南开大学金融学本

南开大学金融学本科核心课程投资学南开大学金融学系李学峰2014年9月第三节资本配置与最优资产组合的确定风险资产与无风险资产的配置资本配置线（CAL）市场组合资本市场线（CML）最优资产组合的确定分离定理资产组合与风险分散化一、风险资产与无风险资产的配置（一）无风险资产的含义所谓无风险资产，是指其收益率是确定的，从而其资产的最终价值也不存在任何不确定性。换言之，无风险资产的预期收益率与其实际收益率不存在任何偏离，也即其方差（标准差）为零。进一步看，根据公式，两种资产i和j之间的协方差等于这两种资产之间的相关系数和这两种资产各自的标准差的乘积，即：σij=ρijσiσj假设i是无风险资产，则σi＝0，因此σij＝0。即无风险资产的收益率与风险资产的收益率之间的协方差也是零。（二）资本配置的含义要使一个资产组合具有分散或降低风险的功能，其前提性条件之一是降低组合中各资产之间的协方差或相关系数。由于无风险资产的收益率与风险资产的收益率之间的协方差为零。因此，控制资产组合风险的一个直接方法，即将全部资产中的一部分投资于风险资产，而将另一部分投资于无风险资产上。所谓资本配置，即是根据风险与收益相匹配的原则，将全部资产投资于风险资产和无风险资产中，并决定这两类资产在一个完全资产组合中的比例（权重），这一过程即称为资本配置。所谓完全的资产组合（completeportfolio），是指在该组合中既包括了风险资产又包括了无风险资产所形成的组合。如果我们已经按照马克维茨模型确定了最优风险资产组合，则一个资本配置过程，实际上即是在不改变风险资产组合中各资产的相对比例的情况下，将财富从风险资产向无风险资产进行转移；或者说，是在一个全面资产组合中，降低风险资产组合的权重，而提升无风险资产组合的权重。（三）无风险资产与风险资产构造的投资组合任意风险资产可以与无风险资产（通常选择国库券）构造资产组合。无风险资产与任意风险资产构造资产组合，将形成一条资本配置线(CAL)。有效边界RfE(RP)E(RP)=yRf+(1-y)E(RA)p=(1-y)ACAL：()()AfpfpAERRERR二、资本配置线（CAL）假设一个全面的资产组合由一个风险资产和一个无风险资产构成，其中风险资产的预期收益率（以r表示）为16.2％，标准差为12.08％；无风险资产的预期收益率（以rf表示）为4％。并假设这两种资产在组合中的比例（X1代表风险资产，X2代表无风险资产）分为表所示的5种情况。表全面组合中两种资产的权重组合C1组合C2组合C3组合C4组合C5X100.250.50.751X210.750.50.250（一）资本配置线的导出根据以上情况，该完全组合的预期收益率为：E(rc)=X1r+X2rf=(x1×16.2%)+(x2×4%)对于组合C1，其全部资产都投资于无风险资产，因此其预期收益率为4％；而对于组合C5，其全部资产都投资于风险资产，因此其预期收益率为16.2％。对于组合C2、C3和C4，其预期收益率分别为：E(rc2)=(0.25×16.2%)+(0.75×4%)=7.05％E(rc3)=(0.5×16.2%)+(0.5×4%)=10.10%E(rc4)=(0.75×16.2%)+(0.25×4%)=13.15%我们再计算该完全组合的标准差。对于组合C1和组合C5来说，其标准差分别为：σc1=0%,σc5=12.08%组合C2、C3和C4的标准差可由下述组合标准差的公式计算：σc=(X12σ12+X22σ22+2X1X2ρ1,2σ1，2)1/2根据无风险资产的定义，有σ22＝0，σ12＝0。因此公式可简化为：σc=（X12×σ12）1/2（1）=X1×σ1从而组合C2、C3和C4的标准差分别为：σc2=0.25×12.08％＝3.02％σc3＝0.5×12.08％＝6.04％σc4＝0.75×12.08％＝9.08％我们将上述计算结果概括为下表。