线性代数二次型习题及答案

·107·第六章二次型1．设方阵1A与1B合同，2A与2B合同，证明12AA与12BB合同.证：因为1A与1B合同，所以存在可逆矩1C，使T1111BCAC，因为2A与2B合同，所以存在可逆矩2C，使T2222BCAC.令12CCC，则C可逆，于是有TT1111111T2222222BCACCACBCACCAC1T2ACCA即12AA与12BB合同.2．设A对称，B与A合同，则B对称证：由A对称，故TAA.因B与A合同，所以存在可逆矩阵C，使TBCAC，于是TTTTTT()BCACCACCACB即B为对称矩阵.3．设A是n阶正定矩阵，B为n阶实对称矩阵，证明：存在n阶可逆矩阵P，使BPPAPPTT与均为对角阵.证：因为A是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M，使EAMMT记T1BMBM，则显然1B是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q，使T11diag(,,)nDQBQT11,,.nBMBM其中为的特征值令P=MQ，则有DBPPEAPPTT,,AB同时合同对角阵.4．设二次型2111()miinnifaxax，令()ijmnaA，则二次型f的秩等于()rA.证：方法一将二次型f写成如下形式：2111()miijjinnifaxaxax设Ai=1(,,,,)iijinaaa),,1(mi·108·则1111111jniijinimmjmjmaaaaaaaaaAAAA于是1TTTTT11(,,,,)mimiiiimAAAAAAAAAA故2111()miijjinnifaxaxax=1211[(,,)]imjnijiinaxxxaa=11111[(,,)(,,)]imjnijiijinjiinnaxxxxaaaaxax=1T11(,,)()mjniijinxxxxxxAA=XT(ATA)X因为AAT为对称矩阵，所以AAT就是所求的二次型f的表示矩阵．显然r(AAT)=r(A)，故二次型f的秩为r(A)．方法二设11,1,,iiinnyaxaxin.记T1(,,)myyY，于是YAX，其中T1(,,)nxxX，则222TTT11()mimifyyyYYXAAX.因为AAT为对称矩阵，所以AAT就是所求的二次型f的表示矩阵．显然r(AAT)=r(A)，故二次型f的秩为r(A)．5．设A为实对称可逆阵，TfxxA为实二次型，则A为正交阵可用正交变换将f化成规范形.证：设i是A的任意的特征值，因为A是实对称可逆矩阵，所以i是实数，且0,1,,iin.因为A是实对称矩阵，故存在正交矩阵P，在正交变换XPY下，f化为标准形，·109·即TTTTT1()diag(,,,,)infXAXYPAPYYDYYY22211iinnyyy（*）因为A是正交矩阵，显然T1diag(,,,,)inDPAP也是正交矩阵，由D为对角实矩阵，故21i即知i只能是1或1，这表明（*）恰为规范形.因为A为实对称可逆矩阵，故二次型f的秩为n.设在正交变换XQY下二次型f化成规范形，于是TT()fXAXYQAQY222211rrnyyyyTYDY其中r为f的正惯性指数，diag(1,,1,1,,1)D.显然D是正交矩阵，由TDQAQ，故TAQDQ，且有TTAAAAE，故A是正交矩阵.6．设A为实对称阵，||0A，则存在非零列向量ξ，使T0ξAξ.证：方法一因为A为实对称阵，所以可逆矩阵P，使T1diag(,,,,)inPAPD其中(1,,)iin是A的特征值，由||0A，故至少存在一个特征值k，使0k，取010ξP，则有TT0(0,,1,,0)10ξAξPAP1(0,,1,0,0)kn0100k方法二（反证法）若X0，都有T0XAX，由A为实对称阵，则A为半正定矩阵，故||0A与||0A矛盾.7．设n元实二次型AXXTf，证明f在条件122221nxxx下的最大值恰为方阵A的最大特征值．解：设fn是,,,21的特征值，则存在正交变换XPY，使2222211TTT)(nnyyyfYAPPYAXX设k是n,,,21中最大者，当122221TnxxxXX时，有·110·122221TTTTnyyyYYPYPYXX因此knknnyyyyyyf)(222212222211这说明在22221nxxx=1的条件下f的最大值不超过k．设TT10)0.,0,1,0,,0(),,,,(nkyyyY则10T0YYknnkkyyyyf22222211令00PYX，则1T00T0YYXX并且kf0TT00T00)()(YAPPYAXXX这说明f在0X达到k，即f在122221nxxx条件下的最大值恰为方阵A的最大特征值．8．设A正定，P可逆，则TPAP正定.证：因为A正定，所以存在可逆矩阵Q，使TAQQ，于是TTTT()PAPPQQPQPQP，显然QP为可逆矩阵，且TTTT()()PAPQPQPPAP，即TPAP是实对称阵，故TPAP正定.9．