正交信号：复数-但不复杂[中译版本]

正交信号：复数，但不复杂理查德·莱昂斯翻译：DSP-数字信号处理群(152346662)成员小桃校对：DSP-数字信号处理群(152346662)成员Delta引言：基于复数概念的正交信号，对于DSP的初学者而言，可能没有什么比j算子、复数、虚部、实部和正交等数据及概念更令他们头痛的了。如果你对复数和1j=−的物理含义不是那么明确的话，不必感到懊恼，因为你有很好的同伴。为何甚至是世界上最伟大的数学家之一的卡尔·高斯都曾经说过，虚数j算子是“虚幻的幻影”。本文将对这个“幻影”做出一些解释，这样，你就不必打电话到“正交信号心理咨询热线”寻求帮助了。正交信号处理应用于科学和工程的很多领域，而且用正交信号来描述现代数字通信系统中的处理和实现过程也很必要。在本文中，我们首先复习一下复数的基础知识，然后对他们是怎样用来表示正交信号就不感陌生了。接着，我们将对负频率的概念加以说明，因为它和正交信号的代数表示有关，然后学习正交处理的相关概念。此外，我们将用时域和频域的三维图形对正交信号的物理意义加以描述。本文对如何通过正交采样得到正交信号也做了简单介绍。为什么关注正交信号？正交信号，也称为复信号，被用于数字信号处理的很多领域，比如：‐数字通信系统‐雷达系统‐无线电测向中对到达时间差异的处理‐相关脉冲测量系统‐天线波束形成的应用‐信号边带调制器‐等等这些应用都属于正交处理的基本范畴，此外通过对相应正弦信号相位的测量，它还提供了附加的处理能力。一个正交信号是二维的数据，其瞬时值可由包含两部分数据的复数来表示；我们称之为实部和虚部。（实部和虚部的称谓是传统的叫法，在我们日常应用中一直被延用。在通信工程中分别用同相和正交相表示。）首先，我们复习一下这些复数的数学概念。复数的发展和概念为了建立我们的术语，先定义一个实数，用来表示日常生活中常用到的物理量，比如，电压、华氏温标表示的温度，或者你账单的收支平衡等。这些一维的数据可正可负，如图1(a)所示。图中，我们用一维数轴上的一个点来表示实数。出于传统，我们把这个数轴称为实轴。在图1(b)中，复数c也用一个点来表示，但是复数不一定局限于一维直线上，而是可位于二维平面的任何区域。这个平面叫做复平面(一些数学家也称之为阿干特图)，这使得我们可以用实部和虚部来表示复数。比如在图1(b)中，复数2.52cj=+既不在复平面的实轴也不在虚轴上，点c位于正实轴2.5个单位和正虚轴2个单位的交叉处。也可以将图中的实轴和虚轴想象成地图中的东—西和南—北方向。图1.实数和复数的几何表示我们将从几何的角度出发来理解复数的一些数学运算。如图2所示，可以用直角三角形来定义复数c的不同表示方式。图2.复数平面上复数c=a+jb的相位表示在文献中，复数c用不同的方式加以描述，比如，名称数学表达式备注(1)(2)(3)(4)直角坐标形式cajb=+用于解释的目的。较容易理解(也叫做笛卡尔平面)三角函数形式()()cossincMjφφ=+一般用于描述通信系统中的正交信号一极坐标形式jcMeφ=不易理解，主要用于数学表达式中(也叫做指数形式，有时写为()expMjφ幅度—相角形式cMφ=∠用于描述的目的。但是用于代数方程时较笨拙(本质上是方程(3)的简写)方程(3)和(4)告诉我们c也可以表示为复平面上幅度为M，与正实轴正夹角为φ的一个向量，如图2所示。记得c是一个复数，而且变量,,abM和φ都是实数。c的幅度，也叫c的模，记为，22Mcab==+(5)[题外问题：在1939年的电影中，被大家公认为是一些最伟大的电影，其主要特色是否尝试引用方程(5)的性能？]