圆锥曲线综合高考实战篇圆锥曲线实用讲义

1前言编者编写本书的初衷是以学生为中心，实用性优先，没有花里胡哨的冗杂结论。本书筛选了2010-2018年的各地高考圆锥曲线大题并适当归类讲解，删去了思维跨度大，计算量极高的题，总计一百余题。考虑到高中生学习繁忙，编者尽可能的将本书压缩到了一百余页，并结合丰富的举例，偏向于去教学生怎么思考，往哪个方向思考，怎么去分析思路，并予以启发。不建议基础知识不牢且计算功底弱的学生看这本书，否则效果适得其反。如果连一些基本算理都搞不清的话，则是开卷无益。本书前半部分的讲解足以解决后半部分的习题，所以后半部分则以题目为主，部分内容借鉴了网上公开的免费视频与免费文档，对其分享的思路表示非常感谢！另外，编者对于圆锥曲线的第二第三定义及其衍生的结论并没有去细致讲解，请同学们依据课本自行完善。由于本书核心部分来自孙斌老师。我做二次处理而成，加入了答案和少量自己的见解。如有疏漏与错误，还请包涵与指正。QQ:21113823湖北省广水实高李大丹目录第一章题目信息转化为坐标表达/21.1距离公式与弦长公式/31.2题目核心条件转化为坐标/91.3转化为坐标后，怎么处理/16第二章获得点的坐标解决问题/252.1通过表示点的坐标解决问题/252.2怎么获取点的坐标/262.3设点与设直线结合起来/41第三章定点定值/493.1什么样的直线过定点/493.2怎么解决直线过定点/503.3圆过定点与定值举例/58第四章优化计算/604.1反设直线/604.2简化运算的技巧/63第五章面积与最值/665.1三角形的面积表达/665.2求最值之变量化一/775.3求最值之均值不等式/795.4求最值之借助导数/83第六章切线/86第七章轨迹方程/98第八章借助几何分析解决问题/108第九章探索类问题/136第十章对称问题/143第十一章弦中点与点差法/1492第一章题目信息转化为坐标表达第一章题目信息转化为坐标表达/21.1距离公式与弦长公式/31.2题目核心条件转化为坐标/91.3转化为坐标后，怎么处理/16总思路：1.联立直线与曲线并且判断Δ0⇒使用韦达定理得到x1＋x2＝,x1x2＝(绝大部分学生能做到)2.题目中核心信息⇒坐标表达式(本课需要解决的问题，也是学生感觉最杂的问题。通过收集，归纳，整理可以解决。建议学生准备一个活页本，把试卷作业，例题都抄录下来，核心部分用红笔加注，每过一段时间回顾一下，并把同类题归类。到高三下学期，自成体系，圆锥曲线大题可以满分。)3.计算表达式(后期学生最缺的能力，圆锥曲线最难算的部分，学生最头痛的位置。建议初学者一定要心平气和对待，计算要一步三回头！！)例：抛物线y2=4x，与直线l交于A,B,且OA⊥OB,求证AB过定点设直线AB为：y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).OA⊥OB⇒x1x2+y1y2＝0⇒y124·y224＋y1y2＝0⇒y1y2＝－16联立y=kx＋my2=4x⇒ky2－4y＋4m＝0y1y2＝4mk＝－16⇒m＝－4k代入到直线方程⇒y＝kx－4k＝k(x－4)⇒直线过(4,0)首先说一说为什么有些题要使用韦达定理解决：拿椭圆来说y=kx＋mx2a2＋y2b2＝1联立得(b2＋a2k2)x2＋2kma2x＋a2(m2－b2)＝0而韦达定理x1＋x2＝－2kma2b2＋a2k2,x1x2＝a2(m2－b2)b2＋a2k2可以观察到：第一，可以看出韦达定理右侧的式子跟椭圆与直线中的a2,b2,k,m这些参数有关。而我们题目中往往会要求我们求这些参数或者参数的范围。第二，题目中核心条件往往可以转化为与x1,x2,y1,y2有3关的坐标形式。总之，韦达定理是一个桥梁，它连接了题干中的条件与方程中的参数。所以我们第一章的所有题的总思路，都是先把题目信息坐标化，然后联立直线与曲线，最后使用韦达定理。