浙教版数学-九年级上册教案：二次函数图像及其性质

-1-博途教育学科教师辅导讲义(一）学员姓名:年级：九年级日期：辅导科目：数学学科教师：刘云丰时间：课题九上第五讲：二次函数图像及其性质授课日期教学目标1、经历将二次函数图象平移的过程；理解函数图象平移的意义；2、了解kmxaymxayaxy222)(,)(,三类二次函数图象之间的关系。教学内容二次函数图像及其性质〖教学重点与难点〗◆教学重点：从图象的平移的角度来认识kmxay2)(型二次函数的图象特征。◆教学难点：对于平移变换的理解和确定。〖教学过程〗[来源:Zxxk.Com]一、复习巩固二次函数y=ax²的图象及其特点1.顶点坐标（0，0）2.对称轴是y轴3.一般地，二次函数y=ax²（a≠0）的图象是一条抛物线；当a0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；抛物线在x轴的上方（除顶点外）。当a0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点。抛物线在x轴的下方（除顶点外）。二、探究新知1、用描点法在同一坐标系中作出二次函数222)2(21)2(2121xyxyxy2)2(21xy221xy2)2(21xy-2-请比较所画三个函数的图象,它们有什么共同的特征?请你总结二次函数y=a(x+m)2的图象和性质.2002)mxayaxymmmm（个单位时，向左平移个单位时，向右平移对称轴是x=-m；顶点坐标是（-m,0）2、练一练抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2y=-3(x-1)2y=-4(x-3)23、填空：（1）由抛物线y=2x²向平移个单位可得到y=2(x+1)2（2）函数y=-5(x-4)2的图象可以由抛物线向平移4个单位而得到的。三、合作学习1、用描点法在同一直角坐标系中画出函数2)2(21xy，3)2(212xy的图象2、探究：由2)2(21xy图象经过怎样平移得到3)2(212xykmxaymxaymxayaxykkkkmmmm20022002)))（（（个单位时，向上平移个单位时，向下平移个单位时，向左平移个单位时，向右平移顶点坐标：（0,0）——（-m,0）——(-m,k)对称轴是x=-m3、巩固练习：-3-（1）指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：222222)9(432)4(5.05)2(2143)1(5.25)3(2xyxyxyxyxyxy（2）由抛物线y=2x²向平移个单位,再向平移个单位可得到y=2(x+1)2–3（3）函数y=3(x-2)2+21的图象可以由抛物线向平移个单位，再向平移个单位而得到的。4、能力提高(1)如果抛物线khxy2)(21的顶点坐标是（-1，5）则它的对称轴是，h=,k=.(2)如果一条抛物线的形状与2312xy的形状相同，且顶点坐标是（4，-2）则函数关系式是。四、二次函数2(0)yaxbxca的图像对于2(0)yaxbxca可以通过配方法进行变形，得到224()24bacbyaxaa，即得到形如2()yaxmk的解析式，这里2bma，244acbka，所以二次函数2(0)yaxbxca与2yax(0)a的图像形状，开口方向都是一样的，只是位置不同，可以通过平移得到。图像的特点：二次函数2(0)yaxbxca是一条抛物线，它的对称轴是直线2bxa，顶点坐标是24(,)24bacbaa，当0a时，该顶点是抛物线上的_________;当0a时，该顶点是抛物线上的___________1.二次函数的图象-4-在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+b2a)2+4a24ac-b的形式,先确定顶点(-b2a,4a24ac-b),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标.2.理解二次函数的性质抛物线的开口方向由a的符号来确定,当a0时,在对称轴左侧y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;简记左减右增,这时当x=-b2a时,y最小值=4a24ac-b;反之当a0时,简记左增右减,当x=-b2a时y最大值=4a24ac-b.3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法一般地,在所给的三个条件是任意三点(或任意三对x,y的值)可设解析式为y=ax2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解;在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设解析式为y=a(x-h)2+k;在所给条件中已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标和对称轴,则可设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)来求解.4.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2+bx+c当y=0时抛物线便转化为一元二次方程ax2+bx+c=0,即抛物线与x轴有两个交点时,方程ax2+bx+c=0有两个不相等实根;当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个交点,方程ax2+bx+c=0有两个相等实根;当抛物线y=ax2+bx+c与x轴无交点,方程ax2+bx+c=0无实根.5.抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c符号的确定a的符号由抛物线开口方向决定,当a0时,抛物线开口向上;当a0时,抛物线开口向下;c的符号由抛物线与y轴交点的纵坐标决定.当c0时,抛物线交y轴于正半轴;当c0时,抛物线交y轴于负半轴;b的符号由对称轴来决定.当对称轴在y轴左侧时,b的符号与a的符号相同;当对称轴在y轴右侧时,b的符号与a的符号相反;简记左同右异.-5-五、二次函数的解析式三种形式一般式y=ax2+bx+c(a≠0)顶点式2()yaxhk224()24bacbyaxaa交点式12()()yaxxxx六、典型例题例1y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则点M(a,bc)在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析:由图可知:抛物线开口向上a0.002ycbxyba抛物线与轴负半轴相交对称轴在轴右侧bc0.