幂函数图像及性质

幂函数人教版数学A版必修1授课人：曾燕华问题1:如果张红购买了1元/千克的蔬菜x千克，那么她需要付的钱数y（元）和购买的蔬菜量x（千克）之间有何关系？问题2:如果正方形的边长为x，那么正方形面积y为多少？问题3:如果正方体的棱长为x，那么正方体体积y为多少？问题4:如果正方形场地的面积为x，那么正方形的边长y为多少？问题5:如果某人x秒内骑车行进1千米，那么他骑车的平均速度y为多少？（千米/秒）问题情境3yx2yxyxyx1y=x以上问题中的函数有什么共同特征(1)y=x(2)y=x2(3)y=x3(4)y=x0.5(5)y=x-1上述问题中涉及的函数，都是形如y=xa的函数。（1）都是函数；（2）均是以自变量为底的幂；（3）指数为常数；（4）前面的系数为1;从而我们归纳出幂函数的一般概念：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为自变量，α为常数．()Ryxx注意与指数函数的区别:●幂函数——底数是自变量、指数是常数。●指数函数——指数是自变量、底数是常数。例1判断下列函数哪几个是幂函数？222113;(2);(3)2;(4)1;1(5)1;(6)（）　　　xyyyxyxxyyx答案（2）(5)（6）例2．写出下列函数的定义域，并分别指出它们奇偶性：3(1)yx定义域为R，奇函数12(2)yx定义域为，非奇非偶[0,)2(3)yx定义域为，偶函数0,xxxR且二、幂函数的图象试作出下列函数的图象21312,,,,.yxyxyxyxyx函数性质y=xy=x2y=x3y=x1/2y=x-1定义域值域奇偶性单调性定点奇偶奇非奇非偶奇(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)RRR{x|x≠0}［0,+∞）RR{y|y≠0}［0,+∞）［0,+∞）x∈[0，+∞)时增x∈(-∞，0]时减增增增x∈[0，+∞)时减x∈(-∞，0]时减观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表●所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1,1)；●指数是偶数的幂函数是偶函数,指数是奇数的幂函数是奇函数；●0时,●0时,幂函数的性质(1)图象都经过点（0，0）和（1，1）(2)图象在第一象限,函数是增函数.(1)图象都经过点（1，1）；(2)图象在第一象限是减函数；(3)在第一象限内,图象向上与Y轴无限地接近,向右与X轴无限地接近.例3.比较下列各组数的大小：1122(1)1.3____1.42355(4)(2.4)____(1.8)11(2)0.26_____0.272235(3)3.9_____3.8解后反思两个数比较大小，何时用幂函数模型，何时用指数函数模型？知识应用：例4证明幂函数在[0,+∞)上是增函数．()fxx证明：任取x1,x2∈[0,+∞)，且x1＜x2，则12121212121212()()()()fxfxxxxxxxxxxxxx1212120,0,()(),()[0,).xxxxfxfxfxx因为所以即幂函数在上是增函数除了作差，还有没有其它方法呢？证明2:任取x1,x2∈［0，+∞）,且x1x2则x1/x21所以所以所以例4证明幂函数f(x)=x1/2在［0，+∞）上是增函数.1)()(212121xxxxxfxf)()(21xfxf为增函数，在0)(xxf(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有理化的方式(2)作比法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则推不出ｆ(x1)ｆ(x2)课堂练习画出的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性.23yx小结：⒈幂函数概念，常见幂函数的图像，幂函数图像变化情况和性质；⒉应用常见幂函数的单调性比较两个同指数的指数幂的大小。一、基本内容二、思想方法1.通过研究函数的性质来指导作图，反过来又借助于函数图象来进一步研究函数性质；2.根据对某类事物中的一部分对象的情况，而作出关于该类事物一般性结论的推理，其结论是否正确，还需要理论的证明和实践的检验。小结：作业布置课本P78习题2.31，2，3