瞬时变化率――导数(1)

高中数学选修２-２姓名：吴卫东邵艳郭红梅潘翠萍单位：江苏省泰兴中学放大放大问题情境问题一如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？问题二观察“点P附近的曲线”，随着图形放大，你看到了怎样的现象？问题三这种现象下，这么一条特殊位置的曲线从其趋势看几乎成了什么图形呢？探究结论从上面的图形变化过程来看：1）曲线在点P附近看上去几乎成了直线．2）继续放大，曲线在点P附近将逼近一条确定的直线l，这条直线是过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线．3）点P附近可以用这条直线代替曲线（即在很小范围内以直代曲）．深入探究：l1Ol2P如图所示，直线l1，l2为经过曲线上一点P的两条直线．问题一：试判断哪一条直线在点P附近更加逼近曲线；问题二：在点P附近能作出一条比l1，l2更加逼近曲线的直线l3吗？问题三：在点P附近还能作出比l1，l2，l3更加逼近曲线的直线吗？PQoxy割线切线l建构数学y＝f(x)如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，直线PQ称为曲线的割线.P为已知曲线C上的一点，如何求出点P处的切线方程？随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近逼近曲线C，当直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线．这种方法叫割线逼近切线.点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的yOxPQ试求f(x)=x2在点(2,4)处的切线斜率．y·OP24Qx数学运用：分析：设P(2，4)，Q(xQ，f(xQ))2()44222QQPQQQQfxxkxxx＋－－＝＝＝－－则割线PQ的斜率为当Q沿曲线逼近点P时，割线PQ逼近点P处的切线，从而割线斜率逼近切线斜率；当Q点横坐标无限趋近于P点横坐标时，即xQ无限趋近于2时，kPQ无限趋近于常数4．从而曲线f(x)＝x2在点(2，4)处的切线斜率为4．22(2)444Pxkxxxxx＋－＝＋＝＝＋Q2422QPQQQxkxx－＝－＝＋2Qxx令，－＝练习：试求f(x)＝x2＋1在x＝1处的切线斜率．2Qxx所以＝＋解：设P(2，4)，Q(xQ，xQ2)，则割线PQ的斜率为：当xQ无限趋近于2时，kPQ无限趋近于常数4，从而曲线f(x)＝x2在点(2，4)处的切线斜率为4．解：设P(2，4)，Q(2＋Δx，(2＋Δx)2)，则割线PQ的斜率为：当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数4，从而曲线f(x)＝x2在点(2，4)处的切线斜率为4．2[(1)1]222PQxkxxxxx2＋＋－＝＋＝＝＋练习：试求f(x)＝x2＋1在x=1处的切线斜率．当△x无限趋近于0时，割线逼近切线，割线斜率逼近切线斜率．找到定点P的坐标设出动点Q的坐标求出割线斜率解：由题意，设P(1，2)，Q(1＋Δx，(1＋Δx)2＋1)，则割线PQ斜率为当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数2，从而曲线f(x)＝x2＋1在点x＝1处的切线斜率为2．yxOy=f(x)xx0X0＋xPQf(x0+x)f(x0)切线割线P（x0,f(x0))Q(x0+△x,f(x0+△x))△x0时,点Q位于点P的右侧y=f(x)△x0时,点Q位于点P的左侧2.求出割线PQ的斜率，并化简.求曲线y=f(x)上一点P(x0,f(x0))处切线斜率的一般步骤：3.令Δx趋向于0，若上式中的割线斜率“逼近”一个常数，则其即为所求切线斜率．1.设曲线上另一点Q(x0+Δx,f(x0+Δx))M（即y)()00()PQfxxfxkx1．已知2)(xxf，求曲线)(xfy在1x处的切线斜率和切线方程；2．已知1)(xxf，求曲线)(xfy在1x处的切线斜率和切线方程；3．已知21)(xxf，求曲线)(xfy在21x处的切线斜率和切线方程．变式训练：课堂练习：已知xxf)(，求曲线)(xfy在21x处的切线斜率和切线方程．练习：1．曲线上一点P处的切线是过点P的所有直线中最接近P点附近曲线的直线，则P点处的变化趋势可以由该点处的切线反映(局部以直代曲)．2．根据定义，利用割线逼近切线的方法，可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程．割线PQP点处的切线Q无限逼近P时割线PQ的斜率P点处的切线斜率Q无限逼近P时Q无限逼近P时即区间长度趋向于0令横坐标无限接近函数在区间[xP，xQ](或[xQ，xP]）上的平均变化率P点处的瞬时变化率(导数)小结：