∴点M(a,bc)在第一象限.例2已知一次函数y=ax+c二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是().解:可用排除法,设当a0时,二次函数y=ax2+bx+c的开口向上,而一次函数y=ax+c应过一、三象限,故排除C;当a0时,用同样方法可排除A;c决定直线与y轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y轴交点,本题中c相同则两函数图象在y轴上有相同的交点,故排除B.11Oxy-6-例3对于反比例函数y=-2x与二次函数y=-x2+3,请说出他们的两个相同点:①_________,②_________;再说出它们的两个不同点:①________,②_________.解:相同点:①图象都是曲线,②都经过(-1,2)或都经过(2,-1);七、课堂小结回顾一下，这节课我们学习了哪些内容了，你掌握了多少呢？八、课后练习一、选择题1.抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是().A.直线x=-3B.直线x=3C.直线x=-2D.直线x=22.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点M(b,ca)在().A.第一象限;B.第二象限;C.第三象限;D.第四象限3.已知二次函数y=ax2+bx+c,且a0,a-b+c0,则一定有().A.b2-4ac0B.b2-4ac=0C.b2-4ac0D.b2-4ac≤04.把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有().A.b=3,c=7B.b=-9,c=-15C.b=3,c=3D.b=-9,c=215.在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为().-7-6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点P的横坐标是4,图象交x轴于点A(m,0)和点B,且m4,那么AB的长是().A.4+mB.mC.2m-8D.8-2m二、填空题1.若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式,则y=_______.2.请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的一个共同性质_______.3.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_________.4.已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_________.5.已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=_____.6.有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点:甲:对称轴是直线x=4;乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数;丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:三、解答题1.已知函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2).(1)求这个函数的解析式;(2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标;(3)当x0时,求使y≥2的x取值范围.-8-2.已知抛物线y=-12x2+(6-2m)x+m-3与x轴有A、B两个交点,且A、B两点关于y轴对称.(1)求m的值;(2)写出抛物线解析式及顶点坐标;(3)根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来.3.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点,与y轴交于A点.(1)根据图象确定a、b、c的符号,并说明理由;(2)如果点A的坐标为(0,-3),∠ABC=45°,∠ACB=60°,求这个二次函数的解析式.-9-基础达标验收卷一、1.D2.D3.A4.A5.B6.C二、1.(x-1)2+22.图象都是抛物线或开口向上或都具有最低点(最小值)3.y=-12x2+2x+524.如y=-x2+15.16.y=15x2-85x+3或y=-15x2+85x-3或y=-17x2-87x+1或y=-17x2+87x-1三、1.解:(1)∵函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2),∴9+3b-1=2,解得b=-2.∴函数解析式为y=x2-2x-1.(2)y=x2-2x-1=(x-1)2-2.图象略.图象的顶点坐标为(1,-2).(3)当x=3时,y=2,根据图象知,当x≥3时,y≥2.∴当x0时,使y≥2的x的取值范围是x≥3.2.(1)设A(x1,0)B(x2,0).∵A、B两点关于y轴对称.∴12120,0.xxxx∴22(6)0,2(3)0.mm解得m=6.(2)求得y=-12x2+3.顶点坐标是(0,3)(3)方程-12x2+(6-2m)x+m-3=0的两根互为相反数(或两根之和为零等).3.解:(1)符合条件的抛物线还有5条,分别如下:①抛物线AEC;②抛物线CBE;③抛物线DEB;④抛物线DEC;⑤抛物线DBC.(2)在(1)中存在抛物线DBC,它与直线AE不相交.设抛物线DBC的解析式为y=ax2+bx+c.-10-将D(-2,92),B(1,0),C(4,0)三点坐标分别代入,得942,20,164.abcabcabc解这个方程组,得a=14,b=-54,c=1.∴抛物线DBC的解析式为y=14x2-54x+1.【另法:设抛物线为y=a(x-1)(x-4),代入D(-2,92),得a=14也可.】又将直线AE的解析式为y=mx+n.将A(-2,0),E(0,-6)两点坐标分别代入,得20,6.mnn解这个方程组,得m=-3,n=-6.∴直线AE的解析式为y=-3x-6.