高数第九章-微分方程-习题解答

300　　第九章　微分方程与差分方程简介习　题　九（A）１畅验证下列各函数是所给微分方程的通解：（１）y＝（x＋C）ｅ－x，y′＋y＝ｅ－x；（２）x２＋y２＝C（C＞０），y′＝－x／y；（３）y＝ｃｏｓ２x＋C１ｃｏｓ３x＋C２ｓｉｎ３x，y″＋９y＝５ｃｏｓ２x；（４）y＝C１ｅ－x＋C２ｅx＋ｅ２x－ｅ３x，y″－y＝３ｅ２x－８ｅ３x．解　（１）∵　y′＝ｅ－x－（x＋C）ｅ－x＝ｅ－x－y∴　y′＋y＝ｅ－x（２）∵　２x＋２yy′＝０∴　y′＝－x／y（３）∵　y′＝－２ｓｉｎ２x－３C１ｓｉｎ３x＋３C２ｃｏｓ３x　　y″＝－４ｃｏｓ２x－９C１ｃｏｓ３x－９C２ｓｉｎ３x∴　y″＋９y＝（－４ｃｏｓ２x－９C１ｃｏｓ３x－９C２ｓｉｎ３x）　＋９（ｃｏｓ２x＋C１ｃｏｓ３x＋C２ｓｉｎ３x）＝５ｃｏｓ２x（４）∵　y′＝－C１ｅ－x＋C２ｅx＋２ｅ２x－３ｅ３x　　y″＝C１ｅ－x＋C２ｅx＋４ｅ２x－９ｅ３x∴　y″－y＝（C１ｅ－x＋C２ｅx＋４ｅ２x－９ｅ３x）　－（C１ｅ－x＋C２ｅx＋ｅ２x－ｅ３x）＝３ｅ２x－８ｅ３x２畅试验证：ｌｎy＝C１ｅx＋C２ｅ－x＋x２＋２（C１，C２为任意常数）是方程１yy′２－１yy″＝x２－ｌｎy的通解；并求y（０）＝y′（０）＝ｅ时的特解．301　　解　对已知函数ｌｎy＝C１ｅx＋C２ｅ－x＋x２＋２①两端求导，得１yy′＝C１ｅx－C２ｅ－x＋２x②再对②式两端求导，得１y２［yy″－（y′）２］＝C１ｅx＋C２ｅ－x＋２①ｌｎy－x２由此即得１yy′２－１yy″＝x２－ｌｎy．由y（０）＝y′（０）＝ｅ和①、②两式，得C１＋C２＋２＝１C１－C２＝１解得C１＝０，C２＝－１．因此，特解为ｌｎy倡＝x２＋２－ｅ－x３畅求下列微分方程的通解或满足给定初始条件的特解：（１）y２ｄx＋（x－１）ｄy＝０；（２）y′＝xy＋yx＋xy；（３）（xy２－x）ｄx＋（x２y＋y）ｄy＝０；（４）xyｄx＋１＋x２ｄy＝０，y（０）＝１；（５）yy′＋xｅy＝０，y（１）＝０；（６）３ｅxｔａｎyｄx＋（１＋ｅx）ｓｅｃ２yｄy＝０，y（０）＝π４．解　（１）分离变量得－１y２ｄy＝１x－１ｄx积分得１y＝ｌｎ｜x－１｜＋C∴y＝１ｌｎ｜x－１｜＋C　或　y［ｌｎ｜x－１｜＋C］＝１其中C为任意常数．（２）将方程变形并分离变量，得302　　１＋１yｄy＝１＋１xｄx积分得y＋ｌｎ｜y｜＝x＋ｌｎ｜x｜＋C１由此式得yｅy＝Cxｅx其中C＝±ｅC１为任意常数．（３）分离变量，得yy２－１ｄy＋xx２＋１ｄx＝０积分得ｌｎ｜y２－１｜＋ｌｎ［１＋x２）＝C１痴（１＋x２）｜y２－１｜＝ｅC１由此得通解y２＝１＋C１＋x２其中C＝±ｅC１为任意常数．（４）分离变量得１yｄy＋x１＋x２ｄx＝０积分得ｌｎ｜y｜＋１＋x２＝ｌｎC于是，该方程的通解为y＝Cｅ－１＋x２其中C为任意常数．