8.1平行四边形(1)证明(一),(二)回顾与思考

八年级数学(下)第八章证明(三)8.1.平行四边形(1)直观是把“双刃剑”直观是重要的,但它有时也会骗人,你还能找到这样的例子吗?回顾与思考1ab要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠经验,观察,或实验是不够的,必需一步一步,有根有据地进行推理.每个命题都由条件(condition)和结论(conclusion)两部分组成.条件是已知事项,结论是由已事项推断出的事项.一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.正确的命题称为真命题(truestatement),不正确的的命题称为假命题(falsestatement).要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例(counterexample).“原名”知多少定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义(definition).命题:判断一件事情的句子,叫做命题(statement).回顾与思考2原名:某些数学名词称为原名.公理:公认的真命题称为公理(axiom).证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明.定理:经过证明的真命题称为定理(theorem).推论:由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论(corollary).推论可以当作定理使用.“原名”知多少回顾与思考3公理:公认的真命题称为公理(axiom).证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明.定理:经过证明的真命题称为定理(theorem).本套教材选用如下命题作为公理:1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；3.两边夹角对应相等的两个三角形全等；4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；5.三边对应相等的两个三角形全等；6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.“原名”知多少回顾与思考4平行线的判定公理:同位角相等,两直线平行.∵∠1=∠2,∴a∥b.判定定理1:内错角相等,两直线平行.∵∠1=∠2,∴a∥b.判定定理2:同旁内角互补,两直线平行.∵∠1+∠2=180。,∴a∥b.abc21abc12abc12这里的结论,以后可以直接运用.回顾与思考5平行线的性质公理:两直线平行,同位角相等.∵a∥b,∴∠1=∠2.性质定理1:两直线平行,内错角相等.∵a∥b,∴∠1=∠2.性质定理2:两直线平行,同旁内角互补.∵a∥b,∴∠1+∠2=180。.abc21abc12abc12这里的结论,以后可以直接运用.回顾与思考6三角形内角和定理三角形内角和定理三角形三个内角的和等于1800.△ABC中，∠A+∠B+∠C=180。.∠A+∠B+∠C=180。的几种变形:∠A=180。–(∠B+∠C).∠B=180。–(∠A+∠C).∠C=180。–(∠A+∠B).∠A+∠B=180。-∠C.∠B+∠C=180。-∠A.∠A+∠C=180。-∠B.这里的结论,以后可以直接运用.回顾与思考7ABC三角形的外角三角形内角和定理的推论:推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.推论3:直角三角形的两锐角互余.△ABC中:∠1=∠2+∠3；∠1∠2，∠1∠3.ABCD1234这个结论以后可以直接运用.回顾与思考8驶向胜利的彼岸学好几何标志是会“证明”证明命题的一般步骤:(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证)(2)根据题意,画出图形；(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”；(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”.)；(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程；(6)检查表达过程是否正确,完善.回顾与思考9等腰三角形性质定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).如图,在△ABC中,∵AB=AC(已知),∴∠B=∠C(等角对等边).回顾与思考10ACB等腰三角形性质推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合(三线合一).回顾与思考11ACBD12如图,在△ABC中,∵AB=AC,∠1=∠2(已知).∴BD=CD,AD⊥BC（三线合一）.如图,在△ABC中,∵AB=AC,BD=CD(已知).∴∠1=∠2,AD⊥BC（三线合一）.如图,在△ABC中,∵AB=AC,AD⊥BC(已知).∴BD=CD,∠1=∠2（三线合一）轮换条件∠1=∠2,BD=CD,AD⊥BC可得三线合一的三种不同形式的运用.等腰三角形性质等边三角形的三个角都相等并且每个角都等于600.回顾与思考12如图,在△ABC中,∵AB=AC=BC(已知).∴∠A=∠B=∠C=600（等边三角形的三个角都相等并且每个角都等于600）.ACB等腰三角形性质等腰三角形两底角的平分线相等.等腰三角形两腰上的中线相等.等腰三角形两腰上的高相等.回顾与思考13如图,在△ABC中,∵AB=AC=BC(已知).∴∠A=∠B=∠C=600（等边三角形的三个角都相等并且每个角都等于600）.ACBD●1E●●2ACBACB等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.回顾与思考14在△ABC中∵∠B＝∠C（已知），∴AB=AC（等角对等边）.ACB反证法在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法(reductiontoabsurdity)回顾与思考15用反证法证明的一般步骤:1.假设:先假设命题的结论不成立；2.归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.等边三角形的判定定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.回顾与思考16在△ABC中,∵AB=AC,∠B=600(已知).∴△ABC是等边三角形(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形).ACB600等边三角形的判定定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.回顾与思考17在△ABC中,∵∠A=∠B=∠C(已知),∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).ACB600600600特殊的直角三角形的性质定理:在直角三角形中,如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.回顾与思考18ABC300在△ABC中,∵∠ACB=900,∠A=300.∴BC=AB.(在直角三角形中,300角所对的直角边等于斜边的一半).21特殊的直角三角形的性质定理:在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.回顾与思考19在△ABC中∵∠ACB=900,BC=AB/2(已知),∴∠A=300(在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300).ABC300勾股定理定理如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagorastheorem）.回顾与思考20在△ABC中∵∠ACB=900(已知),∴a2+b2=c2(直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方).acb勾弦股勾股定理的逆定理定理如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形.回顾与思考21在△ABC中∵AC2+BC2=AB2(已知),∴△ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形).acbABC(1)命题与逆命题定理与逆定理在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.回顾与思考22如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.直角三角形全等的判定定理定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL).回顾与思考23如图,在△ABC和△A′B′C′中,∠C=∠C′=900,∵AC=A′C′,AB=A′B′(已知),∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).ABCA′B′C′直角三角形全等的判定方法•直角三角形全等的判定方法:定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL).公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）.公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）.推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.•综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为:一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等；两边对应相等的两个直角三角形全等；切记!!!命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.即(SSA)是一个假冒产品!!!回顾与思考24线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.回顾与思考25如图,∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).ACBPMN线段垂直平分线的性质逆定理到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.回顾与思考26如图,∵PA=PB(已知),∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).ACBPMN三角形的外心定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.回顾与思考27如图,在△ABC中,∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线(已知),∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等).ABCPabc角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等.回顾与思考28如图,∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).OCB1A2PDE角平分线的性质逆定理在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.回顾与思考29如图,∵PA=PB,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).OCB1A2PDE三角形的内心定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.回顾与思考30如图,在△ABC中,∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC(已知),∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).ABCPMNDEF尺规作图尺规作图的基本作图:作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作线段的垂直平分线(或中点)；作已知角的平分线；已知三边,两边夹角,两角夹边,斜边直角边作三角形.回顾与思考31尺规作图的解题格式(六步骤):已知,求作,分析,作法,证明,讨论.知识的升华独立作业1、我们探索过的有关四边形的性质及判定,请把你记得的知识整理；2、试着用公理和已有的定理来证明它们.祝你成功！结束寄语•严格性之于数学家,犹如道德