平面向量系列之几何意义法

1平面向量系列几何意义法解题一、平面向量的几何意义平面向量既有坐标表示，也有几何表示（即有向线段表示），利用平面向量的几何意义解题，在解决某些数学问题时往往能起到避繁就简的效果。首指向尾首尾相连，ba指向被减向量共起点，bababtabta||||即矩形形对角线相等的平行四边，baba||||即菱形四边形对角线互相垂直的平行，baba0))((二、例题精析例1、（2017，崂山区校级期末改编）已知ba,是非零向量，则下列条件中ba,夹角等于0120的是（）A、||||babaB、|||||a|babC、|||||a|babD、||2||||ababa【解析】：由题知ba,是非零向量，则||||baba表示对角线相等的平行四边形，即为矩形，故ba,夹角为090；而|||||a|bab表示ba,所在的边与其中一条对角线长度相等，故构成的三角形为等边三角形，故ba,夹角为060；|||||a|bab表示ba,所在的边与其中一条对角线长度相等，故构成的三角形为等边三角形，画出图形可知，ba,夹角为060的补角，即为0120；||2||||ababa表示对角形相等的矩形，且对角线长度等于某一边长的2倍，ba,夹角为090。故选C。例2、（2017，金台区期末改编）已知O为三角形ABC所在平面内一点，满足|,2|||OAOCOBOCOB则ABC一定是（）A、等腰直角三角形B、直角三角形C、等腰三角形D、等边三角形【解析】：|,2|||OAOCOBOCOB||||||ACABOAOCOAOBCB，即对角线相等，对角线相等的平行四边形是矩形，所以ABC一定是直角三角形，选B。2例3、（2017，西安模拟改编）若非零向量ba,满足|,|||bba则（）A、|2||2|babB、|2||2|babC、|2||2|baaD、|2||2|baa【解析】：若ba,共线，如左图，故只有C对。若ba,不共线，如右图所示，故选A。例4、（2015，朝阳区模拟）已知向量ae，e=1，对任意tR,恒有etaea，则（）A、aeB、a（a)eC、e（a)eD、（)()eaea【解析】：如图分别画出向量ea,，et表示与e共向的直线上，当e与)(ea垂直时，||ea最小，故选C。例5、（2015，浙江模拟）设向量cba,,满足,0cba且,)(cba,ba若,1||a则222cba的值是__________【解析】：根据题意，如图所示，易知4211222222cba3例6、设ba,是单位向量，0ba，向量c满足,1||bac则||c的最大值为__________【解析】：,1|)(|||bacbac根据题意，如图所示，易知||c的最大值为12例7、（2017，桂林模拟）已知平面向量cba,,满足,1||a,2||b,2||c|,|||baba则||cba的最大值为__________【解析】：根据|,|||baba知对角线相等的平行四边形，即为矩形，ba，521||22maxba如图，易知||cba最大值为25。例8、（2017，吴川校级模拟）设向量ba,满足,1||||||baba则||bta，)(Rt的最小值是__________【解析】：根据题意，画出图形，易知23||minbta4例9、（2017，湛江校级月考）已知向量ba,满足,1||,2||ba且对一切实数x，||||babxa恒成立，则ba,=__________【解析】：根据题意，作出图形，易知43,ba；例10、（2017，西安模拟）若两个非零向量ba,满足|,|2||||ababa则向量ba与ba的夹角是__________【解析】：根据题意，对角线长度等于其中一条边的2倍，如图所示，易知两对角线的夹角为060。例11、（2017，宜宾一模）设向量cba,,满足,60,,21,1||||0cbcababa则||c的最大值是__________【解析】：根据题意，知圆内接四边形，如图所示，易知||c为直径时最大，即2||c。5三、巩固练习练习1、（2013，清浦区校级期末）已知非零向量,,ba满足,1||||baaba与夹角为0120，则||b＝________。【解析】：作出图形可知，有一个夹角为0120的平行四边形，则将平行四边形分为两个正三角形，故有1||||ab练习2、（2016，湛江校级期末）已知向量＝则且满足||,5||||,4||,bbabaaba_______。【解析】：5||||baba对角线等于5的矩形，又知一边为4，则另一边等于3。练习3、（2014，宝山区二模）已知ji,是方向分别与x轴和y轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量||ji＝_______。【解析】：ji,是互相垂直的单位向量，在平面直角坐标系中作出图形易知，2||ji6练习4、（2016，化州模拟）已知ba,是两个非零向量，且|||||,|||||babababa求_______。【解析】：|||||a|bab两向量构成正三角形，补成一个夹角为0120的平行四边形，即求对角线的比值，易知：313||||baba练习5、（2013，永康模拟）已知向量ba,满足，1||||||baba则ba,的夹角为________。【解析】：作出平行四边形，其中两边与一对角线相等，如图，易知ba,的夹角为0120。练习6、（2017，长安县校级期末）设非零向量a、b、c满足cbacba|,|||||，则ba与的夹角为____。【解析】：三个向量的长度相等，又知cba，构成平行四边形，如图，易知ba,的夹角为0120。7练习7、（2016，蓝山校级模拟）已知向量,1||),4,3(baa则||b的范围是_______。【解析】：利用平面向量的几何意义，如图所示，易得||b的范围是15||15b。