2.3.1 双曲线及其标准方程 (有视频) 赛课

代表忠贞不渝爱情的埃菲尔铁塔婀娜多姿的广州小蛮腰北京用双曲线型来缓解交通发电场的烟囱动手试一试,椭圆的画法数学史：1F2FM椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。回顾：椭圆的定义是什么？探究1：椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹又是什么呢？？？？？？思考：平面内与两定点F1，F2的距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？平面内与两定点的距离的差为非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？①如图(A)，|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a②如图(B)，|MF2|-|MF1|=2a由①②可得：||MF1|-|MF2||=2a（差的绝对值）上面两条曲线合起来叫做双曲线,每一条叫做双曲线的一支。平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线.（︱F1F2|=2c)①两个定点F1、F2——焦点②|F1F2|=2c——焦距.2aoF2F1M||MF1|－|MF2||=|F1F2|时，M点一定在上图中的射线F1P，F2Q上，此时点的轨迹为两条射线F1P、F2Q。②常数大于|F1F2|时①常数等于|F1F2|时|MF1|－|MF2||F1F2|F2F1PMQM是不可能的，因为三角形两边之差小于第三边。此时无轨迹。此时点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线。则|MF1|=|MF2|F1F2M③常数等于0时∵若常数2a=|MF1|－|MF2|=0yxO(-c,0)(x,y)(c,0)F2F1M探究？如何求这优美的曲线的方程？1.建系:以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，2.设元:则F1(-c,0),F2(c,0)3.方程:F1MxOy122MFMFa设双曲线上任意一点M（x,y),4.化简:F2即(x+c)2+y2-(x-c)2+y2=+2a_1.建系:以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，2.设元:则F1(0,-c),F2(0,c)3.方程:122MFMFa设双曲线上任意一点M（x,y),4.化简:即x2+(y＋c)2－x2+(y－c)2=±2aM（x,y)令：c2-a2=b2222222ybxaab22221xyab即：（a0，b0）移项平方得:222222()2()xcyaxcy2222222()44()()xcyaaxcyxcy整理得：222()cxaaxcy，平方得：4222222222222aacxcxaxacxacay整理得：22222222()()ycaxaaca思考3：如何判断双曲线焦点的位置？22221xyab22221yxab(0,0)ab222cab12222,(,0),(,0),.xFcFccab它所表示的双曲线的焦点在轴上焦点是这里F2F1MxOyOMF2F1xy椭圆要看分母，焦点跟着大的走双曲线看正负，焦点跟着正的走判断焦点的位置方法：12222,(0,),(0,),.yFcFccab它所表示的双曲线的焦点在轴上焦点是这里(0,0)ab练习1：下列方程哪些表示的是双曲线，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？0225259)2(22yx22(3)321xy22(1)1216xy22(4)1(0,0)xymnmn注意：先化成标准形式，焦点跟着正的走椭圆Y轴双曲线X轴双曲线Y轴双曲线X轴0225259)2(22yx22(1)1216xy0225259)2(22yx22(3)321xy22(1)1216xy0225259)2(22yx22(4)1(0,0)xymnmn22(3)321xy22(1)1216xy0225259)2(22yx求适合下列条件的双曲线的标准方程：；，54)1(ca解：191622yx双曲线方程为，，54ca9222acb.191622xy或；，经过点，，、，焦点为)52()60()60()2(解：由双曲线定义，有|)65(2)65(2|22222a|555|.54.52a，又6c.162036222acb.1162022xy故双曲线方程为例1：第一步：定位第二步：定量第三步：下结论一个概念；二个方程；三个意识：求美意识求简意识猜想的意识二个方法：122MFMFa)0b,0a(1byax2222)0b,0a(1bxay2222去根号的方法；求标准方程的方法