指数与指数函数课件

第二章函数第二章第四节指数与指数函数基础梳理导学思想方法技巧课堂巩固训练4考点典例讲练3课后强化作业5基础梳理导学重点难点引领方向重点：1.指数幂的运算法则．2．指数函数的概念、图象与性质．难点：1.根式与分数指数幂的运算．2．a1与0a1时，指数函数图象、性质的区别．3．指数函数图象与性质的应用和简单指数方程、不等式的求解．夯实基础稳固根基1．整数指数幂的运算性质(1)am·an＝，(am)n＝，(a·b)n＝.(m、n∈Z)am＋nam·nan·bn(2)xn＝a，(n∈N，n1)⇔x＝na，n为奇数，x＝±naa0，n为偶数.(na)n＝；a2＝；nan＝，n为奇数，，n为偶数.a|a|a|a|(3)分数指数幂amn＝nam；a－mn＝1amn＝1nam.(a0，m，n∈N，且n1)(4)指数幂的运算性质ar·as＝ar＋s，(ar)s＝ar·s，(a·b)r＝ar·br.(a0，b0，r，s∈R)2．指数函数的图象和性质指数函数定义y＝ax(a0，a≠1)图象指数函数(1)定义域：R(2)值域：(0，＋∞)(3)过(0,1)点，即x＝0时，y＝1.(4)当a1时，在R上是增函数；当0a1时，在R上是减函数．x0x0a1y10y1性质0a10y1y1疑难误区点拨警示1．忽视底数a1与0a1时性质的区别及函数的值域致误．解题的每一步要等价转化．2．比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相等．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．3．用换元法解题时，要注意“新元”的取值范围．思想方法技巧一、数形结合的思想有关幂值大小的比较，指数型函数的问题，借助于图象来求解常能起到事半功倍的效果．[例1]比较233与3432的大小．解析：在同一直角坐标系中作出函数y＝49x与y＝34x的图象，考察x＝32时y值大小，∵4934，∴49323432，∴2333432.二、分类讨论的思想[例2]函数f(x)＝ax(a0且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a3，则a的值为________．解析：0a1时，f(x)＝ax在[1,2]上单调递减，∴a－a2＝a3，∴a＝23；a1时，f(x)＝ax单调递增，∴a2－a＝a3，∴a＝43.答案：43或23三、解题技巧1．比较一组幂式、对数式形式的数的大小时，一般先区分正、负(与0比)；正数再与1比较，找出大于1的和小于1的；底数相同的幂式，用指数函数的单调性；底数相同的对数式用对数函数的单调性；指数相同的幂式用幂函数的单调性或指数函数的图象；真数相同的对数式用对数函数的图象；底数不同、指数也不同的幂式或底数不同、真数也不同的对数式可引入中间量转化或化成同底，另外要注意指对互化的灵活运用．2．在指数里含有未知数的方程的解法．(1)形如af(x)＝ag(x)(a0，a≠1)的方程，化为f(x)＝g(x)求解；(2)形如af(x)＝bg(x)(a0，b0，a≠1，b≠1)的方程，两边取对数；(3)形如a2x＋b·ax＋c＝0的方程，用换元法令ax＝t化为二次方程求解．考点典例讲练[例1](1)化简：a－4b23ab2(a0，b0)；(2)已知a12＋a－12＝3，求a＋a－1，a2＋a－2的值．指数幂的运算解析：(2)(a12＋a－12)2＝a＋2＋a－1＝9，所以a＋a－1＝7，(a＋a－1)2＝a2＋2＋a－2＝49，所以a2＋a－2＝47.点评：(1)有理指数幂的运算，一般是小数化成分数，根式化成分数指数幂进行．(2)对于条件求值问题，一般先把条件式或待求式化简变形，找出已知与未知的联系后代入求值．计算：[(338)－23－(549)0.5＋(0.008)－23÷(0.02)－12×(0.32)12]÷0.06250.25＝________.解析：原式＝[(827)23－(499)12＋12523÷5012×(1650)12]÷(0.54)14＝[49－73＋25×150×450]÷12＝29.答案：29[例2](文)(2011·杭州月考)函数y＝a|x|(a1)的图象是()指数函数的图象解析：y＝a|x|＝axx≥0a－xx0，当x≥0时，与指数函数y＝ax(a1)的图象相同；当x0时，y＝a－x与y＝ax的图象关于y轴对称，由此判断B正确．答案：B点评：一般地，非基本初等函数的图象与性质的讨论，先化归为基本初等函数来解决．(理)已知函数y＝loga(x＋1)的图象如图所示，则函数y＝a1－x的图象大致是()解析：由y＝loga(x＋1)的图象知，函数y＝loga(x＋1)为减函数，∴0a1，∴y＝a1－x＝(1a)x－1是增函数，且当x＝1时，y＝1，x＝0时，y＝a1，故选A.答案：A(2011·济南模拟)定义运算a⊗b＝aa≤bbab，则函数f(x)＝1⊗2x的图象大致为()解析：由a⊗b＝aa≤b，bab，得f(x)＝1⊗2x＝2xx≤0，1x0.答案：A[例3]已知log32blog32alog32c，则()A．(12)b(12)a(12)cB．(12)a(12)b(12)cC．(12)c(12)b(12)aD．(12)c(12)a(12)b指数函数的单调性与值域分析：可先由对数函数y＝log32x的单调性得出a、b、c的大小，再由y＝(12)x的单调性得出结论．解析：∵y＝log32x为增函数，log32blog32alog32c∴bac又y＝(12)x为减函数∴(12)b(12)a(12)c故选A.答案：A设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝12－1.5，则()A．y3y1y2B．y2y1y3C．y1y2y3D．y1y3y2解析：y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5，∵y＝2x在R上是单调递增函数，∴y1y3y2.