实用线性代数

实用大众线性代数(MATLAB版)序言本书的特色和概貌•本书的书名反映了它的特色，那就是“实用化”、“现代化”和“大众化”三个方面。“实用化”指的是本书以工科的后续课及未来工程的需求为标准安排内容，附录B,C中列出的60个应用实例表明了本书的实用背景；“现代化”指的是用软件MATLAB来解决问题，不依靠笔算；“大众化”指的是书中采用了最少、最浅而又足够的理论，使推理能力不太强的学生和有实践经验但不接触数学多年的工程师都能接受，便于向大众普及。线性代数为何列入共同基础课•50年前，线性代数进入美国大学数学系本科教学计划[1]，中国的非数学系从80年代起也增设这门课。线性代数为什么在近几十年如此风靡呢？不是它在古典理论上有新突破，而是在应用上的创新。1973年的诺贝尔经济奖发给了首创用计算机解54阶线性方程组Leontiff教授；它推动了线性代数在解决大规模线性方程组方面的成就。80年代初，线性代数软件包LINPACK开发成功。这样人们不需要精通矩阵求解的数学细节，就可以解决大型复杂的线性代数命题，MATLAB也是用此软件包作为后台支撑的。•于是，线性代数不再是少数理论尖子才能学会的秘笈，而成为非数学专业大学生都能掌握的计算工具。但人们在一个时期内却沿用了数学系的教法。这门由计算机催生的课程却不和计算机相结合，而偏重讲一两百年前的数学理论，与应用无法结合，引起了师生的强烈改革要求。美国的线性代数改革•美国从1990年提出了线性代数改革的五条建议：(i)线性代数课程要面向应用，满足非数学专业的需要；(ii)它应该是面向矩阵的；(iii)它应该是根据学生的水平和需要来组织的；(iv)它应该利用新的计算技术；(v)抽象内容应另设后续课程来讲。1992-1997在大学教师中实施了”用软件工具加强线性代数教学”的ATLAST计划，主要推广MATLAB。MIT的G.Strang教授提出了“让线性代数向世界开放”的口号，听他的视频讲座的人数已超过一百万。•在中国科技和经济高速发展的今天，普及线性代数也具备了更好的条件。这本书就是为从事应用层面的技术人员和高校学生写的。我国线性代数实践教学的改革•传统线性代数的最大弱点是“片面强调理论，脱离机算实践”，作者2005年写的《线性代数实践及MATLAB入门》[5]，主要就是改革这点，读者对象是教师。2007年与高淑萍和杨威两位老师合编了《工程线性代数(MATLAB版)》[6]，读者对象是学生。该书以强化建模和实践为主，由于考虑到学生考研，理论一点不敢动。•2009年高教司指定由本人牵头，19所大学参与，实施了“用MATLAB及建模实践改造工科线性代数”子项，这两本书就是项目思想的载体。两年中，共有200多名教师、45000名学生在这项改革中受益，虽然在线性代数中使用计算机已是师生的共识，但传统大纲中的理论占了很多学时，使学生实践受到很大限制，一些学时少的学校的线性代数课处于半取消状态。线性代数理论教学的改革思路•想把改革目标转向简化理论。就要弄清哪些理论是工科学生必学的。线性代数理论博大精深，从一个工科教师的角度，犹如井底之蛙，不可能从顶向下地梳理清楚。但可以采用逆向思考的方法，把见过的后续课和工程问题加以归纳，找到其最低限度需要的理论。凡是后续课需要的，讲透加强；凡是找不到直接需求的，即予删除；凡是能找到简明证法的，均予采纳。根据工科学生的特点，尽量从具体到抽象，加强图形和动画等形象教学在理论证明中的作用。•从这些命题中归纳出对理论的需求，反映在本教材中，为四方面的重大改革：（1）关于行列式的讲法•我们发现，在所有的应用命题中，除了强凑求面积体积和求特征方程的问题外，没有一个要算行列式的，花了很多学时讲的各种理论和方法竟然没用处。这是因为用消元法解方程时，已经用主元不为零判定了解的存在和唯一，不知不觉中已用了行列式；不必另起炉灶，教学生带有“维数灾难”（见3.2.2节）根本无法用来计算的行列式定义。