1.1距离公式与弦长公式一，距离公式假设A(xA,yA),B(xB,yB)，则A,B之间的距离：|AB|＝(xA－xB)2＋(yB－yA)2＝1＋kAB2|xA－xB|＝1＋1kAB2|yA－yB|1.距离公式源于两点间距离公式，任何时候都能用，不是非得与曲线联立才能用，只要找横（纵）坐标和斜率共计三个量即可表示距离。2.如果A与B是曲线上的两个点，那么上述式子称之为弦长公式。3.弦长公式是万用的，只要是直线与曲线有两个交点A,B.都可以用上述式子计算弦长。我们看下面两个例子：例：椭圆x25＋y2＝1的右焦点为F，斜率为2且过点F的直线l,与该椭圆相交于A,B两点,求|FA||FB|解析：第一步：题目信息坐标化：设A(x1,y1),B(x2,y2),因为F(2,0)|FA|＝1＋kFA2|xA－xF|＝1＋22|x1－2||FB|＝1＋kFB2|xB－xF|＝1＋22|x2－2||FA|·|FB|＝5|x1－2||x2－2|＝5|x1x2－2(x1＋x2)＋4|第二步：联立所得直线y＝2x－2与椭圆x25＋y2＝1得21x2－40x＋15＝0其中x1x2＝1521=75x1＋x2＝4021.第三步：使用韦达定理|FA|·|FB|＝2|x1x2－2(x1＋x2)＋4|学会使用方法，答案略。思考：解答使用的是关于x的距离公式，我们能否使用关于y的距离公式？答：|FA|＝1＋1kAB2|yA－yB|＝2|yA|,|FB|＝1＋1kAB2|yA－yB|＝2|yB||FA|·|FB|＝2|yAyB|＝2|y1y2|4这里我们观察到:由于F点的纵坐标是0,使用关于y的距离公式的话，结果变得非常简洁.联立时只需要消去x,保留y.这给我们的经验就是：可以留心有没有纵坐标为0，使得距离公式大幅简化.【2015江苏】知椭圆x22＋y2＝1,过右焦点F的直线l与椭圆交于A,B两点，AB的垂直平分线交x＝－2和AB于点P,C,已知|PC|＝2|AB|，求k思路：设A(x1,y1),B(x2,y2),A,B的中点为C(x1＋x22,y1＋y22),设直线AB为y＝k(x－1),因为PC⊥AB，所以kPC＝－1k|PC|＝1＋kPC2|xP－xC|＝1＋(－1k)2|－2－x1＋x22|＝1＋(－1k)2|2＋x1＋x22||AB|＝1＋k2|xA－xB|＝1＋k2|x1－x2|接下来的任务就是联立x22＋y2＝1y＝k(x－1),使用韦达定理代换的过程了答案：k＝±1对距离公式的理解：不需要求解P点的纵坐标来算距离，只需要两个横坐标以及斜率即可。二.抛物线中的弦长公式①已知抛物线y2＝2px(p＞0),过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点设A(x1,y1),B(x2,y2)，那么|AF|＝x1＋p2|BF|＝x2＋p2|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p②已知抛物线x2＝2py(p＞0),过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点设A(x1,y1),B(x2,y2)，那么同理：|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋p注意：1.如果直线过焦点F，则不必使用弦长公式，而是使用更快捷的焦半径公式。2.不要盲目使用，直线不过焦点的话，我们还是得乖乖的使用万能的弦长公式。5例：过点M(2，0)作直线l与抛物线y2＝4x交于A,B两点，其中直线的斜率为1，求|AB|例：过点M(1，0)作直线l与抛物线y2＝4x交于A,B两点，其中直线的斜率为1，求|AB|例：已知曲线C：y2＝4x，已知过点（1，0）的直线与曲线C交于A,B两点求证：1AF＋1BF=1【2015湖南文】已知抛物线21:4Cxy的焦点F也是椭圆22222:1yxCab(0)ab的一个焦点，1C与2C的公共弦长为26，过点F的直线l与1C相交于,AB两点，与2C相交于,CD两点，且AC与BD同向。