陕西省安康市2015届高考数学三模试卷(理科)

陕西省安康市2015届高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2，5}，B={2，3，5}，则（∁UA）∩B等于()A．{2，3}B．{2，5}C．{3}D．{2，3，5}2．已知1+i=，则在复平面内，复数z所对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知sin（）=则cos（x）等于()A．﹣B．﹣C．D．4．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，则b的值等于()A．B．1C．2D．45．已知向量=（1，2x），=（4，﹣x），则“x=”是“⊥”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：x24568y2040607080根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+a，则a的值等于()A．1B．1.5C．2D．2.57．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()A．90B．92C．98D．1048．在（+）12的展开式中，x项的系数为()A．CB．CC．CD．C9．如图，四边形ABCD为矩形，AB=，BC=1，以A为圆心，1为半径画圆，交线段AB于E，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率为()A．B．C．D．10．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内应填()A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？11．已知点A（0，2），抛物线C1：y2=ax（a＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则a的值等于()A．B．C．1D．412．已知直线y=kx与函数f（x）=的图象恰好有3个不同的公共点，则实数k的取值范围是()A．（﹣1，+∞）B．（0，﹣1）C．（﹣﹣1，﹣1）D．（﹣∞，﹣﹣1）∪（﹣1，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．计算：dx=__________．14．从1=1，1﹣4=﹣（1+2），1﹣4+9=1+2+3，1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4），…，推广到第n个等式为__________．15．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值__________．16．在斜三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则=__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{an}是公比大于1的等比数列，且a1=1，a3=9．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn=log3an+n+2，且b1+b2+…+bn≥80，求n的最小值．18．已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈[0，]．（1）当函数取得最大值时，求自变量x的值；（2）若方程f（x）﹣a=0有两个实数根，求a的取值范围．19．已知正方形ABCD的边长为1，AC∩BD=O，将正方形ABCD沿对角线折起，使AC=1，得到三棱锥A﹣BCD，如图所示．（1）求证：AO⊥平面BCD；（2）求平面ABC与平面BCD夹角的余弦值．20．某网站用“10分制”调查一社区人们的治安满意度，现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的治安满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）若治安满意度不低于9.5分，则称该人的治安满意度为“极安全”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极安全”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记X表示抽到“极安全”的人数，求X的分布列及数学期望．21．已知椭圆C：的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆O相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C与曲线|y|=kx（k＞0）的交点为A、B，求△OAB面积的最大值．22．已知函数f（x）=lnx﹣ax．（1）当a=1时，求f（x）的最大值；（2）试讨论函数y=f（x）的零点情况；（3）设ak，bk，…（k=1，2，…，n）均为正数，若a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn，求证：…≤1．陕西省安康市2015届高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2，5}，B={2，3，5}，则（∁UA）∩B等于()A．{2，3}B．{2，5}C．{3}D．{2，3，5}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：直接利用补集与交集的运算得答案．解答：解：∵U={1，2，3，4，5}，A={1，2，5}，∴∁UA={3，4}，又B={2，3，5}，∴（∁UA）∩B={3，4}∩{2，3，5}={3}．故选：C．点评：本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础的计算题．2．已知1+i=，则在复平面内，复数z所对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则和几何意义即可得出．解答：解：∵1+i=，∴z===在复平面内，复数z所对应的点在第一象限．故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则和几何意义，属于基础题．3．已知sin（）=则cos（x）等于()A．﹣B．﹣C．D．考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由诱导公式化简后即可求值．解答：解：cos（x）=sin[﹣（x）]=sin（﹣x）=．故选：D．点评：本题主要考察了诱导公式的应用，属于基础题．4．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，则b的值等于()A．B．1C．2D．4考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，可得=2，即可求出b的值．解答：解：∵双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，∴=2，∴b=2，故选：C．点评：本题考查双曲线的渐近线的方程，考查学生的计算能力，比较基础．5．已知向量=（1，2x），=（4，﹣x），则“x=”是“⊥”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：先求出⊥的充要条件是x=±，从而得到答案．解答：解：⊥⇒•=0⇒4﹣2x2=0⇒x=±，故x=±是⊥的充分不必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件的定义，考查了向量垂直的性质，是一道基础题．6．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：x24568y2040607080根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+a，则a的值等于()A．1B．1.5C．2D．2.5考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程求出a．解答：解：∵==5，==54∴这组数据的样本中心点是（5，54）把样本中心点代入回归直线方程=10.5x+a，∴54=10.5×5+a，∴a=1.5，故选：B．点评：本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()A．90B．92C．98D．104考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图知几何体为一四棱柱，且四棱柱的高为4，底面为直角梯形，直角梯形的直角腰为4，两底边长分别为2，5，求得另一腰长，把数据代入表面积公式计算．解答：解：由三视图知几何体为一四棱柱，且四棱柱的高为4，底面为直角梯形，直角梯形的直角腰为4，两底边长分别为2，5，另一腰长为=5；∴几何体的表面积S=S底面+S侧面=2××4+（2+4+5+5）×4=92．故选：B．点评：本题考查了由三视图求几何体的表面积，由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．8．在（+）12的展开式中，x项的系数为()A．CB．CC．CD．C考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得x的系数．解答：解：（+）12的展开式的通项公式为Tr+1=，令6﹣r=1，求得r=6，故x的系数为，故选：A．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．9．如图，四边形ABCD为矩形，AB=，BC=1，以A为圆心，1为半径画圆，交线段AB于E，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率为()A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意知本题是一个几何概型，由题意，试验包含的所有事件是∠BAD，而满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点，根据几何概型公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是∠BAD，如图，连接AC交弧DE于P，则tan∠CAB=，∴∠CAB=30°，满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点∴概率P==，故选：C．点评：本题考查了几何摡型知识，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．10．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内应填()A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当k=5时，根据题意此时满足条件，退出循环，输出S的值为57，从而即可判断．解答：解：执行程序框图，可得k=2，S=4；k=3，S=11；k=4，S=26；k=5，S=57；根据题意此时，满足条件，退出循环，输出S的值为57．故判断框内应填k＞4．故选：A．点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确得到退出循环时k，S的值是解题的关键，属于基础题．11．已知点A（0，2），抛物线C1：y2=ax（a＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则a的值等于()A．B．C．1D．4考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：作出M在准线上的射影，根据|KM|：|MN|确定|KN|：|KM|的值，进而列方程求得a．解答：解：依题意F点的坐标为（，0），设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，∴|KM|：|MN|=1：，则|KN|：|KM|=2：1，kFN==﹣，kFN=﹣=﹣2∴=2，求得a=4，故选D．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．抛物线中涉及焦半径的问题常利用抛物线的定义转化为点到准线的距离来解决．12．已知直线y=kx与函数f（x）=的图象恰好有3个不同的公共点，则实数k的取值范围是()A．（﹣1，+∞）B．（0，﹣1）C．（﹣﹣1，﹣1）D．（﹣∞，﹣﹣1）∪（﹣1，+∞）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：作直线y=kx与函数f（x）=的图象，结合图象，由排除法确定选项即可．解答：解：作直线y=kx与函数f（x）=的图象如下，由图象可知，k不可能是负数，故排除C，D；且k可以取到1，故排除B；故选A．点评：本题考查了函数的图象的作法及应用，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．计算：dx=6．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：找出被积函数的原函数，然后代入上下限，计算．解答：解：dx=3lnx|=3（lne2