表5个组合的预期收益率和标准差组合X1X2预期收益率％标准差％C10140C20.250.757.053.02C30.50.510.16.04C40.750.2513.159.06C51016.112.08将表中的数据绘制到以预期收益率为纵轴，以标准差为横轴的坐标图中，从而得到下图。E(rc)*C5（风险资产）*C4*C3*C2rf=4%*C1σc表中所列示的5个组合都落在连接无风险资产（C1点）和风险资产（C5点）的两个点的直线上，而且，我们可以证明，由无风险资产和风险资产构成的任何一个组合，都会落在该直线上。我们还可以推论出：对于任意一个由无风险资产和风险资产所构成的组合，其相应的预期收益率和标准差都落在连接无风险资产和风险资产的直线上。该线被称作资本配置线（capitalallocationline，CAL）。（二）资本配置线的表述如果我们将一个完全的资产组合中风险资产的预期收益率记为E(rp)，投资比例为x，无风险资产的投资比例为（1－x），则该完全资产组合的预期收益率为：E(rc)=xE(rp)+(1-x)rf（2）=rf+x[E(rp)-rf]根据公式（1）有：σc=xσp则：x=σc/σp（3）将公式（3）代入公式（1），得到：E(rc)=rf+[E(rp)-rf]（4）公式（4）即资本配置线方程，其截距即无风险资产收益率rf，其斜率为[E(rp)-rf]/σp。该斜率实际上所表明的是组合中每单位额外风险的风险溢价测度。资本配置线表示投资者所有可行的风险-收益组合。pc三、市场组合在一个同质性市场，市场组合M对所有投资者都是一样的，也被称为最优风险资产组合。每个投资者都会在这条资本市场线上选择一点作为自己的资产组合，这一点由无风险资产和市场组合M构造。四、资本市场线（CML）根据CAL的导出即CAL的方程式，风险资产与无风险资产的不同权重（配置）会导致同一资本配置线上不同点出现和移动；PE(RP)Rf根据CAL的斜率：不同的风险资产的配置，如不同的股票（比如选A股还是B股）和不同的债券（A债还是B债）及它们之间不同的权重则导致CAL斜率的变化。在均衡情况下，投资者会选择最陡的（有限制条件的）一条资本配置线CAL，这条线被称为资本市场线CML，切点即为市场组合M。市场组合是一个完全多样化的风险资产组合，因为它包含了所有的风险资产与无风险资产。市场组合中的每一种证券的现时市价都是均衡价格，就是股份需求数等于上市数时的价格。如果偏离均衡价格，交易的买压或卖压会使价格回到均衡水平。风险溢价或风险报酬是一个资产或资产组合的期望收益率与无风险资产收益率之差，即E(RP)-Rf。通常CML是向上倾斜的，因为风险溢价总是正的。风险愈大，预期收益也愈大。CML的斜率反映有效组合的单位风险的风险溢价，表示一个资产组合的风险每增加一个百分点，需要增加的风险报酬，其计算公式为：()MfMERRCML的斜率CML上的任何有效的资产组合P的预期收益＝无风险收益＋市场组合单位风险的风险溢价×资产组合P的标准差。即CML的公式表述为：五、最优资产组合的确定（一）投资者效用与资本配置1.定性分析CML给出风险水平不同的各个有效证券组合的预期收益。不同投资者可根据自己的无差异效用曲线在资本市场线上选择自己的资产组合。具体来看：()()MfpfpMERRERR对于风险承受能力弱、偏爱低风险的投资者可在CML上的左下方选择自己的资产组合，一般可将全部资金分为两部分，一部份投资于无风险资产，一部分投资于风险资产。越是追求低风险，在无风险资产上投资越大，所选择的资产组合点越接近于纵轴上的Rf.对于风险承受能力强、偏爱高风险的投资者可在CML上的右上方选择自己的资产组合。一般将全部资金投资于风险资产组合后，还按无风险利率借入资金投资于风险资产。风险偏好越强，借入资金越多，所选择的资产组合点越远离CML上的M点。