∴选D.答案：D[例4]已知函数y＝12|x＋2|.(1)作出图象；(2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出，当x取什么值时函数取到最值？指数型函数的性质解析：(1)∵y＝12|x＋2|＝12x＋2x≥－2，2x＋2x－2.∴可作出其图象如图．(2)由图象可见，单调增区间为(－∞，－2]，单调减区间为(－2，＋∞)(3)x＝－2时，函数有最大值，没有最小值．点评：函数y＝12|x＋2|的图象可视作函数y＝12|x|的图象向左平移2个单位得到的，又y＝12|x|＝12xx≥0，2xx0.∴其图象如图．(文)若函数f(x)＝a|2x－4|(a0，a≠1)，满足f(1)＝19，则f(x)的递减区间是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]解析：∵f(1)＝19，∴a2＝19，∵a0且a≠1，∴a＝13，∴f(x)＝(13)|2x－4|，∵t＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，y＝(13)t为减函数，∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减．答案：B(理)(2011·宜昌一模)已知y＝f(x＋1)是定义在R上的偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)＝2x，设a＝f(12)，b＝f(43)，c＝f(1)，则a、b、c的大小关系为()A．acbB．cbaC．bcaD．cab解析：∵y＝f(x＋1)是偶函数，y＝f(x＋1)的图象可由y＝f(x)的图象向左平移1个单位得到，∴y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(12)＝f(32)，∵x∈[1,2]时，f(x)＝2x为增函数．∴f(1)f(43)f(32)，∴cba.答案：B[例5](文)(2011·银川模拟)如果函数y＝a2x＋2ax－1(a0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．分析：此函数关于ax是二次函数，令t＝ax作换元，则由x∈[－1,1]可求得t的取值范围，通过配方利用二次函数的单调性可求得其最大值，令其最大值等于14即可求得a的值．指数函数的综合问题解析：令t＝ax，则y＝t2＋2t－1，对称轴方程为t＝－1，若a1，∵x∈[－1,1]，∴t＝ax∈1a，a，y最大值＝a2＋2a－1＝14，∵a0，∴a＝3.若0a1，∵x∈[－1,1]，∴t＝ax∈a，1a，y最大值＝1a2＋21a－1＝14，∵0a1，∴a＝13，∴a＝3或13.(理)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量且a0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．(1)试确定f(x)；(2)若不等式(1a)x＋(1b)x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．解析：(1)∵f(x)＝b·ax的图象过点A(1,6)，B(3,24)，∴b·a＝6，①b·a3＝24，②②÷①得a2＝4，又a0，且a≠1，∴a＝2，b＝3，∴f(x)＝3·2x.(2)由(1)知a＝2，b＝3，∴(1a)x＋(1b)x－m≥0在(－∞，1]上恒成立，即m≤(12)x＋(13)x在(－∞，1]上恒成立．令g(x)＝(12)x＋(13)x，则g(x)在(－∞，1]上单调递减，∴m≤g(x)min＝g(1)＝12＋13＝56，故所求实数m的取值范围是(－∞，56]．(2012·山东实验中学月考)设函数f(x)＝1＋ax＋ma2x，其中a0且a≠1，m∈R.(1)若a＝12，m＝1，请用定义证明f(x)单调递减；(2)若a＝2，∀x≤1恒有f(x)0，求m的取值范围．解析：(1)由条件知f(x)＝1＋(12)x＋(12)2x，设x1、x2∈R且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝(12)x1－(12)x2＋(14)x1－(14)x2＝(12)x1[1－(12)x2－x1]＋(14)x1[1－(14)x2－x1]，∵x2x1，∴x2－x10，∴(12)x2－x11，(14)x2－x11，∴1－(12)x2－x10,1－(14)x2－x10，∴f(x1)－f(x2)0，∴f(x1)f(x2)，∴f(x)在R上为单调递减函数．(2)a＝2时，f(x)＝1＋2x＋m·4x，∵x≤1，∴02x≤2，∴(12)x≥12，f(x)0，即1＋2x＋m·4x0，∴m－1＋2x4x＝－(12)2x－(12)x，令t＝(12)x，则t≥12，由条件知m－t2－t(t≥12)恒成立，∵t≥12时，－t2－t＝－(t＋12)2＋14≤－34，∴m－34.课堂巩固训练一、选择题1．(文)(2011·河北石家庄一模)若A＝{x∈R||x|2}，B＝{x∈R|3x1}，则A∩B等于()A．(－2,2)B．(－2,1)C．(0,2)D．(－2,0)[答案]D[解析]A＝{x|－2x2}，B＝{x|x0}，则A∩B＝{x|－2x0}．(理)若0ab12，则()A．2ab2aB．2ab2bC．log2(ab)－1D．log2(ab)－2[答案]D[解析]易知y＝2x在R上单调递增，y＝log2x在R＋上单调递增，故2ab2a,2ab2b，log2(ab)log2122＝－2，故选D.2．(2011·湖北理，6)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a0，且a≠1)，若g(2)＝a，则f(2)＝()A．2B.154C.174D．a2[答案]B[解析]∵