2009年高考安徽数学(理科)试题及参考答案

12009年高考安徽数学理科试题及答案第I卷(选择题共50分)一.选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）i是虚数单位，若17(,)2iabiabRi，则乘积ab的值是（）（A）-15（B）-3（C）3（D）15（2）若集合21|21|3,0,3xAxxBxx则A∩B是（）（A）11232xxx或(B)23xx(C)122xx(D)112xx（3）下列曲线中离心率为62的是（）（A）22124xy（B）22142xy（C）22146xy（D）221410xy(4)下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（）（A）p:ac＞b+d,q:a＞b且c＞d（B）p:a＞1,b1，q:()(10)xfxaba的图像不过第二象限（C）p:x=1,q:2xx（D）p:a＞1,q:()log(10)afxxa在(0,)上为增函数（5）已知na为等差数列，1a+3a+5a=105，246aaa=99.以nS表示na的前n项和，则使得nS达到最大值的n是（）（A）21（B）20（C）19（D）18（6）设a＜b,函数2()()yxaxb的图像可能是（）（7）若不等式组03434xxyxy所表示的平面区域被直线43ykx分为面积相等的两部分，2则k的值是（）（A）73（B）37（C）43（D）34（8）已知函数()3sincos(0)fxxx，()yfx的图像与直线2y的两个相邻交点的距离等于，则()fx的单调区间是（）（A）5[,],1212kkkZ（B）511[,],1212kkkZ（C）[,],36kkkZ（D）2[,],63kkkZ（9）已知函数()fx在R上满足2()2(2)88fxfxxx，则曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程是（）（A）21yx（B）yx（C）32yx（D）23yx（10）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）（A）175（B）275（C）375（D）475二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。(11）若随机变量X～2(,)，则()PX=________.(12)以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为()4R，它与曲线12cos22sinxy（为参数）相交于两点A和B，则|AB|=_______.(13)程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是_______.3（14）给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120o.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若,OCxOAyOB其中,xyR,则xy的最大值是=________.（15）对于四面体ABCD，下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）。○1相对棱AB与CD所在的直线异面；○2由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD的三条高线的交点；○3若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；○4分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；○5最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡的指定区域内。（16）（本小题满分12分）在ABC中，sin(C-A)=1,sinB=13。（I）求sinA的值；(II)设AC=6，求ABC的面积。（17）（本小题满分12分）某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区．B肯定是受A感染的。对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是12。同样也假定D受A、B和C感染的概率都是13。在这种假定之下，B、C、D中直接．．受A感染的人数X就是一个随机变量。写出X的分布列(不要求写出计算过程),并求X的均值（即数学期望）.4（18）（本小题满分13分）如图，四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=2，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2。（I）求二面角B-AF-D的大小；（II）求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积。（19）（本小题满分12分）已知函数2()(2ln),0fxxaxax，讨论()fx的单调性.（20）（本小题满分13分）点00(,)Pxy在椭圆22221(0)xyabab上，00cos,sin,0.2xayb直线2l与直线00122:1xylxyab垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线2l的倾斜角为.（I）证明:点P是椭圆22221xyab与直线1l的唯一交点；（II）证明:tan,tan,tan构成等比数列。5（21）（本小题满分13分）首项为正数的数列na满足211(3),.4nnaanN（I）证明：若1a为奇数，则对一切2,nna都是奇数；（II）若对一切nN都有1nnaa，求1a的取值范围。