《高考数学第一轮复习课件》第22讲 简单的三角恒等变换

新课标高中一轮总复习理数理数第四单元三角函数与平面向量第22讲简单的三角恒等变换能运用同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的三角公式进行简单的三角恒等变换.1.在△ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1，则△ABC是()AA.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形由两角和的正弦公式得sinA≥1.由弦函数有界性知，sinA=1，得A=90°.2.化简：-=()B1sin81cos82A.-sin4B.2cos4-sin4C.sin4-2cos4D.2sin4-cos4原式=-=|sin4-cos4|-|cos4|,又sin4-cos40,cos4＜0,所以原式=-sin4+cos4+cos4=2cos4-sin4.12sincos422cos423.化简：-cos2x+cos4x=.381218sin4x原式=-(2cos2x-1)+(2cos22x-1)=-cos2x+cos22x=-cos2x+(2cos2x-1)2=1-2cos2x+cos4x=（1-cos2x）2=sin4x.381812341434144.若A-B=,tanA-tanB=,则cosA·cosB=.623334tan(A-B)==,所以1+tanA·tanB=2，即=2，所以cosA·cosB=cos(A-B)=.tantan1tantanABAB33coscossinsincoscosABABAB12345.化简：tanα+tanβ+tanα·tanβ·tan(α+β)=.tan(α+β)由tan(α+β)＝,可得tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanα·tanβ),所以tanα+tanβ+tanα·tanβ·tan(α+β)=tan(α+β).tantan1tantan三角变换的基本题型——化简、求值和证明(1)化简.三角函数式化简的一般要求：三角函数种数尽量少；项数尽量少；次数尽量低；尽量使分母不含三角函数式；尽量使被开方数不含三角函数式；能求出的值应尽量求出值.依据三角函数式的结构特点，常采用的变换方法：异角化同角；异名化同名；异次化同次；高次降次.(2)求值.常见的有给角求值,给值求值,给值求角.①给角求值的关键是正确地分析角（已知角与未知角）之间的关系，准确地选用公式，注意转化为特殊值.②给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、名称、结构的差异，有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求待求式的值.③给值求角的关键是求出该角的某一三角函数值，讨论角的范围，求出该角.(3)证明.它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式的证明.常用方法：从左推到右；从右推到左；左右互推.题型一恒等变换下的化简求值典例精讲典例精讲例1已知：tan2θ=-,2θ∈(,π),求的值.22222cossin122sin()4tan2θ=-=-，解得tanθ=-或tanθ=，因为2θ∈(,π),所以θ∈（，）,所以tanθ＞0，所以tanθ=.====2222tan1tan22222224222cossin122sin()4cossin2(sincoscossin)44cossinsincos1212223对于附加条件求值问题，要先看条件可不可以变形或化简，然后看所求式子能否化简，再看它们之间的相互联系，通过分析找到已知与所求的纽带.点评点评题型二恒等变换下的拆角求值例2已知cos(α-)=-，sin(-β)=,且απ，0βπ，求cos的值.22221923分析分析抓住已知角(α-)，(-β)与目标角的关系：=(α-)-(-β)，因此先求得sin(α-)，cos(-β)的值，再代公式.22222222因为απ，0βπ，所以0α-π，--β.又因为cos(α-)=-0,sin(-β)=0,所以α-π，0-β，所以sin(α-)===.2219342222322222221cos()2211()9459cos(-β)===,故cos=cos[(α-)-(-β)]=cos(α-)cos(-β)+sin(α-)sin(-β)=(-)×+×=.1922221sin()2221()3532222253459237527点评点评根据已知角与目标角的联系，将题目中的“目标角整体”变成“已知角整体”之间的“和、差、倍、半、余、补、负”，应用已知条件，直接解决问题.