三角形和特殊三角形

主讲：高金凤旧知回眸本专题的内容分别在苏科版教材七年级下册第7章《平面图形的认识（二）》第4、5节、八年级上册第1章《轴对称图形》第4、5、6节和第2章《勾股定理与平方根》第1、2节，主要研究三角形与特殊三角形的概念、性质和判定方法。1、三角形的知识结构特殊三角形基本概念及性质等腰直角三角形性质定义性质判定定义三角形具有稳定性三角形的角平分线、中线和高线三角形按角的大小分类三角形的内角和三角形三条边之间的关系三角形的定义及其表示方法直角三角形等边三角形等腰三角形三角形（1）三角形三条边之间具有什么关系？怎样把握？三角形三条边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．掌握和灵活运用这个关系可以解决与之相关的许多问题．注意已知三角形的两边长求第三边的取值范围时，一定要同时考虑第三边大于另两边之差，小于另两边之和；在三角形三边的大小关系可确定的情况下，也可用较小的两边之和与第三边比较，判断其是否满足三角形的三边关系。2、要点归纳例1.一个三角形的两边长分别为5cm和11cm，那么第三边的长度在以下选项中只能是()A.3cmB.4cmC.5cmD.7cm【点拨】根据三角形三边之间的关系，第三边长的取值范围是大于6cm,小于16cm,故选D.【点评】本题考查了三角形三边之间的关系，考查一般有以下呈现方式：①已知两边，求第三边的可能取值；②给定三线段的长度，判断能否构成三角形；③已知三角形的三边长分别为a、b、c，判断“a+b+c、a+b-c、a-b-c”正负性.（2）怎样认识三角形的三个内角之间的关系？“三角形三个内角和等于180°”，是三角形中角与角之间的一个重要关系，根据这个关系可得：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于与他不相邻的两个内角和，三角形的一个外角大于任何一个与他不相邻的内角；③一个三角形中最多只有一个直角或钝角．因此，三角形按角的大小分类可以分为三类：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，三角形三个内角之间的关系有着广泛的应用．在解决和三角形有关的问题时，内角和等于180°，是一个非常重要的等量关系，我们常利用它来得到和角有关的方程(组)，从而可把和三角形有关的几何问题转化为方程(组)的代数问题来解决．（3）三角形的角平分线、中线和高线有什么区别？三角形的角平分线、中线和高线都是三角形中的重要线段．每个三角形都有三条角平分线、三条中线、三条高，它们之间的相同点：①都是线段；②都是从顶点画出；③都能交于一点．不同点：①角平分线平分内角，中线平分边，高垂直于边；②三角形的角平分线和中线都是在三角形的内部，直角三角形有两条高都在边上，钝角三角形有两条高在三角形的外部．三角形的形状未知时，三角形高的位置也未知，需要分类.例2.为美化小区环境，某小区有一块面积为160m2的等腰三角形草地，测得其腰长为20m，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则栅栏的长度为ｍ．【点评】草地的形状是等腰三角形,可以是锐角三角形也可以是钝角三角形，因此需要分两种情况：①高在三角形的内部,如图１,AC=20m，CD=16m,于是可得AD=12m,BD=8m,BC=m,周长为(40+)m5858D图1-(1)CBA②高在三角形的外部，如图2，AC=20m,CD=16m,于是AD=12m,BD=32m,BC=m,其周长为(40+)m.516516【点评】本题的条件中潜藏着图形的不确定因素：“等腰三角形的顶角是锐角、还是钝角”，因此需要分情况画出图形，运用勾股定理进行计算.图1-(2)DCBA（4）怎样把握等腰三角形？①等腰三角形的分类：可分为一般等腰三角形（腰和底不等）和特殊的等腰三角形（三边都相等的等腰三角形）即等边三角形．另外顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形．②等腰三角形的性质及其两个推论．性质：等腰三角形的两个底角相等．推论1：等腰三角形顶角平分线垂直平分底边，即“三线合一”．推论2：等边三角形的各个内角都相等，即每个内角都等于60°．例3．如图2-(1)，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90º，O为BC中点，以O为端点任作两条互相垂直的射线与两腰分别相交于M、N点。(1)请猜想△OMN的形状，并证明你的猜想；【点拨】(1)根据等腰三角形的“三线合一”，连接AO，易得△AMO≌△CNO,所以OM=ON，∠AOM=∠CON,所以∠AOC=∠MON=90°，所以△OMN是等腰直角三角形；NMOCBA图2-(1)(2)将∠MON绕点O旋转，使其两边分别与BA、AC的延长线相交于点M、N，如图2-(2),试问(1)中的结论是否仍成立，并说明理由。【点拨】(2)根据等腰三角形的“三线合一”，连接AO，易得△AMO≌△CNO,所以OM=ON，∠AOM=∠CON,所以∠AOC=∠MON=90°，所以△OMN是等腰直角三角形。ONMCBA图2-(2)【点评】判断三角形的形状一般从两个角度入手：①边的特征；②角的特征.等腰三角形中遇底边的中点通常想到“三合一线”.图形旋转变化是几何问题拓展变式的重要策略，因此把握图形旋转的特征有助于拓展我们的思维，找到便捷的解题思路.例4．如图3，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN；④MN∥AB．其中,正确结论的个数是()A．4B．3C．2D．1【点拨】根据等边三角形的性质可得AC=DC=AD,CE=CB=BE,∠ACD=∠ECB=60°,所以∠DCE=60°由此可得△ACE≌△DCB,△MCE≌△NCB.显然△MCN是等边三角形，故选B.NMEBCAD图3【点评】本题属于结论开放性题型.以特殊的等腰三角形——等边三角形为问题的载体，构图复杂，在复杂图形中识别基本图形，熟悉基本图形的结论是解决几何探索题的基本技能.例5.如图4，己知△ABC中，AB＞AC．试用直尺(不带刻度)和圆规在图中过点A作一条直线，使点C关于直线l的对称点在边AB上(不要求写作法，也不必说明理由，但要保留作图痕迹)．【点拨】如果点C关于直线的对称点C’在AB上，连接CC’,则有AC=AC’,CC’⊥l，于是l为∠A的角平分线所在的直线.