作业答案

第二章波函数和薛定谔方程2.1证明在定态中，几率流密度与时间无关。[证]：在定态中，波函数可写成：(,)()Eitrtre并由此有：tEiertr)(),(**代入几率流密度的定义式)],(),(),(),([2*trtrtrtrij则有：)]()()()([2**rrrrij即j仅是空间坐标),,(zyx的函数，与时间无关。2.2由下列两定态波函数计算几率流密度。（1）ikrer11（2）ikrer12从所得结果说明1表示向外传播的球面波，2表示向内（即向原点）传播的球面波。[解]因ikrer11，ikrer1*1则111rrrik*1*11rrrik所以][21*1*11ij*11*11112rrrikrrriki3rrk上述结果说明j的方向沿矢经r的方向，即几率沿r方向向外流动，所以1表示向外传播的球面波。（2）与（1）类似，求得3rrkj此结果表明j的方向沿矢经r的负方向，即几率流流向原点，所以2表示向内传播的球面波。2.3一粒子在一维势场axaxxxU000)(中运动，求粒子的能级和对应的波函数。[解]：由于势函数)(xU不随时间变化体系的状态波函数满足定态Schrödinger方程)()()()(222xExxUxm其中m表示粒子的质量。)()()(20222xExUxdxdm)(0U),0(axx)()(2222xExdxdmax0令222mE0)(220EUm（1）0)()(222xxdxd),0(axx（2）0)()(222xxdxd)0(ax（3）xex)(0x（4）xex)(ax（5）xBxAxcossin)(ax0（6）当0U时，，由（4）式和（5）式有0)(x),0(axx（7）a0x根据波函数的连续性，（6）式和（7）式所表示的波函数分别在0x和ax处连续：0)0(B0cossin)(aBaAa由此得0A0sinana,3,2,1nan代入（1）式中的第一式，可得体系的能量：22222manE,3,2,1n即粒子在势阱中运动的能量只能取分立值，对应的波函数：xanAxnsin)(由波函数的归一化条件1)()(*dxxx，求得aA2xanaxnsin2)(2.4证明（2.6—14）式中的归一化常数aA1[证]已知（2.6—14）式的形式axaxaxanAxn0)(2sin)(由波函数的归一化条件12dx，有：aaAadxaxanA1)(2sin22所以aA12.5求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置[解]由谐振子状态波函数221/22()()2!xnnnxeHxn得到振子在点x处出现的几率密度222()()()2!xnnnxxeHxn当1n时，xxH2)(1222312)(xexx由0)(1dxxd有1x，orx即振子处在第一激发态时几率最大的位置x2.6在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(xUxU，试证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。[证]：由于势函数)(xU与时间t无关，粒子的波函数)(x满足定态Schrödinger方程：)()()()(2222xExxUxdxd（1）其中是粒子的质量。将空间反演：xx)()()()(2222xExxUxdxd（2）因为)()(xUxU所以（2）式可以写成)()()()(2222xExxUxdxd（3）因而，)(x和)(x都是体系哈密顿算符本征方程属于同一本征值E的解，描写同一个状态，它们之间只可能相差一常数)()(xx引入空间反演算符，写成：)()()(ˆxxxI空间再反演一次，有)()()(2xxx写成：)()(ˆ22xxI则有12或1所以)()(xx（对称的，即具有偶宇称）)()(xx（反对称的，即具有奇宇称）由此证得在一维势场中运动的粒子，当)()(xUxU时，粒子的波函数具有确定宇称。2.7一粒子在一维势阱axaxUxU00)(0运动，求束缚态（00UE）的能级所满足的方程[解]因)(xU与时间无关，体系的波函数)(x满足定态Schrödinger方程：0)()]([2)(222xxUEdxxd即0)(2)(222xExdxdax0)()(2)(0222xEUxdxdax令222E202)(2EU在00UE的情况下，，均为实数。