2002年高考.北京卷.理科数学试题及答案

2002年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工）（北京卷）参考公式：三角函数的积化和差公式)]sin()[sin(21cossin;)]sin()[sin(21coscos)]cos()[cos(21coscos;)]cos()[cos(21sinsin正棱台、圆台的侧面积公式1cc)2S台体（l其中c、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长球体的体积公式334RV球其中R表示球的半径．一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．满足条件}3,2,1{}1{M的集合M的个数是（）(A)1(B)2(C)3(D)42．在平面直角坐标系中，已知两点000020sin,20cos),80sin,80(cosBA，则AB的值是（）(A)21(B)22(C)23(D)13．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间),2(上为减函数的是（）(A)xy2cos(B)xysin2(C)xycos31(D)xycot4．64个直径都为4a的球，记它们的体积之和为甲V，表面积之和为甲S；一个直径为a的球，记其体积为乙V，表面积为乙S，则（）(A)乙甲乙甲且SS,VV(B)乙甲乙甲〈且〈SS,VV(C)乙甲乙甲且SS,VV(D)乙甲乙甲且SS,VV5．已知某曲线的参数方程是)(,tansec为参数yx，若以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，长度单位不便变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是（）(A)1(B)12cos(C)12sin26．给定四条曲线：①2522yx，②14922yx，③1422yx，④1422yx．其中与直线05yx仅有一个交点的曲线是（）(A)①②③(B)②③④(C)①②④(D)①③④7．已知1z，Cz2，且11z．若221zz，则21zz的最大值是（）(A)6(B)5(C)4(D)3Oxyf(x)1Oxyf(x)1Oxyf(x)1Oxyf(x)18．若11cot21cot，则2sin12cos的值为（）(A)3(B)-3(C)-2(D)219．12名学生分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（）(A)4448412CCC种(B)44484123CCC种(C)3348412PCC种(D)334448412/PCCC种10．设命题：“直四棱柱1111DCBAABCD中，平面1ACB与对角面DDBB11垂直”；命题乙：“直四棱柱1111DCBAABCD是正方体”，那么，甲是乙的（）(A)充分必要条件(B)充分非必要条件(C)必要非充分条件(D)即非充分又非必要条件11．已知)(xf是定义在)3,3(上的奇函数，当30x时，)(xf的图象如图所示，那么不等式0cos)(xxf的解集是（）(A))3,2()1,0()2,3((B))3,2()1,0()1,2((C))3,1()1,0()1,3((D))3,1()1,0()2,3(12．如图所示，)4,3,2,1)((ixfi是定义在]1,0[上的四个函数，其中满足性质：“对]1,0[中任意的1x和2x，任意]1,0[，)()1()(])1([2121xfxfxxf恒成立”的只有（）(A))(),(21xfxf(B))(2xf(C))(),(32xfxf(D))(4xf二．填空题：13．)45arctan(),43arccos(),52arcsin(从大到小的顺序是．14．等差数列}{na，中，21a，公差不为零，且naaa,,31恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于．15．关于直角AOB在平面内的射影有如下判断：①可能是00的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是直角；⑤可能是0180的角．其中正确的序号是．（注：把你认为正确判断的序号都填上）．16．已知P是直线0843yx上的动点，PA，PB是圆082222yxyx的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．17．解不等式212xx18．如图，在多面体1111DCBAABCD中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交与FE,两点，上、下底面矩形的长、宽分别为dc,与ba,，且dbca,，两底面间的距离为h．ADEFBCA1B1C1D1abdc（1）求侧面11AABB与底面ABCD所成二面角的大小；（2）证明：ABCDEF面//；（3）在估侧该多面体的体积时，经常运用近似公式hSV中截面估来计算，已知它的体积公式是)4(6hV下底面中底面上底面SSS试判断估V与V的大小关系，并加以证明．（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面．）19．数列}{na由下列条件确定：01ax，Nnxaxxnnn),(211．（1）证明：对2n，总有axn；（2）证明：对2n，总有1nnxx；（3）若数列}{na的极限存在，且大于零，求nnxlim的值．20．在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：用计算机求n个不同的数nvvv,,,21的和nniivvvv211，计算开始前，n个数存贮在n台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数．计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作．