由y（０）＝１，得C＝ｅ．故所求特解为y＝ｅ１－１＋x２（５）分离变量得yｅ－yｄy＋xｄx＝０积分得通解（y＋１）ｅ－y＝１２x２＋C其中C为任意常数．由y（１）＝０，得C＝１２．于是，所求特解为303　　（y＋１）ｅ－y＝１２（x２＋１）（６）分离变量得ｃｏｔy·ｓｅｃ２yｄy＋３ｅx１＋ｅxｄx＝０积分得ｌｎｔａｎy＋３ｌｎ（１＋ｅx）＝ｌｎC故通解为（１＋ｅx）３ｔａｎy＝C由y（０）＝π４，得C＝８．于是，所求特解为（１＋ｅx）３ｔａｎy＝８　或　y＝ａｒｃｔａｎ８（１＋ｅx）３４畅求下列微分方程的通解或满足给定初始条件的特解：（１）（x２＋y２）ｄx－２xyｄy＝０；（２）３xy２ｄy＝（２y３－x３）ｄx；（３）y′＝yx＋ｓｉｎyx；（４）（y＋xｅy／x）ｄx＝xｄy，y（１）＝０；（５）xy′＝y＋x２＋y２，y（１）＝０；（６）y′＝yx２＋yx＋４，y（１）＝２．解　（１）将原方程变形为齐次方程ｄyｄx＝x２＋y２２xy令y＝xu，则y′＝u＋xu′，代入上式得xu′＝１－u２２u分离变量得２u１－u２ｄu＝１xｄx　或　１xｄx－２u１－u２ｄu＝０积分得ｌｎ［x（１－u２）］＝ｌｎC，即x（１－u２）＝C将u＝y／x代入上式，得通解为x（１－y２／x２）＝C　或　y２＝x２－Cx304　　（２）将原方程变形为齐次方程y′＝２y３－x３３xy２令y＝xu，则y′＝u＋xu′，代入上式得xu′＝－１＋u３３u２分离变量得３u２１＋u３ｄu＋１xｄx＝０积分得ｌｎ［x（１＋u３）］＝ｌｎC，即x（１＋u３）＝C将u＝yx代入上式，得通解为y３＝Cx２－x３（３）令y＝xu，则由原方程可得y′＝u＋xu′＝u＋ｓｉｎu由此式得ｃｓｃuｄu＝１xｄx积分得ｌｎ｜ｃｓｃu－ｃｏｔu｜＝ｌｎ｜x｜＋ｌｎ｜C｜即ｃｓｃu－ｃｏｔu＝Cx其中ｃｓｃu－ｃｏｔu＝ｔａｎu２，于是ｔａｎu２＝Cx由此可得通解为y＝２xａｒｃｔａｎ（Cx）（４）令y＝xu，则原方程化为（xu＋xｅu）ｄx＝x（xｄu＋uｄx）由此得ｅ－uｄu＝１xｄx积分得原方程通解为ｌｎx＋ｅ－u＝ｌｎx＋ｅ－y／x＝C305　　将y（１）＝０代入上式，得C＝１．于是，所求特解为ｌｎx＋ｅ－y／x＝１　或　y＝－xｌｎ（１－ｌｎx）（５）设x＞０，y＝xu，则原方程化为x（u＋xu′）＝xu＋x２＋x２u２由此得１１＋u２ｄu＝１xｄx积分得ｌｎ（u＋１＋u２）＝ｌｎx＋ｌｎC即u＋１＋u２＝Cx代回原变量，得y＋x２＋y２＝Cx２由y（１）＝０，得C＝１．于是，所求特解为y＋x２＋y２＝x２化简得y＝１２（x２－１）（６）令y＝xu，则原方程化为u＋xu′＝u２＋u＋４由此得１４＋u２ｄu＝１xｄx积分得１２ａｒｃｔａｎu２＝ｌｎx＋C代回原变量，得y＝２xｔａｎ（ｌｎx２＋２C）由y（１）＝２，得２C＝π４．