6答案一．选择题：BDBABCACAD二．填空题：11：1212：1413：12714：215：○1○4○5三．解答题16解：（I）由sin()1,,CACA知2CA。又,ABC所以2,2AB即2,0.24ABA故213cos2sin,12sin,sin.33ABAA(II)由（I）得：6cos.3A又由正弦定理，得：sin,32,sinsinsinBCACABCACABB所以11sincos32.22ABCSACBCCACBCA17.解：随机变量X的分布列是X的均值111111233266EX。附：X的分布列的一种求法共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是16：①②③④⑤⑥A－B－C－DA—B—C└DA—B—C└DA—B—D└CA—C—D└B在情形①和②之下，A直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了两个人；在情形⑥之下，A直接感染了三个人。18.解：（I）(综合法)连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OG⊥AF，G为垂足。连接BG、DG。由BD⊥AC,BD⊥CF,得：BD⊥平面ACF，故BD⊥AF.于是AF⊥平面BGD,所以BG⊥AF,DG⊥AF,∠BGD为二面角B-AF-D的平面角。由FC⊥AC,FC=AC=2,得∠FAC=4,OG=22.X123P1312167由OB⊥OG,OB=OD=22,得∠BGD=2∠BGO=2.(向量法)以A为坐标原点，BD、AC、AE方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).于是22(,1,0),(,1,0),(0,2,2).22BDF设平面ABF的法向量1(,,)nxyz，则由1100nABnAF得202220xyyz。令1,z得21xy，1(2,1,1)n同理，可求得平面ADF的法向量2(2,1,1)n。由120nn知，平面ABF与平面ADF垂直，二面角B-AF-D的大小等于2。（II）连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD。过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足。因为EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，，所以平面ACFE⊥平面ABCD，从而,.PACHPAC由1,HPHPAPPCCFAEACAC得23HP。又因为12,2ABCDSACBD菱形故四棱锥H-ABCD的体积122.39ABCDVSHP菱形19.解：()fx的定义域是(0,+),22222()1.axaxfxxxx8设2()2gxxax,二次方程()0gx的判别式28a.①当280,0aa，即022a时，对一切0x都有()0fx.此时()fx在(0,)上是增函数。②当280,0aa,即22a时，仅对2x有()0fx,对其余的0x都有()0fx,此时()fx在(0,)上也是增函数。③当280,0aa，即22a时，方程()0gx有两个不同的实根2182aax,2282aax,120xx.x1(0,)x1x12(,)xx2x2(,)x()fx+0_0+()fx单调递增↑极大单调递减↓极小单调递增↑此时()fx在28(0,)2aa上单调递增,在2288(,)22aaaa是上单调递减,在28(,)2aa上单调递增.20.解：（I）（方法一）由00221xyxyab得22020(),byaxxay代入椭圆22221xyab,得22222002422200021()(1)0bxbxbxxaayayy.将00cossinxayb代入上式,得2222coscos0,xaxa从而cos.xa因此,方程组2222002211xyabxyxyab有唯一解00xxyy,即直线1l与椭圆有唯一交点P.(方法二)显然P是椭圆与1l的交点，若Q111(cos,sin),02ab是椭圆与1l的交点，9代入1l的方程cossin1xyab，得11coscossinsin1,即11cos()1,,故P与Q重合。（方法三）在第一象限内，由22221xyab可得222200,,bbyaxyaxaa椭圆在点P处的切线斜率200022200(),bxbxkyxayaax切线方程为200020(),bxyxxyay即00221xxyyab。因此，1l就是椭圆在点P处的切线。根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线1l的唯一交点。（II）00tantan,ybxa1l的斜率为2020,xbya2l的斜率为2020tantan,yaaxbb由此得2tantantan0,tan,tan,tan构成等比数列。21.解：（I）已知1a是奇数，假设21kam是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得213(1)14kkaamm是奇数。根据数学归纳法，对任何nN，na都是奇数。（II）（方法一）由11(1)(3)4nnnnaaaa知，1nnaa当且仅当1na或3na。另一方面，若01,ka则113014ka；若3ka，则21333.4ka根据数学归纳法，1101,01,;33,.nnaanNaanN综合所述，对一切nN都有1nnaa的充要条件是101a或13a。（方法二）由21213,4aaa得211430,aa于是101a或13a。22111133()(),444nnnnnnnnaaaaaaaa10因为21130,,4nnaaa所以所有的na均大于0，因此1nnaa与1nnaa同号。根据数学归纳法，nN，1nnaa与21aa同号。因此，对一切nN都有1nnaa的充要条件是101a或13a。