为了用尽可能少的单位时间，即可完成计算，方法可用下表表示：机器号初始时第一单位时间第二单位时间第三单位时间被读机号结果被读机号结果被读机号结果11V221VV22V112VV（1）当4n时，至少需要多少个单位时间可完成计算？把你设计的方法填入下表机器号初始时第一单位时间第二单位时间第三单位时间被读机号结果被读机号结果被读机号结果11V22V33V44V（2）当128n时，要使所有机器都得到niiv1，至少需要多少个单位时间可完成计算？（结论不要求证明）21．已知)0,0(O，)0,1(B，),(cbC是OBC的三个顶点．（1）写出OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明HFG,,三点共线；（2）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹．OyC(b,c)B(1,0)x22．已知)(xf是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的Rba,都满足：)()()(abfbafbaf．（1）求)1(),0(ff的值；（2）判断)(xf的奇偶性，并证明你的结论；（3）若2)2(f，)()2(Nnnfunn，求数列}{nu的前n项的和nS参考解答说明：一.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。二.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。三.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。四.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。一.选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。1.B2.D3.B4.C5.D6.D7.C8.A9.A10.C11.B12.A二.填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。13.523arctan()arcsin()arccos()45414.415.（1）（2）（3）（4）（5）16.22三.解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.本小题主要考查不等式的解法等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力，满分12分。解：原不等式212212xxxx因为212212210202122xxxxxxxx()xxxx12250122又212210202122xxxxxx()或21020xxxxx26502或122xxx215或122x25x或122x125xPGEFD1C1A1cB1dDQCHbAaB所以，原不等式组xxx12125125因此，原不等式的解集为{|}xx12518.本小题主要考查直线、平面的位置关系，考查不等式的基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，满分12分。（1）解：过BC11作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，过B1作BGPQ1,垂足为Ｇ平面ABCD//平面ABCD1111，ABC11190ABPQ，ABBP1BPG1为所求二面角的平面角过C1作CHPQ1，垂足为H，由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形BPQC11为等腰梯形PGbd12()又BGh1tgBPGhbdbd12()BPGarctghbd12，即所求二面角的大小为arctghbd2（2）证明：AB、CD是矩形ABCD的一组对边，有AB//CD又CD是面ABCD与面CDEF的交线AB//面CDEFEF是面ABFE与面CDEF的交线AB//EFAB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外EF//面ABCD（3）VV估证明：ac，bdVVhcdabacbdacbdh估642222()hcdabacbdacbd122223[()()()()]hacbd120()()VV估19.本小题主要考查数列、数列极限、不等式等基本知识，考查逻辑思维能力，满分12分。（1）证明：由xa10及xxaxnnn112()可归纳证明xn0（没有证明过程不扣分）从而有xxaxxaxanNnnnnn112()()所以，当n2时，xan成立（2）证法一：当n2时，因为xan0，xxaxnnn112()所以xxxaxxaxxnnnnnnn1212120()故当n2时，xxnn1成立证法二：当n2时，因为xan0，xxaxnnn112()所以xxxaxxxaxxxxnnnnnnnnnn12222212221()故当n2时，xxnn1成立（3）解：记limnxAn，则limnxAn1，且A0由xxaxnnn112()得lim(limlim)nxnxanxnnn112即AAaA12()由A0，解得Aa故20.本小题主要考查运用数学思想方法，分析和解决科学问题的能力，满分12分（1）解：当n4时，只用2个单位时间即可完成计算方法之一如下：第一单位时间第二单位时间第三单位时间机器号初始时被读机号结果被读机号结果被读机号结果1v12v1+v23vvvv12342v21v2+v14vvvv21433v34vv341vvvv34124v43vv432vvvv4321（2）解：当n12827时，至少需要7个单位时间才能完成计算21.本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力，满分13分（1）解：由OBC三顶点坐标O（0，0），B（1，0），C（b，c）（c0），可求得重心G（b13，c3），外心F（12，bcbc222），垂心H（b，bbc2）当b12时，G、F