主元连乘法是高斯消元的自然延伸，不引进新概念新名词，并可很容易地证明行列式的各种有用的性质，也是软件编程的依据。（1）关于行列式的讲法(续)•本书彻底摆脱了逆序数、代数余子式、随伴矩阵、行列式按行展开、…等等繁琐的数学术语和推导，大大压缩了篇幅，避开了许多“拦路虎”。不讲这些概念水平就低吗？其实讲透了传统方法的致命痼疾，让后人别白费时间，才体现了水平。•还可以举出两个佐证：一是国际领先的矩阵软件MATLAB中就没有这些术语及其子程序。全世界有几百万用户却都在靠它解大规模、高难度的线性代数问题，说明应用中确实不需要这些概念；二是美国MIT的教材(著者就是那位有百万听众的G.Strang)也不讲这些概念，只通过二、三阶矩阵简单介绍了一下，深度与本书相当。(2)向量空间要讲透三维,减缩N维•帮助大学低年级学生建立立体概念是大学教学计划中的重要一环，线性代数本应该有责任帮助学生建立空间概念，但现有教法却弱化三维，过分强调N维空间，全是公式，没法画图，很不利于学生接受。•本书强调二、三维，使例子形象化，并使图形作为建立概念的重要工具。例如在三维空间中如何认识欠定方程组和超定方程组的解，如何认识和应用坐标变换、投影和QR分解等。N维概念主要用于解方程组，不是用于向量空间，这也是和传统教材的区别。不是说N维不重要，而是说要循序渐进，先感性积累，后理性抽象，一年级学N维太早了。（3）弱化欠定，加强超定。•欠定方程组是由于命题条件不足造成的，工程师可以拒绝处理，在强调解的唯一性的数学入门阶段，拿不出基础解的工程实例，学生很难理解其的意义，只有研究生的数学规划课程才也许有用，在此让大学新生花很多学时是太超前了。•超定方程则是工程上常见的问题，它来源于实践中不可避免的干扰和测量误差，而且正是数学家高斯提出的极漂亮的最小二乘解法，其证明又可加强向量空间概念。世界各国的教材都讲，只有我国的教材不讲，本书许多命题就不会解。“大讲欠定，不讲超定”是我国线性代数教学脱离工程的表现之一。（4）特征根只讲两阶,但讲复数根•特征根的意义和解法不讲高阶，只讲到两阶为止，但实数和复数根都要讲。实际上三阶及以上的特征根，多数老师都不会笔算，也没有一本教材讲它的求法。应该老老实实告诉学生，三阶以上系统的特征值问题，手工解是不行的，只有依靠计算机。高阶实二次型不但计算有难度，而且很难找其物理意义和几何模型，更谈不上工程应用。而复数特征根却是工程中很有用的。它是理解振动问题的基础，它是学生在日常经验中能够接受的。用最少理论解决最多实际问题•用最小的学习成本以获得最大的应用效果，这是本书取材的准则。这四项改革是针对以机电信控专业应用为目标的非数学系大学生和工程师提出的理论上的最低要求，不包括线性代数在更深层次和更高水平上的应用。此外本书力图用工程语言来叙述概念，从具体到抽象，尽量少用数学定义，多用图形等来证明，不过分强调严密。•微积分教材有两百年了，有深有浅，花样还多些；线性代数历史短，与工科远未磨合好，教材基本上都还是数学系的模式，很难适应不同的需求和口味，不利于普及，应该让各种非数学系的版本来调调味了。钱学森对工科数学改革的意见•钱学森先生在1989年写道：“今后对一个问题求解可以全部让电子计算机去干，不需要人去一点一点算。而直到今天，工科理科大学一二年级的数学课是构筑在人自己去算这一要求上的。所以理工科的数学课必须改革，数学课不是为了学生学会自己去求解，而是为了学生学会让电子计算机去求解，学会理解电子计算机给出的答案……”。线性代数是数值计算的基础，是最该率先使用计算机的，本书也在朝这个方面努力。希望与读者互动，在学习本书时最好手边有装了MATLAB的计算机。不同类型读者该如何使用本书•（1）本书首先是为有实践经验的工程师写的。二十多年来，我们已培养了几百万学过理论，但却没有实际使用过线性代数的大学毕业生。对于他们，可以完全从实用需要出发来补修，符合本书的写作意图。