以上方程可简写成0)()(222xdxxdax)(xU0UIⅡIIIaa0)()(222xdxxdax方程的解为：axcexaxBexaxxAxxxx)()()sin()()(321由波函数)(x及其一阶微商dxxd)(，在ax，ax处连续，即)()(12aa：)sin(aABea（1）)()(13aa：)sin(aAcea（2）)()(12aa：)cos(aABea（3）)()(13aa：)cos(aAcea（4）由（1）、（3）两式，可得)(actg（5）由（2）、（4）两式，可得)(actg（6）比较（5）式和（6）式，)()(actgactgkaa2k,2,1,0k)12(2)12(kkaa,2,1,0k将2,0分别代入（5）式（或（6）式）actg)0(（7）atg)2(（8）将、值代入（7）式和（8）式，则得到能量所满足的方程EEUEctga022（9）EEUEtga022（10）由此可见，体系的能量值由超越方程（7）和（8）（或（9）和（10））解出，它们可以用如下图解法求解，令22Eaax（11）20)(2EUaay（12）能级2222xaE，就可以由以下曲线交点（如果有的话）获得，即分别求曲线方程组：220222aUyxyxctgx或220222aUyxyxtgx在0x，0y区域内的交点，如下图所示：从图可以看到，束缚态的数目随园)2(202222aURRyx的半径R增加而增加，即随乘积02Ua（“势阱参量”）的增加而增加，如果02Ua是有限的，则束缚态的数目也是有限的。如果),3,2,1,0(212NNRN，则束缚态的数目是1N个[附]求对应的本征波函数，为此将0代入（1）、（2）式，有CB所以得到一组解axBexaxBexaxxAxxxx)()(sin)()(321（13）同理，将代入（1）、（2）式，有CB，于是得到另一组解axBexaxBexaxxAxxxx)()(cos)()(321（14）第一组解是奇函数，第二组解是偶函数，因而体系的波函数具有确定宇称。这正是势场)()(xUxU所导致的必然结果。奇宇称解（13）对应由（7）式或（9）式确定的能量E，偶宇称解（14）对应由（8）式或（10）确定的能量E。A、B为归一化常数，由归一化条件1)(2dxx确定。2.8分子间的范德瓦尔斯力所产生的势能可以近似地表示xbbxaUaxUxxU000)(10求束缚态的能级所满足的方程。[解]：由于势函数)(xU不显含时间，因而，体系的波函数满足Schrödinger方程0)()(2)(22xxUEdxxd代入势函数)(xU的形式，则)(xU0U1UaxbaxxEdxxdbxaxUEdxxdaxxUEdxxd)(2)(0)(2)(00)(2)(22212220222考虑01EU的情形，令0222E，022021EU，022122UE于是上述的微分方程组对写成bxxdxxdbxaxdxxdaxxdxxd0)()(0)()(00)()(2222222122求解以上方程，并考虑到在0x的区域内粒子出现的几率密度为零以及在x，粒子出现的几率为限值，于是粒子体系的波函数为xxixixxCexbxaeBBexaxeAAexxxx)()(0)(00)()(43212211利用)(x及dxxd)(的连续性。bbibiaiaiaabbibiaiaiaaCeeBieiBeBieiBeAeACeeBBeeBBeeAAeAA2222112222112222110CBBAA,,,,不全为零的条件是：000000000011221122112222221122aiaiaaaiaiaabbibibbibieieieeeeeeeeieieee001101122222211222222112212222aiaibbibibbibiaaaiaibbibibbibiaaeeeeieieeeeeeieieeieieeeeaiaibibibaiaibibibeieieeeeieieieieash222222222222212aiaibibibaiaibibibeeeeeeeeieieach222222222211asheeieeashabiabiabiabi1)()(2)()(1222222acheeeeachiabiabiabiabi1)()(1)()(1212222)(cos)(cos)(sin21212122122abachabashabash0)(sin211abachachashabtgabtg11122222)()(orathabtgabtg1122222)()(在0E的情况下，体系处在非束缚状态，可以运动到无穷远处，因此体系的能量可以取大于零的任意连续值。