第三节++泰勒定理+函数极值判定

第三节泰勒定理，函数极§3.1当一个函数给出了具体表达式后，有的函数值并不是很容易计算，例如f(x)＝ex，f(0.312)＝e0^312若用十进制表示，如果不借助计算器或查表是很难计算出来的。如何解决这一难题，多项式函数是各类函数中最简单的一种，因为它只需用到四则运算，从而使我们想到能否用多项式近似表达一般函数，实际上若函数为n次多项式f(x)＝a０+a1（x-x０）＋a２（x-x０）２＋……＋an(x-x０)n(1)逐次求它在x=x０f(x０)＝a０，f′（x０）＝a１，f″（x０）＝2!，a２，……，f(n)(x０)＝n!an即a０＝f(x０)，a１＝f′（x０），a２＝!2)x(f0……，an＝!n)x(f0)n(因而(1)式可写为f(x)=f(x０)+f′（x０）（x－x０）＋!2)x(f0(x－x０)２＋……＋!n)x(f0)n((x－x０)n(2)所以多项式f(x)的各项系数由其各阶导数值唯一对一般函数f(x)，若存在直到n阶导数，则按(2)式右端也可以相应地写出一个多项式，记作Pn(x)，则Pn(x)＝f(x０)＋!1)x('f0(x-x０)＋!2)x(f0(x-x０)２＋……＋!n)x(f0)n((x-x０)n那么f(x)与Pn(x)由拉格朗日定理知，若f(x)在x０的邻域内存在一阶导数，则f(x)－f(x０)＝f′(ζ)(x－x０)即f(x)＝f(x０)＋f′（ζ）(x－x０)若f(x)在x０的邻域内存在n+1f(x)=Pn(x)＋Ｋ（x－x０）n＋１k与f（n+1）因此，我们猜想f(x)=Pn(x)＋)!1n()(f)1n((x-x０)n+1定理(泰勒(Taloyr)定理)设函数f(x)在区间X上存在n＋1阶导数，对每一个x０∈X，则任给x∈X,f(x)＝Pn(x)＋)!1n()(f)1n((x－x０)nf(x０)＋f′（x０）（x－x０）＋!2)x(f0(x－x０)２＋……＋!n)x(f0)n((x－x０)n＋)!1n()(f)1n((x-x０)n(1)ζ介与x０，x分析(1)式当n=0时，就是拉格朗日定理，由此启发我们采用类似拉格朗日的证法，选用k值法，证任给x∈X，这时x看成常数，且x≠x０设1n01n00)n(000)xx()xx(!n)x(f)xx)(x('f)x(f[)x(f＝Ｋ(2)只需证明至少存在一点ζ介与x０，x之间，使k＝)!1n()(f)1n(由(2)f(x)-［f(x０)＋f′(x０)(x-x０)＋!2)x(f0(x-x０)２＋……＋!n)x(f0)n((x-x０)n］－k(x－x０)n＋１(3)φ(t)=f(x)-［f(t)＋f′（t）(x-t)＋!2)t(f(x-t)２＋……＋!n)t(f)n((x-t)n］－k(x-t)n＋１k与t无关，因此对t由φ(x)=0,由(3)知，φ(x０)＝０，而φ(t)在［x０，x］(或［x１，x０］)上可导，所以φ(t)在该区间上也连续，由罗尔定理知，至少存在一点ζ介与x０，x之间，使φ′(ζ)由φ′(t)=-［f′（t）－f′（t）＋f″（t）(x-t)-f″（t）(x-t)＋!2)t('f(x－t)２!2)t('f(x-t)２＋!3)t(f)4((x-t)３＋……－)!1n()t(f)n((x-t)n-1!n)t(f)1n((x-t)n］＋（n+1）k(x－t)n－＝!n)t(f)1n((x-t)n＋(n＋1)k(x-t)n,－!n)(f)1n((x-ζ)n＋（n+1）k(x－ζ)n＝０，ζ介与x０，x之间，且x!n)(f)1n(－（n+1）k＝０，即k＝)!1n()(f)1n(因此结论成立，(1)式称为函数f(x)在点x=x０处的)!1n()(f)1n((x-x０)(n＋1)n阶泰勒公式的拉格朗日余项，记作Rn(x)即Rn(x)＝)!1n()(f