221xxxxkxxxxkxkxkxxkkq由变形得421141322132xkxkxxxkxkxx即4211412132213221)()(xkxkxxkkxkxkxxkk所以.|||||,|||OQOPqp即19．本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.（Ⅰ）解：由题设可知，,0ba记,22bah设P的坐标为（0，y），则P至三镇距离的平方和为.232)3(3)()(2)(222222bhhyyhybyf所以，当3hy时，函数)(yf取得最小值.答:点P的坐标是).31,0(22ba（Ⅱ）解法一：P至三镇的最远距离为.|||,||,|,)(222222yhybyhyhybybxg当当