8.1 基本概念―概率论与数理统计_王松桂、程维虎等_科学出版社

第八章假设检验第一节基本概念假设检验参数假设检验非参数假设检验这类问题称作假设检验问题.总体分布已知，检验关于未知参数的某个假设总体分布未知时的假设检验问题在本讲中，我们将讨论不同于参数估计的另一类重要的统计推断问题.这就是根据样本的信息检验关于总体的某个假设是否正确.让我们先看一个例子.这一讲我们讨论对参数的假设检验.某工厂生产10欧姆的电阻.根据以往生产的电阻实际情况,可以认为其电阻值X～N(,2),标准差σ=0.1.现在随机抽取10个电阻,测得它们的电阻值为:9.9,10.1,10.2,9.7,9.9,9.9,10,10.5,10.1,10.2.试问:从这些样本,我们能否认为该厂生产的电阻的平均值为10欧姆?例1(一)一个例子确定总体:记X为该厂生产的电阻的测量值.根据假设,X～N(,2),这里=0.1.明确任务:通过样本推断X的均值μ是否等于10欧姆.Hypothesis:上面的任务就是要通过样本去检验“X的均值μ=10”这样一个假设是否成立.(在数理统计中把“X的均值μ=10”这样一个待检验的假设记作“H0:μ=10”称为“原假设”或“零假设”问题怎么建立:原假设的对立面是“X的均值μ≠10”记作“H1:μ≠10”称为“对立假设”或“备择假设”.把它们合写在一起就是:H0:μ=10H1:μ≠10解决问题的思路分析:∵样本均值是μ的一个良好估计.∴如果μ=10,即原假设成立时,那么:应该比较小.反之,如果它过于大,那么想必是原假设不成立.的大小可以用来检验原假设是否成立.这里的问题是,我们如何确定常数c呢合理的思路是找出一个界限c,细致的分析:根据定理6.4.1,∵n=10=0.1时,我们就接受原假设H0,当而当时,我们就拒绝原假设H0.于是,当原假设H0:μ=10成立时,有:为确定常数c,现在我们考虑一个相当小的正数(理由下面讲).例如=0.05.于是,当原假设H0:μ=10成立时,有:我们就拒绝原假设H0:μ=10.我们就接受原假设H0:μ=10.现在我们就得到检验准则如下:用以上检验准则处理我们的问题.∴接受原假设H0:μ=10.我们的原假设是H0:μ=10由上面分析,当H0成立时,有:∵相当小.这就是说:如果H0这个假设是正确的话,检验统计量落入拒绝域就是一个发生的概率很小的事件.过去我们提到过,通常认为:小概率事件在一次试验中基本上是不会发生的.(我们把它称做实际推断原理.)(II)道理那么如果小概率事件发生了,即:我们就拒绝,这时我们说:“H0不成立.”下面我们指出这很符合人们的逻辑,实际上这种思维也叫:带概率性质的反证法通常的反证法设定一个假设以后,如果出现的事实与之矛盾,(即如果这个假设是正确的话,出现一个概率等于0的事件)则绝对地否定假设.带概率性质的反证法的逻辑是:即如果假设H0是正确的话,出现一个概率很小的事件,则以很大的把握否定假设H0.∵检验一个H0时是根据检验统计量来判决是否接受H0的,而检验统计量是随机的,这就有可能判决错误.这种错误有以下两类:H0事实上是正确的,但被我们拒绝了,称犯了“弃真”的(或称第一类)错误.H0事实上是不正确的,但被我们接受了,称犯了“采伪”的(或称第二类)错误.(III)两类错误与显著性水平假设检验的两类错误H0为真实际情况决定拒绝H0接受H0H0不真第一类错误正确正确第二类错误P{拒绝H0|H0为真}=,P{接受H0|H0不真}=.犯两类错误的概率:显著性水平为犯第一类错误的概率.由于检验统计量的随机性,所以无论犯以上哪类错误都是随机事件,从而都有一定的概率.当样本容量n固定,犯两类错误的概率就不能同时被控制.在统计学中,通常控制犯第一类错误的概率.一般事先选定一个数,(01),要求犯第一类错误的概率≤.称为假设检验的显著性水平,简称水平.由于犯第二类错误的概率的研究与计算超出了本书的范围,因此不作讨论.说明例1(续)分析该例的显著性水平我们就拒绝原假设H0:μ=10.现在让我们分析一下:取上述c后,如果假设H0是正确的,却被我们拒绝了,即犯第一类错误的概率是多少.可见此例我们用的检验方法犯第一类错误的概率等于.∴显著性水平等于.∵当原假设H0:μ=10成立时,有:分析:一般我们把显著性水平限定在一个比较小的值,通常=0.05或0.01.这样,如果H0是正确的这就是说:如果H0是正确的话,检验统计量落入拒绝域就是一个小概率事件.说明如果根据旧经验我们很相信H0是对的.要使人乐意放弃这个信念就要有十分过硬的依据,此时应取得很小.注如果根据旧经验我们很相信H0是对的.要使人乐意放弃这个信念就要有十分过硬的依据,此时应取得很小.