于是，所求特解为y＝２xｔａｎｌｎx２＋π４５畅求下列微分方程的通解或满足给定初始条件的特解：（１）y′－３y＝ｅ２x；306　　（２）y′－yｓｉｎx＝１２ｓｉｎ２x；（３）y′＋３yｔａｎ３x＝ｓｉｎ６x；（４）y′－１x＋２y＝x２＋２x，y（－１）＝３２；（５）y′－１xy＝－２xｌｎx，y（１）＝１；（６）y′－２x＋１y＝（x＋１）２ｅx，y（０）＝１；（７）y′－３x２y＝１３x２（１＋x３），y（０）＝－１９．解　本题各小题均为一阶线性微分方程，根据教材§９畅４，可采用变量变换法或常数变易法求解．为简单起见，下面直接采用通解公式（９畅３４）求解．（１）由式（９畅３４），得y＝ｅ∫３ｄxC＋∫ｅ２xｅ－∫３ｄxｄx＝ｅ３xC＋∫ｅ２x·ｅ－３xｄx＝ｅ３xC＋∫ｅ－xｄx＝ｅ３x（C－ｅ－x）＝Cｅ３x－ｅ２x（２）由式（９畅３４），得y＝ｅ∫ｓｉｎxｄxC＋∫１２ｓｉｎ２xｅ－∫ｓｉｎxｄxｄx＝ｅ－ｃｏｓxC＋∫ｓｉｎx·ｃｏｓx·ｅｃｏｓxｄx＝ｅ－ｃｏｓxC－∫ｃｏｓxｅｃｏｓxｄｃｏｓx＝ｅ－ｃｏｓxC－ｃｏｓxｅｃｏｓx－∫ｅｃｏｓxｄｃｏｓx＝ｅ－ｃｏｓx（C－ｃｏｓxｅｃｏｓx＋ｅｃｏｓx）＝Cｅ－ｃｏｓx－ｃｏｓx＋１（３）由式（９畅３４），得y＝ｅ－３∫ｔａｎ３xｄxC＋∫ｓｉｎ６xｅ３∫ｔａｎ３xｄxｄx　　　　　＝ｅｌｎｃｏｓ３xC＋２∫ｓｉｎ３x·ｃｏｓ３x·ｅ－ｌｎｃｏｓ３xｄx＝ｃｏｓ３xC＋２∫ｓｉｎ３xｄx307　　＝ｃｏｓ３xC－２３ｃｏｓ３x（４）由式（９畅３４），得y＝ｅ∫１x＋２ｄxC＋∫（x２＋２x）ｅ－∫１x＋２ｄxｄx＝ｅｌｎ（x＋２）C＋∫（x２＋２x）ｅ－ｌｎ（x＋２）ｄx＝（x＋２）C＋∫x２＋２xx＋２ｄx＝（x＋２）C＋１２x２由y（－１）＝３２得C＝１．于是，所求特解为y＝（x＋２）１＋１２x２（５）由式（９畅３４），得y＝ｅ∫１xｄxC－∫２x·ｌｎx·ｅ－∫１xｄxｄx＝ｅｌｎxC－２∫１x２ｌｎxｄx＝xC＋２∫ｌｎxｄ１x＝xC＋２ｌｎxx－２∫１x２ｄx＝xC＋２x（ｌｎx＋１）＝Cx＋２（ｌｎx＋１）由y（１）＝１得C＝－１．于是，所求特解为y＝２（ｌｎx＋１）－x（６）由式（９畅３４），得y＝ｅ∫２１＋xｄxC＋∫（x＋１）２ｅxｅ－∫２１＋xｄxｄx＝（１＋x）２（C＋ｅx）由y（０）＝１得C＝０．于是，所求特解为y＝（１＋x）２ｅx（７）由式（９畅３４），得308　　y＝ｅ∫３x２ｄxC＋１３∫x２（１＋x３）ｅ－∫３x２ｄxｄx＝ｅx３C＋１３∫x２（１＋x３）ｅ－x３ｄx其中∫x２（１＋x３）ｅ－x３ｄx令u＝x３１３∫（１＋u）ｅ－uｄu　　　　　＝－１３（１＋u）ｅ－u－∫ｅ－uｄu　　＝－１３（２＋u）ｅ－u＝－１３（２＋x３）ｅ－x３由此得y＝Cｅx３－１９（x３＋２）由y（０）＝－１９得C＝１９．