设A为实对称矩阵，则A可逆的充分必要条件为存在实矩阵B，使AB+ABT正定．证：先证必要性取1BA，因为A为实对称矩阵，则2EAAEABABT1T)(当然ABABT是正定矩阵．再证充分性，用反证法．若A不是可逆阵，则r（A）n，于是存在00,XAX使00因为A是实对称矩阵，B是实矩阵，于是有0)()()(0TT00T00TT0AXBXBXAXXABABX这与ABTABBA是正定矩阵矛盾．10．设A为正定阵，则2*13AAA仍为正定阵.证：因为A是正定阵，故A为实对称阵，且A的特征值全大于零，易见2*1,,AAA全是实对称矩阵，且它们的特征值全大于零，故2*1,,AAA全是正定矩阵，2*13AAA为实对称阵.对X0，有T2*1T2T*T1(3)0XAAAXXAXXAXXAX·111·即2*13AAA的正定矩阵.11．设A正定，B为半正定，则AB正定.证：显然,AB为实对称阵，故AB为实对称阵.对X0，T0XAX，T0XBX，因T()0XABX，故AB为正定矩阵.12．设n阶实对称阵,AB的特征值全大于0，A的特征向量都是B的特征向量，则AB正定.证：设,AB的特征值分别为,(1,,)iiin.由题设知0,0,1,,iiin.因为A是实对称矩阵，所以存在正交矩阵1(,,,,)inPPPP，使T1diag(,,,,)inPAP即,iiiiAPPP为A的特征向量，1,,in.由已知条件iP也是B的特征向量，故1,,,iiiiinBPP因此()iiiiiiABPAPP，这说明ii是AB的特征值，且0ii，1,,in.又因为T111diag(,,,,),iinnABPPPP.故11diag(,,,,)iinnABPP，显然AB为实对称阵，因此AB为正定矩阵.13．设nnija)(A为正定矩阵，nbbb,,,21为非零实数，记()ijijnnabbB则方阵B为正定矩阵．证：方法一因为A是正定矩阵，故A为对称矩阵，即jiijaa，所以ijjijiijbbabba，这说明B是对称矩阵，显然211112121122121222221121nnnnnnnnnnnnababbabbabbababbabbabbabbB=1111110000nnnnnnaabbbaab对任给的n维向量1(,,)T0nxxX，因nbbb,,,21为非零实数，所以),,(11nnxbxbT0，又因为A是正定矩阵，因此有1111110000TTnnnnnnaabbbaabXBXXX=),,(11nnxbxb1111nnnnaaaa11nnbxbx0即B是正定矩阵．·112·方法二记211112121122121222221121nnnnnnnnnnnnababbabbabbababbabbabbabbB则因为A是实对称矩阵，显然B是实对称矩阵，B的k阶顺序主子阵kB可由A的阶顺序主子阵分别左，右相乘对角阵100nbb而得到，即kB1111110000kkkkkkaabbbaab计算kB的行列式，有012kkABniib故由正定矩阵的等价命题知结论正确．14．设A为正定矩阵，B为实反对称矩阵，则0BA.证：因为M是n阶实矩阵，所以它的特征值若是复数，则必然以共轭复数形式成对出现；将M的特征值及特征向量写成复数形式，进一步可以证明对于n阶实矩阵M，如果对任意非零列向量X，均有0TMXX可推出M的特征值(或者其实部)大于零．由于M的行列式等于它的特征值之积，故必有0M．因为A是正定矩阵，B是反对称矩阵，显然对任意的非零向量X，均有,0)(TXBAX而A+B显然是实矩阵，故0BA.15．设A是n阶正定矩阵，B为nm矩阵，则r(BTAB)=r(B)．证：考虑线性方程组T00BXBABX与，显然线性方程组0BXT0BABX的解一定是的解．考虑线性方程组T0BABX，若0X是线性方程组T0BABX的任一解，因此有0T0BABX．上式两端左乘有T0XT00()()0BXABX·113·因为A是正定矩阵，因此必有00BX，故线性方程组0BX与T0BABX是同解方程组，所以必有r(BTAB)=r(B).16．设A为实对称阵，则存在实数k，使||0kAE.证：因为A为实对称阵，则存在正交矩阵P，使11diag(,,,,)iiPAP.其中i为A的特征值，且为实数，1,,2i.于是11diag(,,,,)inAPP11||||||inkkkkAEPP1()niik取1max{||1}iink，则1()0niik，故||0kAE.17．设A为n阶正定阵，则对任意实数0k，均有||nkkAE.证：因为A为正定矩阵，故A为实对称阵，且A的特征值0,1,,iin.则存在正交矩阵P，使1111,iinnPAPAPP于是对任意0k，有11||||||inkkkkAEPP1()niik1niknk.18．设A为半正定阵，则对任意实数0k，均有||0kAE.证：因为A为半正定矩阵，故A为实对称矩阵，且A的特征值0i，1,,in.则存在正交矩阵P，使11diag(,,,,)inPAP，11diag(,,,,)inAPP于是对任意0k