)1n((x-x０)(n-1)由ζ＝x０＋θ(x-x０)有Rn(x)＝)!1n())xx(x(f00)1n((x-x０)(n＋1)０＜θ＜1Pn(x)＝f(x０)＋f′（x０）（x－x０）＋!2)x(f0(x-x０)２＋……＋!n)x(f0)n((x－x０)n称为n若f(n+1)(x)在X上有界，即存在M＞0，对一切x∈X，有｜f（n+1）(x)｜≤M则用Pn(x)的近似表示函数f(x),｜f(x)－Pn(x)｜＝｜Pn(x)｜≤)!1n(M｜x-x０｜n+1如果x０f(x)=f(0)＋f′(0)x+!2)0(fx２＋……＋!n)0(f)n(xn＋)!1n()(f)1n(xn＋１(4)o，x之间，这个公式称为马克劳林公式，Rn（x）＝)!1n()(f)1n(xn+1)!1n()x(f)1n(xn+10＜θ＜1§3.2几个常数函数的马克劳林公式实际中最常用的还是马克劳林公式，因为这时的马克劳林多项式Pn(x)=f(0)＋f′(0)x+!2)0(fx２＋……＋!n)0(f)n(xn更简单，计算更容易，而且有了函数的马克劳林公式以后，利用马克劳林公式可求出函数的泰(1)f(x)=ex由f(n)(x)＝ex,则f（n(0)＝e０＝１，f(n+1)x＝eθx代入公式(4)ex=1+x+!2x2＋……＋!nxn＋)!1n(xexn+10＜θ＜1(2)f(x)=sinx由f(n)(x)sin(x+n·2)f(0)=0当n=2m时，f(2m)(0)=sinmπ＝０m=0,1,2,3当n=2m＋１时，f(2m＋１)(0)=sin(2m＋１)2＝sin(mπ+2)＝（－１）mm=0,1,2,3当n=2m＋２时，f(2m＋２)(θx)=sin(θx+(2m＋2)2)代入(4)sinx=x-!3x3+!5x5-!7x7+……＋（－１m)!1m2(x1m2＋)!2m2()xmsin(x２m＋２0＜θ＜1(3)f(x)=cosx由f（n）cos(x+n2)f(n)(0)cosn2f(0)=1当n=2m时，f(2m)(0)=cosmπ＝(－１)m当n=2m＋１时，f(2m＋１)(0)=cos(mπ＋2）＝0当n=2m＋２时，f(2m＋２)(θx)=cos(θx+mπ＋π)代入(4)cosx=1-!2x2＋!4x4＋……＋（－１）m)!m2(xm2＋)!2m2()mxcos(x2m+2ο＜θ＜1(4)f(x)=ln(1+x)由f(n)(x)＝（－１）n－１(n－１)!（1＋x）－nf(n)(0)＝（－１）n－１(n－１)!f（0）f(n＋１)(θx)＝（－１）nn!（1＋θx）－(n＋1)(4)ln(1+x)=x-2x2＋3x3－4x4＋……＋（－１）n-11n1n)x1)(1n(xxn+10(5)f(x)=(1+x)a由f(n)(x)＝a（a－１）……(a－n＋１)（1＋x）a－nf(n)(0)＝a（a－１）……(a－n＋１),f（o）f(n＋１)(θx)＝a（a－１）……(a－n）（1＋θx）a－n－１(4)得(1+x)a=１＋ax＋!2)1a(ax２＋……＋!n)1na()1a(axn＋)!1n()na()1a(aa1n1n)x1(x0§3.3带有皮亚诺型余项的泰勒公由拉格朗日余项形式比较复杂，能否用更简单的形式表示，由f(x)在点x０△y=f(x)-f(x0)=f′（xo）(x-xo)＋o(x-x０)，(x→x０)f(x)＝f′（x0）(x-x0)＋o(x-x０)(x→x０)因此，余项可用o(x-x0)n的形式，而且条件也比泰勒定理若f(x)在点xo处存在nf(x)=f(x0)＋f′（x０）(x-x０)＋!2)x(f0(x-x０)２!n)x(f0)n((x－x０)no［（x－x０）n证设F(x)＝f(x)-［f(x０)＋f′(x０)(x－x０)＋!2)x(f0(x－x０)２＋……＋!n)x(