（I）求2C的方程；（II）若ACBD，求直线l的斜率。【答案】（I）22198yx；(II)64.试题解析：（I）由21:4Cxy知其焦点F的坐标为(0,1)，因为F也是椭圆2C的一个焦点，所以221ab①；又1C与2C的公共弦长为26，1C与2C都关于y轴对称，且1C的方程为21:4Cxy，由此易知1C与2C的公共点的坐标为3(6,)2，229614ab②，联立①②得229,8ab，故2C的方程为22198yx。（II）如图，设11223344(,),(,),(,),(,),AxyBxyCxyDxy因AC与BD同向，且ACBD，所以ACBD，从而3142xxxx，即3412xxxx，于是2234341212()4()4xxxxxxxx③设直线l的斜率为k，则l的方程为1ykx，6由214ykxxy得2440xkx，由12,xx是这个方程的两根，12124,4xxkxx④由221189ykxxy得22(98)16640kxkx，而34,xx是这个方程的两根，3434221664,9898kxxxxkk，⑤将④、⑤代入③，得2322221646416(1)(98)98kkkk。即22222169(1)16(1)(98)kkk所以22(98)169k，解得64k，即直线l的斜率为64考点：直线与圆锥曲线的位置关系；椭圆的性质提示：代数不行几何来帮忙，即|AC|=|BD|⇔|AB|=|CD|(等量加等量，和相等)建议记住的内容(你会发现节约大量运算时间的)：设椭圆x2a2＋y2b2＝1与直线y=kx+m交于A,B两点则|AB|＝1＋k2|xA－xB|二次项系数指的是直线与椭圆联立后x2的系数.三.圆的弦长公式:圆的弦长可借助垂径定理与勾股定理来求解：如图，圆O的半径为R,OE⊥AB,其中AB为圆O的弦，AB与直径CD交于点E.|OE|=d,则AB=2R2－d2计算d时，需要使用点到直线的距离公式.7(2014重庆)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝思路：结合图像：△ABC等边，且圆的半径为2.所以AB=2.所以圆心到直线的距离为3,又圆心(1,a)到直线ax＋y－2＝0的距离d=2a-2a2+1解得a=4±15(2014陕西文)已知椭圆22221(0)xyabab经过点(0,3)，离心率为12，左右焦点分别为12(,0),(,0)FcFc.（1）求椭圆的方程；（2）若直线1:2lyxm与椭圆交于,AB两点，与以12FF为直径的圆交于,CD两点，且满足||53||4ABCD，求直线l的方程.62.（1）由题意可得312222bcabac—解得2,3,1abc椭圆的方程为22143xy（2）由题意可得以12FF为直径的圆的方程为221xy圆心到直线l的距离为2||5md由1d，即2||15m，可得5||2m22242||21215455mCDdm设1122(,),(,)AxyBxy联立2212143yxmxy整理得2230xmxm由求根公式可得：12xxm，2123xxm82222115||1()4(3)422ABmmm||53||4ABCD224154mm解方程得33m，且满足5||2m直线l的方程为1323yx或1323yx(2011天津文)（本小题满分13分）设椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为F1，F2。点(,)Pab满足212||||.PFFF（Ⅰ）求椭圆的离心率e；（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆22(1)(3)16xy相交于m，N两点，且5||||8MNAB，求椭圆的方程。（Ⅰ）解：设12(,0),(,0)(0)FcFcc，因为212||||PFFF，所以22()2acbc，整理得2210,1cccaaa