读者可以先翻翻第六章，看看和自己的领域相近的问题，线性代数和MATLAB是怎么解决的，觉得有意思了，再下决心把本书从头看起。因为书中讲理论只有前五章，篇幅和难度都不大。我们还准备了讲课的视频，既可用于继续教育，也便于读者下载自学，学习时最好手边有装了MATLAB的计算机。应用型专业如何使用本书•(2)不以考研为目标的普通大学本科可以拿本书作为教材，连附录中“MATLAB初步”，30学时应该可以拿下来，注意多加一些实践上机。对于学时更少的高专、高职专业，第四、五两章的部分内容也可省略，重点学会用计算机解线性方程组和坐标变换，就能解决后续课及工程中大量的常见实际问题。我国高等教育正面向职业教育转型的问题，要更多培养技术技能型的人，其关键是课程改革问题。本书正是为这一转型铺路的。考研大学生如何使用本书•（3）由于传统考研的命题方向许多正是本书删节的，本书所强化的反而是不考的题目，本书不宜作为考研为主的学生的基本教材。对于使用传统线性代数教材的读者，不妨拿本书作为参考书。因为书中各章讲法大都与传统书不同，理论上有不少争鸣的观点，特别是实践上能提供大量的感性概念和工程题解，有助于同学对理论理解的深化和实践能力的提高。程序集和教学资料的下载•本书的程序集名为“实用大众线性代数程序集”，现放在清华大学出版社的网站和作者的主页中，供读者自行下载。网址是：•西安电子科技大学出版社：•陈怀琛主页：•本书的第七章，标题是“在科技及工程中的应用实例”。它提供了难度更高的十多个例题。考虑到一般读者的共性需求没有那样高，不宜把书弄得太厚、太贵，我们决定把这一章的电子稿放在网上，供读者按各自的需要自行下载。作者联系方法•我的电子邮址是：[e-mail]@xidian.edu.cn•欢迎使用过本书的教师和同学提供批评和指正，我年事已高，不能参加第一线的教学活动。期待有青年教师接力，常和我联系，把这项改革进行下去！应用实例索引•1例1.8插值多项式4阶•2例1.9平板稳态温度的计算4阶•3例1.10交通流量的分析4阶•4例1.11化学方程的配平3阶•5例2.14成本核算问题3阶•6例2.15列乘行生成网格矩阵10×21阶•7例2.16Vander矩阵的生成4×4阶•8例2.17特殊矩阵的生成4阶•9例2.18图及其矩阵表述4阶•10例2.19网络的矩阵分割和连接2×2阶•11例2.20微分矩阵和积分矩阵3阶应用实例索引（续）•12例3.7用行列式判解的存在性n阶•13例3.8行列式为零时无逆阵3阶•14例3.9用行列式计算面积2阶•15例3.10特征行列式的计算2阶•16例4.7欠定方程解的几何意义2×3阶•17例4.8超定方程解的几何意义3×1阶•18例4.9超定方程解的几何意义3×2阶•19例4.6.1减肥配方的实现3阶•20例4.6.2三维空间中的平面方程3阶•21例4.6.3价格平衡模型3阶•22例4.6.4混凝土配料中的应用5阶应用实例索引（续）•23例5.1平面线性变换的几何意义2阶•24例5.2斜体字母生成2阶•25例5.3刚体平面运动3阶•26例5.5测量数据直线性判断4×2阶•27例5.6.1字母阴影投影的生成2阶•28例5.6.2雷达坐标系3阶•29例5.6.3人口迁徙模型2阶•30例5.6.4物料混合问题2阶•31例5.6.5单自由度机械振动2阶•32例6.1电阻电路的计算3阶•33例6.2交流稳态电路的计算3阶•34例6.3双杆系统的支撑反力6阶应用实例索引（续）•35例6.4双滑块动力学系统4阶•36例6.5信号流图和梅森公式3阶•37例6.6数字滤波器系统函数6阶•38例6.7空间五点共面的分析3×5阶•39例6.8.圆锥截面插值问题5阶•40例6.9舰载机测定甲板偏转角2阶•41例6.10坐标测量仪检验圆形7×3阶•42例6.11三角形运动连续化3阶•43例6.12控制系统结构图的化简5×5阶•44例6.13机械臂速度和雅可比矩阵2×2阶•45例