恒成立问题常见类型及其解法

恒成立问题常见类型及解法“恒成立”问题是数学中常见的问题，涉及到一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的性质、图象,渗透着换主元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中解法通常有:①变量分离法；②构造函数法；③更换主元法；④数形结合法.一、变量分离法：例1：当x∈[1,2]时，ax-20恒成立，求a的取值范围.恒成立时，恒成立时，解：xaxaxx2]2,1[02-]2,1[]2,1[2,]1,21[1xx2a变量分离法：将不等式中的两个变量分别置于不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解..)]([)(maxxfaxfa恒成立，则若.)]([)(minxfaxfa恒成立，则若例2:当(1,2)x240xmxm时，不等式恒成立，求的取值范围.(1,2)x240xmx24xmx244()xfxxxx()fx(1,2)()(1)5maxfxf5m解：当时，由得.令则易知在上是减函数，，∴.所以二、构造函数法：恒成立的条件是什么？时，思考：当0],[baxnmx的图像考虑函数baxxf)(nmoxynmoxynoxym0)(0)(0)(],[nfmfbaxxfnmx恒成立时，结论：当0)(0)(0)(],[nfmfbaxxfnmx恒成立时，当例1：当x∈[1,2]时，ax-20恒成立，求a的取值范围.02-2)2(02-)1(2-)(afafaxxf，则解：令1a0424)2(041)1(4)(2mfmfmxxxf，则解：设5-m解得：例2:当(1,2)x240xmxm时，不等式恒成立，求的取值范围.解：原不等式可转化为对例3：不等式对恒成立，求的范围。1,x212xxppxpⅱ）当时由图可得以下充要条件：22410pp0(1)021,2fp0p得综合可得的取值范围为.8,pⅰ)当时，即时，对一切0fx22410pp80p恒成立；2210fxxpxp1,x恒成立1oyx原不等式等价于2121xpxx214141xxx10x则2211xxpx8p4141xx1x另解：变式：不等式对恒成立，求的范围.1,x212xxppxp令t=x-10,则p-[t+4+4/t]∈(-∞,-8]例4：设，如果恒成立，求的范围.设37fxxxlg37lg101xx1alg37xxa解：原不等式等价于axRlg370xxa10fx可求得.02-4)4-(],1,1[-.52的取值范围恒成立，求不等式对任意例xaxaxa三.变换主元法：恒成立不等式意解：原问题转化为对任044-)2-(],1,1[-2xxaxa44-)2-()(2xxaxaf令.310)1(-0)1(xxff或解得).,3()1,(-的取值范围为x数形结合法4.数形结合法4.数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.4.数形结合法要使对一切，恒成立，例6：当时，不等式恒成立，求的范围.1,2x21logaxxa2121,logayxyx解：设1y则的图象为下图所示的抛物线，xyo121y1=(x-1)21,2x12yy1a显然,2x并且必须也只需当时，的函数值大于的函数值即可。2y1ylog211aa且12ay2=logax01axyo121y1=(x-1)2y2=logax1a()()()()()()()()fxgxfxgxfxgxfxgx数形结合法恒成立函数图像恒在函数图像上方恒成立函数图像恒在函数图像下方归纳变量分离构造函数变换主元实质通过构造函数，化归到函数的性质（最值）或图像解决数形结合解：依题意得，即当Rx时，0862mmxmx恒成立当0m时，Rx当0m时，应00m，即0)8(4)6(02mmmm解得10m故10m即所求范围。862mmxmxy1.已知函数的定义域为R，求实数m的取值范围.2.若对一切实数x，不等式1)2(42224xmxx均成立，求实数m的取值范围.解：由题意，知0m，因此原不等式恒成立等价于224)2(242422222224xxxxxxxm恒成立令)2(422tttyxt，函数tty4在)2[，上为增函数所以2t时，4miny要使不等式224)2(22xxm恒成立只要2minym，所以2m，又0m，所以所求范围是20m.1)(]1,0[)0()(.32的取值范围恒成立，求实数时，，如果对于二次函数axfxaxaxxf02-1)(]1,0[01-041-)21-(-1-12-41)21-(--1-1-1,1.]1,,01-11-1-,1-11-1-]1,0()2(.101-0)1(-1-1-11minmaxmin222max222222222axfxavauvtttvtxxutttutxxxtxxaxxaxxaxxxxxaxxax恒成立，则时，综上所述，如果，故有要是不等式恒成立，应，的函数化为关于，的函数化为关于令上恒成立在（即时，当恒成立时，当，所以解：因为1．若函数y＝x2－ax－6a的图象与x轴交于A，B两点，且线段AB的长不超过5，求实数a的取值范围．2.若方程7x2－(k＋13)x＋k2－k－2＝0(k为常数)有两个实数根α，β，且0＜α＜1＜β＜2，求实数k的取值范围．3．设二次函数f(x)＝x2＋(m－3)x－m．若函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点，且两个交点不都在．．．x轴的正半轴上，求实数m的取值范围．xyO.6-24-)2-()(.42的取值范围实数轴的负半轴有交点，求的图像与已知函数mxmmxxmxf)0,41(-2-8-)(202-)1(轴负半轴交于点与时，即当解：xxxfmm10)2-(240)6-2)(2-(4-16)2(2mmmmmm，解得无解0)0(0)2-(24002-)3(fmmm320)0(02-(4)mfm，解得.6-24-)2-()(.42的取值范围实数轴的负半轴有交点，求的图像与已知函数mxmmxxmxfyxxyO210)0(0)2-(24002-(5)mfmmm，解得，无解0)0(02-(6)fm31a综上所述，.6-24-)2-()(.42的取值范围实数轴的负半轴有交点，求的图像与已知函数mxmmxxmxf2102-6-202-40)1(2121mmmxxmmxx，解得两个负根解：所以不合题意或，，解得一负根，一根为,120012-)(306-2)0(0)2(2xxxxfmmf32,02-6-203mmm解得）一正根一负根（