全微分方程

2一、全微分方程及其求法1.定义:0),(),(dyyxQdxyxP则dyyxQdxyxPyxdu),(),(),(若有全微分形式例如,0ydyxdx),(21),(22yxyxu全微分方程或恰当方程,),(ydyxdxyxdu所以是全微分方程..xQyP全微分方程32.解法:0dyyxQdxyxP),(),((1)应用曲线积分与路径无关.xQyP通解为yyxxdyyxQxdyxPyxu00),(),(),(0,),(),(000xdyxPdyyxQxxyy;),(Cyxu(2)用直接凑全微分的方法.为全微分方程4),(yxyxo例1.求解0)33()35(222324ydyyxyxxdyyxx解:因为yP236yyxxQ故这是全微分方程,取,0,000yx则有xdxyxux045),(ydyyxyxy0222)33(5x2223yx3yx331y因此方程的通解为5x2223yx3yxCy331)0,(x5例2.求解01)(2ydxxdxyx解:因为21xyP所以这是一个全微分方程.用凑微分法求通解.将方程写为02xxdyydxxdx即,0212xydxd故原方程的通解为0212xyxd或Cxyx221,xQ6.0)3()3(2323的通解求方程dyyxydxxyx解,6xQxyyP是全微分方程,yxdyyxdxyxyxu03023)3(),(.42344224Cyyxx原方程的通解为,42344224yyxx例37.0324223的通解求方程dyyxydxyx解,64xQyxyP是全微分方程,将左端重新组合)32(14232dyyxdxyxdyy)()1(32yxdyd.132Cyxy原方程的通解为),1(32yxyd例48二、积分因子法定义:0),(yx连续可微函数，使方程0),(),(),(),(dyyxQyxdxyxPyx成为全微分方程.则称),(yx为方程的积分因子.问题:如何求方程的积分因子?9思考:如何求解方程?0)(3ydxxdyx这不是一个全微分方程,,12x就化成对一个非全微分方程,若有一个适当的函数),(yx使0),(),(),(),(ydyxQyxxdyxPyx为全微分方程,),(yx在简单情况下,求积分因子可凭观察和经验得到.则称函数为原方程的积分因子.但若在方程两边同乘例2的方程.10常用的微分倒推式有)()1(dydxdyx)()2(dxdyydxyx)()3(dydyxdx)(2122yx)()4(2dyydxxdyyx)()5(2dxydxxdyxy)()6(dyxydxxdyyxln)()7(22dyxydxxdyyxarctan)()8(22dyxydyxdx22yx11例5求解0)1()1(ydxyxxdyyx解:分项组合得)(ydxxdy即0)()(22yydxxdyxyxd选择积分因子,1),(22yxyx同乘方程两边,得0)()(2ydyxdxyxyxd即0)ln()ln(1ydxdyxd因此通解为,lnln1Cyxyx即yxeCyx1因x=0也是方程的解,故C为任意常数.0)(ydxxdyyx微分倒推公式12.0)1(222的通解dyyxdxyxx解将方程左端重新组合,有例6求微分方程,02222dyyxdxyxxxdx,0)()(2222dyyxxdyxxd,0)()(222yxdyxxd原方程的通解为.)(322322Cyxx13.0)1(ln2222的通解dyyyxydxxy解将方程左端重新组合,有,01)ln2222dyyydyxydxxy（,1),(yyx易知,01)ln2(22dyyydyyxydxx则.0)1(31)ln(2322ydyxd即原方程的通解为.)1(31ln2322Cyyx可积组合法例7求微分方程14三、一阶微分方程小结分离变量法常数变易法全微分方程一阶微分方程15285512P习题4531275311),)()((),)()()((16思考题方程0324223dyyxydxyx是否为全微分方程？17思考题解答32yxyyP,64yx4223yxyxxQ,64yxxQyP原方程是全微分方程.18一、判别下列方程中哪些是全微分方程,并求全微分方程的通解:1、0)2(dyyxedxeyy；2、0)(22xydydxyx；3、02)1(22dede.二、利用观察法求出下列方程的积分因子,并求其通解:1、02xdxyxdyydx；2、dxyxydyxdx)(22；3、0)1()1(xdyxyydxxy.练习题19三、验证)]()([1xygxyfxy是微分方程0)()(dyxyxgdxxyyf的积分因子,并求方程0)22()2(2222dyyxxdxyxy的通解.四、已知21)0(f,试确定)(xf,使0)()]([dyxfydxxfex为全微分方程,并求此全微分方程的通解.20练习题答案一、1、Cyxey2；2、不是全微分方程；3、Ce)1(2.二、1、Cxyx22；2、xCeyx222；3、xyCeyx1.三、2212yxeCyx.(或Cyxyx22211ln)四、Cyxexexfxx)21(,)21()(.