2，定量分析根据我们给出的投资者的效用函数：U=E(r)-0.005Aσ2求解该函数的最大化，即：MaxU=E(rC)-0.005AσC2(1)根据E(rC)和σC的计算公式从而式(1)成为：MaxU=rf+x[E(rp)-rf]－0.005x2σp2对U求一阶导数并令其等于零，即得到风险厌恶型投资者的最优风险资产头寸x*:x*=(2)公式(2)表明，最优风险资产头寸是用方差度量的，这一最优解与风险厌恶水平A成反比，与风险资产提供的风险溢价成正比。由此我们即得到一组新的投资者无差异曲线（如下图）。201.0)(pfpArrE图中，无差异曲线在纵轴的截距，即无风险资产组合的效用，也即无风险资产的预期收益率。E(r)U3U2CMLU1rf2’rf2rf1σ1σ图1投资者效用与资本配置在CML与投资者无差异曲线的切点处，决定了完全资产组合风险与收益的最优匹配：风险σ1不变但收益提高到rf2’。（二）有效边界与资本配置根据马柯维茨资产组合理论，风险资产的最优组合一定位于有效边界线上。现在我们在有效边界图中加入资本配置线，如下图。由于CAL的斜率由风险溢价和方差决定，因此我们通过变动风险资产组合中各资产的权重，即可变动CAL的斜率，直到其斜率与有效边界线的斜率一致（即成为CML）。如下图中的切点P。该点处是满足有效边界要求（即在有效边界线上）的斜率最大的资本配置线，即最优风险资产组合点。E(r)CML有效边界Pr1rfσ1σ图2资本配置线下的最优风险资产组合如果我们假设上述风险资产组合由股票E和债券D两种资产构成，我们的任务即是找出这两种资产的各自权重wD和wE，以使资本配置线的斜率Sp最大。即：MaxSp=（1）s.t:ΣXi=1其中：E(rp)=wDE(rD)+wE(rE)(2)σp2=wD2σp2+wE2σE2+2wDwEσDσEρDE(3)将公式(2)和(3)代入目标函数，并令wD对Sp的一阶导数等于零，即求得wD：wD=则：pfprrE)(),cov(])()([])([])([),cov(])([])([222EDfEfDDfEEfDEDfEEfDrrrrErrErrErrErrrrErrEwE=1-wD从而资本配置线的斜率Sp达到最大。（三）最优全部资产组合的确定图1所显示的是一个完全资产组合的确定，图2所显示的则是风险资产组合的确定。将两个图合到一起，我们即可得到一个全部资产组合的确定。如图3。E(r)无差异曲线CML有效边界P（最优风险资产组合）Crf完全资产组合σ图3最优全部资产组合的确定六、分离定理（一）分离定理投资者可以通过安排国库券和基金来理财。分离定理认为投资者在投资时，可以分投资决策和融资决策两步进行：第一步是投资决策，即选择最优风险资产组合或市场组合。第二步，根据自身风险偏好，在资本市场线上选择一个由无风险资产与市场组合构造的资产组合，该资产组合要求使投资者的效用满足程度最高，即无差异曲线与资本市场线上的切点。（二）分离定理的结论分离定理表明投资者在进行投资时，可以分两步进行：确定最优风险资产组合，即投资决策；在资本市场线上选择自己的一点，即融资决策。（三）分离定理的推论1，最优风险资产组合的确定与个别投资者的风险偏好无关；2，最优风险资产组合的确定仅取决于各种可能的风险资产组合的预期收益和标准差；3，确定由风险资产组成的最优风险资产组合叫做投资决策；4，个别投资者将可投资资金在无风险资产和最优风险资产组合之间分配叫做融资决策。对融资决策的理解如下：这个融资决策指的是投资者在决定了投资于资本市场线上的最优点M后，投资于M的资金从何而来？不同的风险厌恶程度决定了投资者是选择借出型资产组合（贷出部分无风险资产）还是借入型资产组合（借入无风险资产投资于M），这是投资者的融资决策方案。在每一个投资者的投资组合中，风险资产的部分都是对M的投资，所有的理性投资者都会选择这个最优风险资产组合M。投资者风险偏好的不同，只会决定无风险资产和最优风险资产组合M之间分配比例的不同，而不会影响投资者对风险资产的选择。假设每