回到正题。相位角φ，也叫做幅角，是实部/虚部的反正切函数，即，1tanbaφ−=(6)如果令方程(2)和(3)相等，即()()cossinjMeMjφφφ=+，可得到为纪念欧拉而以其名字命名的欧拉等式：()()cossinjejφφφ=+(7)可能也有读者有疑惑，“为什么可以用如此怪诞的一个式子——自然对数的底，即e的虚数次幂来表示一个复数呢？”我们可以按照世界上无穷级数方面最伟大的数学家莱昂哈德·欧拉的方式来证明(7)式，即用jφ代替图3中最上面一行关于ze的级数展开定义式中的z，其替代结果如图3中第二行所示。然后，我们估计j的更高阶结果并放在图3的第三行。那些和欧拉一样具备数学才能的人(或者看过相关参考文献)可能记得图3中第三行级数展开中交替出现的正负项刚好是正弦和余弦函数的定义式。图3.用(),coszeφ和()sinφ的级数展开来导出欧拉方程图3验证了方程(7)和复数的极坐标表达式：jMeφ方程(3)的结果。如果将图3中最上行中的z用jφ−代替，就可以得到一个稍微不同但是很有用的欧拉公式的另外一种表达式：()()cossinjejφφφ−=−(8)方程(7)和(8)的极坐标表达式非常有用，因为：‐它简化了数学微分和分析--把三角方程转换为简单的指数代数形式，而且--复数的数学运算完全遵循实数的运算法则‐它使信号的相加仅仅是复数的加法(向量相加)‐最简洁的记法‐在文献中用来说明数字通信系统是如何实现与描述很直观我们将用方程(7)和(8)来说明为什么正交信号会被用于数字通信系统，并说明是怎么样用的。但是，首先让我们深吸一口气，进入j算子的阴阳魔界。前面已给出定义式1j=−，可解释为，j和它自己相乘时其结果为-1。这个定义对初学者而言，理解起来可能比较困难，因为大家熟知的是任何数和它自己相乘以后其结果都为正数。(不幸的是，在DSP的相关教材中，都定义j，然后理所当然地说j可以用于分析和处理正弦信号，读者也很快就忘记：1j=−的真实含义是什么？)而1−出现在数学领域中有段时间了，大家最初也没有意识到其重要性，直到16世纪被用于求解三次方程[1][2]。数学家们才开始不情愿地接受其抽象概念，但是并没有使之形象化，因为其运算性质和一般实数的法则都相同。是欧拉首先引入复数由实正弦和余弦函数构成，然后由高斯成功的引入了复平面，最后在18世纪，欧洲的数学家们给予1−概念的合法地位。欧拉超越了实数领域，并确定复数和大家熟知的正弦和余弦三角函数具有明确的关系。就像爱因斯坦展示质量和能量之间的关系一样，欧拉展示了实正弦和余弦与复数之间的关系。这就好像当今好多物理学家虽然不知道电子是什么，但是对其性质却十分了解，我们也不必担心到底j是什么，而只需要明确其特性就可以了。对我们而言，j算子就是让一个复数按逆时针方向旋转90(而对英国人而言，顺时针反而意味着是逆时针。)让我们看看到底为什么会这样。在图4中，通过考查1j=−算子的数学性质，我们将很容易理解虚数的复平面表达形式。图4.将数字8乘以j后产生的现象实轴上的任何数乘以j将得到一个位于虚轴上的虚数。图4中的例子说明，如果+8是由正实轴上的点表示，那么+8乘以j后得到8j+,它在复平面上的位置为从+8这个点开始逆时针旋转90，最后落在正虚轴上。同样，8j+再乘以j后其结果为-8，仍然是逆时针再旋转90，最后落在负实轴上，因为21j=−。最后再让-8乘以j,其结果为8j−，仍然是从负实轴开始逆时针再旋转90后落在负虚轴上。总之，无论复平面上任何数乘以j其结果都是逆时针旋转90。