正弦定理典型例题与知识点

正弦定理教学重点：正弦定理教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用,边角转化。多解问题1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即Aasin=Bbsin=Ccsin2.三角形面积公式在任意斜△ABC当中S△ABC=AbcBacCabsin21sin21sin213.正弦定理的推论：Aasin=Bbsin=Ccsin=2R（R为△ABC外接圆半径）4.正弦定理解三角形1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角；2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。3）已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:（多解情况）○1若A为锐角时:)(ba),(babsinA)(bsinAasin锐角一解一钝一锐二解直角一解无解Abababababaa已知边a,b和A仅有一个解有两个解仅有一个解无解abCH=bsinAaba=CH=bsinAaCH=bsinAACBACB1ABACB2CHHH○2若A为直角或钝角时:)(ba锐角一解无解ba1、已知中，，，则角等于(D)A．B．C．D．2、ΔABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sinA=，b=sinB，则a等于(D)A．3B．C．D．1.在ABC中，若sin2sin2AB，则ABC一定是()A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、等腰或直角三角形解析：D[∵sin2sin22cos()sin()0,ABABAB∴,2ABAB或]3.在Rt△ABC中，C=2，则BAsinsin的最大值是_______________.[解析]∵在Rt△ABC中，C=2，∴sinsinsinsin()2ABAAsincosAA1sin22A，∵0,2A∴02,A∴4A时，BAsinsin取得最大值12。4.若ABC中，10103Bcos,21Atan，则角C的大小是__________解析1310101tan,cos,,sin,tan210103ABOBBBtantan3tantan()tan()1,tantan14ABCABABOCCAB7.在△ABC中，已知2abc，2sinsinsinABC，试判断△ABC的形状。解：由正弦定理2sinsinsinabcRABC得：sin2aAR，sin2bBR，sin2cCR。所以由2sinsinsinABC可得：2()222abcRRR，即：2abc。又已知2abc，所以224()abc，所以24()bcbc，即2()0bc，因而bc。故由2abc得：22abbb，ab。所以abc，△ABC为等边三角形。６．在ABC中，bAaBsinsin是BA成立的(C)Ａ．必要不充分条件Ｂ．充分不必要条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，b=6，B=120°,则a等于（）A.6B.2C.3D.2答案D3.下列判断中正确的是（）A.△ABC中，a=7，b=14，A=30°,有两解B.△ABC中，a=30,b=25,A=150°，有一解C.△ABC中，a=6,b=9，A=45°，有两解D.△ABC中，b=9,c=10,B=60°,无解答案B4.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC一定是（）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形答案B10.在△ABC中，已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c.解∵B=45°＜90°且asinB＜b＜a,∴△ABC有两解.由正弦定理得sinA=bBasin=245sin3=23,则A为60°或120°.①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°,c=BCbsinsin=45sin75sin2=45sin)3045sin(2=226.②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°,c=BCbsinsin=45sin15sin2=45sin)3045sin(2=226.故在△ABC中，A=60°,C=75°,c=226或A=120°,C=15°,c=226.12.在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.解方法一已知等式可化为a2［sin（A-B）-sin（A+B）］=b2［-sin（A+B）-sin(A-B)］∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA由正弦定理可知上式可化为：sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0∴sin2A=sin2B,由0＜2A,2B＜2得2A=2B或2A=-2B,即A=B或A=2-B,∴△ABC为等腰或直角三角形.方法二同方法一可得2a2cosAsinB=2b2sinAcosB由正、余弦定理,可得a2bbcacb2222=b2aacbca2222∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0∴a=b或a2+b2=c2∴△ABC为等腰或直角三角形.2．在△ABC中，已知∠B＝45°，c＝22，b＝433，则∠A等于()A．15°B．75°C．105°D．75°或15°解析：根据正弦定理csinC＝bsinB，sinC＝csinBb＝22×22433＝32.∴C＝60°或C＝120°，因此A＝75°或A＝15°.答案：D例1已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且32sinsinBA，求abb的值.解：∵23sinsin,sinsin,sinsinBAbaBABbAa又(这是角的关系)，∴23ba(这是边的关系)于是，由合比定理得.25223bba例2已知△ABC中，三边a、b、c所对的角分别是A、B、C，且a、b、c成等差数列求证：sinA＋sinC＝2sinB证明：∵a、b、c成等差数列，∴a＋c＝2b(这是边的关系)①又BAbaCcBbAasinsin,sinsinsin②BCbcsinsin③将②、③代入①，得bBCbBAb2sinsinsinsin整理得sinA＋sinC＝2sinB(这是角的关系