于是，所求特解为y＝１９（ｅx３－x３－２）６畅求下列二阶齐次线性微分方程的通解或满足给定初始条件的特解：（１）y″－７y′＋６y＝０；（２）y″－４y′＋１３y＝０；（３）y″－６y′＋９y＝０；（４）y″＋９y＝０；（５）y″－２y′－３y＝０，y（０）＝y′（０）＝２；（６）y″＋６y′＋８y＝０，y（０）＝０，y′（０）＝－２；（７）y″－１０y′＋２５y＝０，y（０）＝１，y′（０）＝４；（８）y″－２y′＋１０y＝０，yπ６＝０，y′π６＝ｅπ／６．解　（１）特征方程为λ２－７λ＋６＝（λ－１）（λ－６）＝０故有两个相异的实特征根λ１＝１，λ２＝６．因此，所求方程的通解为y＝C１ｅx＋C２ｅ６x（２）特征方程为λ２－４λ＋１３＝０有一对共轭复特征根λ＝２±３ｉ．因此，所求方程的通解为y＝ｅ２x（C１ｃｏｓ３x＋C２ｓｉｎ３x）309　　（３）特征方程为λ２－６λ＋９＝（λ－３）２＝０有一个重特征根λ＝３．因此，所求方程的通解为y＝（C１＋C２x）ｅ３x（４）特征方程为λ２＋９＝０有一对共轭复特征根λ＝±３ｉ．因此，所求方程的通解为y＝C１ｃｏｓ３x＋C２ｓｉｎ３x（５）特征方程为λ２－２λ－３＝（λ＋１）（λ－３）＝０有两个相异实特征根λ１＝－１，λ２＝３．因此，所求方程的通解为yc＝C１ｅ－x＋C２ｅ３x由初始条件y（０）＝y′（０）＝２，可得C１＝C２＝１．因此，所求特解为y倡＝ｅ－x＋ｅ３x（６）特征方程为λ２＋６λ＋８＝（λ＋２）（λ＋４）＝０有两个相异实特征根λ１＝－２，λ２＝－４．因此，所求方程的通解为yc＝C１ｅ－２x＋C２ｅ－４x由初始条件y（０）＝０，y′（０）＝－２，可得C１＝－１，C２＝１．因此，所求特解为y倡＝ｅ－４x－ｅ－２x（７）特征方程为λ２－１０λ＋２５＝（λ－５）２＝０有一个重特征根λ＝５．因此，所求方程的通解为yc＝（C１＋C２x）ｅ５x由初始条件y（０）＝１，y′（０）＝４，可得C１＝１，C２＝－１．因此，所求特解为y倡＝（１－x）ｅ５x（８）特征方程为λ２－２λ＋１０＝０有一对共轭复特征根λ＝１±３ｉ．因此，所求通解为yc＝ｅx（C１ｃｏｓ３x＋C２ｓｉｎ３x）由yπ６＝０得C２＝０，再由y′π６＝ｅπ／６得C１＝－１３．因此，所求特解为y倡＝－１３ｅxｃｏｓ３x７畅求下列二阶非齐次线性微分方程的通解或满足给定初始条件的特解：310　　（１）y″－２y′＋２y＝２x２；（２）y″＋３y′－１０y＝１４４xｅ－２x；（３）y″－６y′＋８y＝８x２－４x＋１２；（４）y″－６y′＋２５y＝３０ｓｉｎx＋１８ｃｏｓx；（５）y″＋y＝ｃｏｓ３x，yπ２＝４，y′π２＝－１；（６）y″－４y′＋３y＝８ｅ５x，y（０）＝３，y′（０）＝９；（７）y″－８y′＋１６y＝ｅ４x，y（０）＝０，y′（０）＝１．解　（１）由特征方程λ２－２λ＋２＝（λ－１）２＋１＝０得特征根λ＝１±ｉ．因此，对应齐次方程的通解为yc＝ｅx（C１ｃｏｓx＋C２ｓｉｎx）设非齐次方程有特解珋y＝ax２＋bx＋c其中a，b，c为待定常数．将珋y代入所给方程，得珋y″－２珋y′＋２珋y＝２ax