【点评】本题是利用作图问题为问题原型设计的填空题，考查等腰三角形的“三线合一”的性质，虽不需要说理，但是考生必须熟悉图形的基本性质才能完成.ABC图4另外，等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线，底边上的中线或底边上的高所在的直线．③等腰三角形的判定：一是根据定义判定，即看它是否有两边相等；二是运用“等角对等边”．④在进行等腰三角形的边、角的相关计算时，如果没有明确腰和底、顶角和底角，通常需要分类讨论.例6．如图5，点A的坐标是(2,2)，若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形则点P的坐标不可能是（）A．(4，0)B．(1．0)C.(-2，0)D．(2，0)【点拨】分两种情况：①OA为底，点P的坐标为(2,0)②OA为腰，点P的坐标为(4,0)、()，故选B.0,221234-112xyA0图5【点评】本题将等腰三角形置于坐标背景之中，探求等腰三角形的顶点P的坐标，其顶点P的位置具有不确定性：可以在x轴的负半轴、也可以在x轴的正半轴；可以是顶角的顶点、也可以是底角的顶点，求解时以定线段OA分类，兼顾点P的位置.本题可以将“点P在x轴上”改为“点P在坐标轴上”；也可以将“点A的坐标是(2,2)”改为“点A的坐标是(3,4)”.条件开放、条件一般化是问题变式的重要策略，同学们在解题之后要养成解后反思的习惯，考虑原问题是否可以变式，这样有助于深化对原问题的认识，以达触类旁通之效.例7．已知，点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.(1)如图6-(1)，若点O在BC上，求证：AB＝AC；(2)如图6-(2)，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；(3)若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画图表示.OOBCAACB图6-(2)图6-(1)【点拨】(1)如图6-(3),过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分别是垂足，由题意知，OE＝OF，OB＝OC，显然Rt△OEB≌Rt△OFC，所以，∠B＝∠C，从而AB＝AC.(2)如图6-(4),过点O分别作OF⊥AB，OE⊥AC，F、E分别是垂足，由题意知，OE＝OF.易得Rt△OFB≌Rt△OEC.所以，∠OBF＝∠OCE，又由OB＝OC知∠OBC＝∠OCB，所以∠ABC＝∠ACD，故AB＝AC.OACB图6-(4)图6-(3)FE（3）不一定成立.（注：当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB＝AC；否则，AB≠AC，如示例图）【点评】本题属于半封闭、半开放题型，将说理与操作相结合(画图),主要考察分类讨论和等腰三角形的判定的知识.本题中通过构建直角三角形,利用三角形全等来证明角相等，进而得出结论.问题(3)的关键在于“∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线是否共线”.（5）怎样把握直角三角形？①直角三角形定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形.②性质：两锐角互余；斜边上的中线等于斜边的一半；两直角边的平方等于斜边的平方；③判定：有一个角是直角；勾股定理的逆定理.例8．如图7是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是()A．13B．26C．47D．94【点拨】根据勾股定理SA+SB+SC+SD=SE,故选C.图7【点评】本题以勾股树上的正方形面积之间的关系为载体，考查直角三角形的勾股定理，类似的问题还有：(1)如图7-(1),分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难说明S1=S2+S3；(2)如图7-(2),分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1、S2、S3之间有什么关系？(不必说明理由)(3)如图7-(3),分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并说明理由；(4)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示,为使S1、S2、S3之间仍具有(2)中的关系，所作三角形应具备什么条件？并说明理由；(5)类比(2)(3)(4)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论.图7-(3)图7-(2)图7-(1)ACBS2S1S3S3S2S3CBAS2S1S3BAC例9．如图8，点O是等边△ABC内点,∠AOB=110°,∠BOC=.将绕点C按顺时针方向旋转得△ADC,连接OD.（1）试说明：△COD是等边三角形；（2）当∠=150°时,试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当∠为多少度时,是等腰三角形？【解析】（1）∵CO=CD,∠COD=60°,∴△COD是等边三角形。（2）当∠=150°，即∠BOC=150°时，△AOD是直角三角形。∵△BOC≌△AOD,∴∠BOC=∠AOD=150°,∵△COD是等边三角形,∴∠CDO=60°,∴∠ADO=90°,即△AOD是直角三角形.图8（3）①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO.∵∠AOD=190°-,∠ADO=-60°,∴190°-=-60°,∴=125°.②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO.∵∠OAD=180°-(∠AOD+∠ADO)=50°，∴-60°=50°,∴=110°.③要使OD=AD,需∠OAD=∠ADO.∴190°-=50°,∴=140°.综上所述：当的度数为125°，或110°，或140°时，△AOD是等腰三角形.【点评】本题融等腰三角形、等边三角形、直角三角形于一体，综合考查特殊三角形的性质与判定，同时(2)是将条件特殊化，探究结论，(3)是将结论特殊化，探索条件，形成一般到特殊化的思想系列.3、本专题重点三角形的内角和及特殊三角形的定义