f0)n((x－x０)nG(x)＝（x－x０）n，应用洛比达法则，和f(x)在点x０存在n0xxlim)x(G)x(F(00)0xxlim)x('G)x('F(00)＝……＝)x(G)x(F)1n()1n((00)0xxlim)xx(2)1n(n)xx)(x(f)x(f)x(f000)n(0)1n()1n(!n10xxlim［00)1n()1n(xx)x(f)x(f－f(n)（x０）］＝０，因F(x)=o(G(x))=o((x-x０)n)(x-x０)f(x)＝f(x０)＋f′（x０）(x-x０)＋!2)x(f0(x-x０)２＋……＋!n)x(f0)n((x-x０)n＋o((x-x０)n)(x→x０)称Rn(x)=o((x-x０)n)为泰勒公式的皮亚诺(Reano)f(x)=f(0)+f′(0)x+!2)0(fx２＋……＋!n)0(f)n(xn＋o(xn)(x→０)带有皮亚诺余项的五个常用函数的马克劳林公式ex＝1＋x+!2x2＋……＋!nxn＋o(xn)(x→0)sinx=x-!3x3＋!5x5－!7x7＋……＋(－１)n)!1n2(x1n2＋o(x2n+2)(x→0)cosx=1-!2x2＋!4x4－!6x6＋……＋(－１)n)!n2(xn2＋o(x2n+1)(x→0)ln(1+x)=x-2x2＋3x3－4x4＋……＋(－１)n－１nxn＋o(xn)(x→0)(1＋x）a=１＋ax＋!2)1a(axa＋……＋!n)1na()1a(axn＋o(xn)(x→0)若f(x)=Axk＋o(xk),A为常数,A≠0(x→0)，则f(x)～Axk事实上，0xlimkAx)x(f0xlimkkx)x(ok)x(A因此，利用带有皮亚诺余项的泰勒公式可以求出某即若f(x)=Axk＋o(xk)（x→0）A≠0g(x)=Bxm＋o(xm)（x→0）B≠0则0xlim)x(g)x(f＝0xlimmkBxAx＝mk0mkBAmk例10xlim42xxexcos2解2x2excos(1－!2x2＋!4x4＋o(x４))－（１－2x2＋!214x4＋o(x４)(!41－!241)x４＋o(x４)～－121x４(x→0)则0xlim42xxexcos20xlim44xx21＝－121例20xlim3xx)x1(xsxe解0xlim3xx)x1(xsxe＝0xlim33322x)x1(x))x(o)!3xx())x(o!2x_x_10xlim333x)x(ox31＝31§3.4利用马克劳林公式，就可计算出三角函数，常用对数，自然对数的值，三角函数及自然对数表就是利用例(1)证明数e的近似值其误差不超过10－６(2)证明数e证(1)由ex＝1＋x+!2x2＋……＋!nxn＋)!1n(eζ介与0，x之间，xe=1+1+!21＋……＋!n1＋)!1n(e0＜ζ＜1由于Rn(1)＝)!1n(e＜)!1n(3当n=9R９（１）＜!103－６＜!103＜10－６e≈1＋１＋!21＋!31＋……＋!91≈2.7182815(2)由e-(1＋１＋!21＋……＋!n1＝)!1n(e0＜ζ＜1两端乘以n!n!e-［n!+n!+n(n-1)……3＋……＋１］＝)!1n(e现证e是无理数，假设e为有理数，设e=qp(p,q为整数)，当n＞q时，n!e为整数，所以左端为整数，而右端则当n≥2时为非整数，矛盾，因此，e只能是例4在［０，１］上用二次多项式逼近函数y＝x1解由x1＝(1+x)21＝１＋2x－8x2＋Ｒ２(x)于是，当0≤x≤1｜R２（x）｜=｜83·35)1(1·!31｜≤83·!31＝161例设f(x)在［a,b］上n次可微，且f(a)＝0，f(k)（b）＝0，k=0,1,2,……n-1,证明至少存在一点ζ∈(a,b)，使f(n)(ζ)证由f(x)=f(b)+f′(b)(x-b)+……＋)!1n()b(f)1n(