幂函数课件

第7课时幂函数1.幂函数的定义形如(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是，α为．基础知识梳理y=xα自变量常数基础知识梳理幂函数与指数函数有何不同？【思考·提示】本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置．2．幂函数的性质基础知识梳理y＝xy＝x2y＝x3y＝x1/2y＝x－1定义域R{x|x∈R且x≠0}值域R{y|y∈R且y≠0}奇偶性偶非奇非偶单调性x∈[0，＋∞)时，增x∈(－∞，0]时，减x∈(0，＋∞)时，减x∈(－∞，0)时，减定点RR[0，＋∞)R[0，＋∞)[0，＋∞)增增(0,0)，(1,1)(1,1)奇奇增奇A．1B．2C．3D．4答案：B三基能力强化1．(教材习题改编)下列函数：①y＝1x3；②y＝3x－2；③y＝x4＋x2；④y＝3x2，其中幂函数的个数为()2．在下列函数中，定义域和值域不同的函数是()三基能力强化A．y＝x13B．y＝x－12C．y＝x53D．y＝x23答案：D三基能力强化3．若函数y＝(k2－k－5)x2是幂函数，则实数k的值是()A．3B．－2C．3或－2D．k≠3且k≠－2答案：C三基能力强化4．已知点(33，33)在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式是________．答案：f(x)＝x－3三基能力强化答案：15．若函数f(x)＝x－12，x＞0－2，x＝0(x＋3)12，x＜0，则f(f(f(0)))＝________.幂函数是指形如y＝xα(α∈R)的函数，它的形式非常严格，只有完全具备这种形式的函数才是幂函数．若函数以根式的形式给出，则要注意先对根式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．课堂互动讲练考点一幂函数定义的理解课堂互动讲练例1当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为减函数，则实数m的值为()A．m＝2B．m＝－1C．m＝－1或m＝2D．m≠1±52课堂互动讲练【思路点拨】幂函数的x系数为1，即m2－m－1＝1.35【解析】法一：依题意y＝(m2－m－1)x－5m－3是幂函数，故m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.又∵函数在(0，＋∞)上是减函数，∴－5m－30，即m－，故m＝－1舍去，∴m＝2.法二：特值验证法，验证m＝－1,2时，是否满足题意即可．当m＝2时，函数化为y＝x－13符合题意，而m＝－1时y＝x2不符合题意，故排除B、C、D.【答案】A【误区警示】易忽视对函数的性质进行验证．课堂互动讲练幂函数y＝xα的图象由于α的值不同而不同．α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；课堂互动讲练考点二幂函数的图象课堂互动讲练例2已知幂函数f(x)的图象过点(2，2)，幂函数g(x)的图象过点(2，14)．(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)当x为何值时：①f(x)＞g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)＜g(x)．课堂互动讲练【思路点拨】先用待定系数法求幂函数的解析式，然后利用g(x)，f(x)的图象，求x的取值范围．【解】(1)设f(x)＝xα，∵其图象过(2，2)点，故2＝(2)α，解得α＝2，∴f(x)＝x2.设g(x)＝xβ，解得β＝－2.∴g(x)＝x－2.(2)在同一坐标系下作出f(x)＝x2与g(x)＝x－2的图象，如图所示．课堂互动讲练∵其图象过点(2，14)，∴14＝2β，由图象可知：f(x)，g(x)的图象均过点(－1,1)与(1,1)．∴①当x＞1或x＜－1时，f(x)＞g(x)；②当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；③当－1＜x＜1且x≠0时，f(x)＜g(x)．课堂互动讲练【规律小结】(1)求幂函数解析式的步骤为以下几点：①设出幂函数的一般形式y＝xα(α为常数)；②根据已知条件求出α的值(待定系数法)；③定出幂函数的解析式．课堂互动讲练(2)作直线x＝t，t∈(1，＋∞)与幂函数的各个图象相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的．课堂互动讲练解：设f(x)＝xα，∵过A(2,8)，∴α＝3，∴f(x)＝x3，由例2知g(x)＝x－2，课堂互动讲练互动探究若例2中的点A(2，2)改为A(2,8)，探求h(x)＝min{f(x)，g(x)}(表示f(x)与g(x)中较小的一个)的单调性及奇偶性．在同一平面直角坐标系中画出y＝f(x)与y＝g(x)的图象，如图，课堂互动讲练从图中及h(x)的定义可知：且在(－∞，1)上h(x)为增函数，在[1，＋∞)上h(x)为减函数，函数h(x)的定义域为R.课堂互动讲练h(x)＝x－2，x≥1x3，x＜1，又∵h(－2)＝(－2)3＝－8，∴h(－2)≠h(2)且h(－2)≠－h(2)，∴h(x)为非奇非偶函数．课堂互动讲练h(2)＝2－2＝14，幂函数y＝xα有下列性质：(1)单调性：当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调递增；当α＜0时，函数在(0，＋∞)上单调递减．(2)奇偶性：幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断．课堂互动讲练考点三幂函数的性质及其应用课堂互动讲练例3(解题示范)(本题满分12分)已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－m3＜(3－2a)－m3的a的范围．课堂互动讲练【思路点拨】由f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象关于y轴对称知m2－2m－3为偶数，又在(0，＋∞)上是减函数，∴m2－2m－3＜0，从而确定m值，再由函数f(x)＝x－m3的单调性求a的值．【解】∵函数f(x)在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3.∵m∈N*，∴m＝1,2.3分又函数f(x)的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.5分课堂互动讲练课堂互动讲练而g(x)＝x－13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴(a＋1)－13＜(3－2a)－13等价于a＋1＞3－2a＞0，或0＞a＋1＞3－2a，或1＞a＋1＜0＜3－2a.9分课堂互动讲练解得a＜－1或23＜a＜32.故a的范围为{a|a＜－1或23＜a＜32}.12分【名师点评】本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图象对称性)求出m的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a的取值范围．课堂互动讲练(本题满分12分)例3题干不变，求解下列问题．(1)求函数f(x)；课堂互动讲练高考检阅(2)讨论F(x)＝af(x)－bxf(x)的奇偶性．解：(1)∵f(x)的图象关于y轴对称，∴f(x)是偶函数，∴m2－2m－3应为偶数.2分又∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴m2－2m－3＜0，－1＜m＜3.4分又m∈N*，∴m＝1,2.当m＝2时，m2－2m－3＝－3，不是偶数，舍去；当m＝1时，m2－2m－3＝－4.∴m＝1，即f(x)＝x－4.7分课堂互动讲练(2)函数F(x)的定义域为{x|x≠0}．①当a≠0，且b≠0时，为非奇非偶函数；②当a＝0，b≠0时，为奇函数；③当a≠0，b＝0时，为偶函数；④当a＝0且b＝0时，既为奇函数，又为偶函数.12分课堂互动讲练∵F(x)＝ax2－bx3，∴F(－x)＝ax2＋bx3.9分1．幂函数y＝xα(α＝0,1)的图象规律方法总结规律方法总结2.幂函数y＝xα(α＝qp，p，q∈N*，qp为最简分式)的图象规律方法总结