常用“凑角”技巧：α＝(α-β)+β=(α+β)-β，2α+β=(α+β)+α，α=+，β=-，2α=(α-β)+(α+β)等.2222变式变式变式已知cosα=,cos(α+β)=-,且α∈(0，),α+β∈(，π),求β的值.17111422因为α∈(0,)，且cosα=，所以sinα==，又因为α+β∈(,π），cos(α+β)=-，所以sin(α+β)==，21721cos4372111421cos()5314所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-×+×=.又α∈(0,)，α+β∈(，π），则β∈(0,π)，所以β=.174371114531412223点评点评在给角求角的式子中,发现目标角与已知角的联系,将目标角用已知角表示,求得其某一名三角函数值.但对于在(0，180°)间的角,选用余弦或正切比选用正弦好,在(-90°,90°)间的角，宜选用正弦.注意避开讨论，减少失误.题型三恒等变换下的三角证明例3(1)已知2sinβ=sinα+cosα,sin2γ=2sinα·cosα.求证:cos2γ=2cos2β；(2)已知5sinα=3sin(α-2β),求证:tan(α-β)+4tanβ=0.(1)4sin2β=1+2sinαcosα,所以4sin2β=1+sin2γ，所以1-sin2γ=2-4sin2β=2（1-2sin2β）,即cos2γ=2cos2β.(2)因为5sinα=3sin(α-2β),所以5sin［(α-β)+β］=3sin［(α-β)-β］所以5sin(α-β)·cosβ+5cos(α-β)·sinβ=3sin(α-β)·cosβ-3cos(α-β)·sinβ,所以2sin(α-β)·cosβ+8cos(α-β)·sinβ=0，依题意知,β≠kπ+,α-β≠kπ+,k∈Z.所以tan(α-β)+4tanβ=0.22(1)结论中不含α，所以从条件中消去α即可.(2)把条件中的角进行拆拼，使出现α-β，α，实现已知角向未知角转化即可.点评点评备选题备选题等比数列{an}中，a2=sinα+cosα，a3=1+sin2α，其中＜α＜π.求:(1)2sin2α-cos4α+是数列{an}的第几项?(2)若tan(π-α)=,求数列{an}的前n项和Sn.2123243设数列{an}的公比为q，则q====sinα+cosα,所以a1==1.所以an=(sinα+cosα)n-1(n∈N*).(1)2sin2α-cos4α+=×(4sin2α-cos4α+3)=［4sin2α-（1-2sin22α）+3］=(2sin22α+4sin2α+2)=(1+sin2α)2=(sinα+cosα)4=a5,所以2sin2α-cos4α+是数列{an}中的第5项.32aa1sin2sincos2(sincos)sincos2aq12321212121232(2)由tan(π-α)=，得tanα=-，又＜α＜π，所以sinα=,cosα=-，所以q=sinα+cosα=，所以an=()n-1，故Sn==-×()n-1.4343245351515151454211()5115方法提炼方法提炼三角恒等变形的实质是对角、函数名称及运算结构的转化，而转化的依据就是一系列的三角公式，因此对三角公式在实现这种转化中的应用应有足够的了解：(1)同角三角函数关系——可实现函数名称的转化.(2)诱导公式及和、差、倍角的三角函数——可以实现角的形式的转化.(3)倍角公式及其变形公式——可实现三角函数的升幂或降幂的转化,同时也可完成角的转化.走进高考走进高考学例1(2009·上海卷)函数y=2cos2x+sin2x的最小值是.21-f(x)=cos2x+sin2x+1=sin(2x+)+1，所以最小值为1-.242学例2(2009·山东卷)设函数f(x)=cos(2x+)+sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期;(2)设A,B,C为△ABC的三个内角，若cosB=,f()=-,且C为锐角,求sinA.3132C14(1)f(x)=cos(2x+)+sin２x=cos2xcos-sin2xsin+=-sin2x.所以,当2x=-+2kπ(k∈Z)，即x=-+kπ(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，为；同时,f(x)的最小正周期为π.3331cos22x123224132(2)因为f()=-sinC=-,所以sinC=.因为C为锐角,所以C=.又因为在△ABC中,cosB=,所以sinB=.所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=×+×=.2C123214323132232231213322236本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来