(相反，如果乘以j−，其结果则是在复平面上顺时针旋转90−)如果在方程(7)中，我们令/2φπ=，则()()/2/2cos/2sin/201,orjjejjejππππ=+=+=(9)这里需要记住。如果一个复数，由复平面的一个点来表示，现在这个数乘以j或者/2jeπ将得到复平面上一个新的点，它是由原来的点在平面上逆时针旋转90得到的。一定不能忘了这个性质，因为它对你开始阅读正交处理系统文献非常有用。就此歇一会，缓一下神。如果对虚数和复平面的概念还是觉得有些神秘的话也不必太担心，大家最初接触到它们的时候都一样，当你用多了，自然就习惯了。(记住，j算子困扰了欧洲重量级数学家们数百年了。)诚然，不仅复数的数学表达式有些奇怪，其术语也很怪诞。然而，“虚数”是一种不幸运的说法，术语“复数”也是相当的古怪。初次见到复数常令人联想到“复杂的数”。这很遗憾，其实，复数的概念并不是真的那么复杂。我们只要知道，上面冗长的数学推导只是为了得到方程(2)、(3)、(7)和(8)。现在，让我们(终于!)开始讨论时域信号。实信号的复向量表示现在，我们先关注一类复数，它是时间的函数。考虑一个数，其幅度为1，而相位随时间的增加而增加。这个数可写为02jfteπ,如图5(a)所示。(这里，02fπ是单位为弧度/秒的角频率，它对应于频率0f周/秒，0f用Hz来度量)随着时间t的增加，复数的相位也在增加，该数围绕复平面原点作逆时针旋转。图5(a)表示该数某一时刻的值，用一个黑色的点来表示。假设02f=Hz，那么该点将沿着该圆每秒旋转2周。我们也可以考虑另外一个复数，02jfteπ−，图中用白色的点表示，它沿着顺时针方向旋转，因为随着时间的增加，其相位是负向地增加。图5.两个指数随时间变化的复数在时域的瞬间表示现在，我们称这两个复数表达式，02jfteπ和02jfteπ−，为正交信号。他们都有实部和虚部，而且都是时间的函数。02jfteπ和02jfteπ−在文献中也常被称作复指数函数。我们也可以把02jfteπ和02jfteπ−，看作是沿相反方向变化的两个向量，如图5(b)所示。我们一直坚持向量的概念，是因为这样会很容易帮助我们实现在复平面中表示一个实的正弦信号。别换频道!为了确保我们理解这些向量的性质，图6(a)展示了02jfteπ向量随时间增长的三维图形。我们增加了时间轴，其方向指向经页面朝外，是为了展示该向量的螺旋路径。图6(b)给出了该向量末端一种连续形式的运动轨迹。复数02jfteπ，正如所期望的，其末端以时间轴为中心，并呈螺旋线前进。在图6(b)中，02jfteπ的实部和虚部投影分别为正弦和余弦函数。图6.向量02jfteπ的运动(a)，向量末端的运动(b)回到图5(b)，并自问“如果这两个向量沿着相反的方向旋转，那么他们的和是什么？”略加思考……是的，向量的实部将同向相加，而虚部将相互抵消。这就意味着向量02jfteπ和02jfteπ−的和将是一个纯实数。当今数字通信系统的实现就基于这条性质。为了强调这两个复正弦曲线之和为实数，我们将给出另外一幅图。考虑一个三维的波形，如图7所示，它是由两个幅度为1/2的复向量之和构成，即0212jfteπ和0212jfteπ−，他们沿着时间轴以相反的方向旋转。图7.由两个旋转的复数向量之和表示一个正弦信号思索这些向量，现在已经很清晰，为什么一个余弦函数可由两个复指数函数之和来表示：()000022220cos2222jftjftjftjfteeeeftπππππ−−+==+(10)方程(10)是一个众所周知的重要表达式，也被称为欧拉等式之一。我们可以从方程(7)和(8)推出该等式，对于方程(7)和(8)中的()sinjφ，令其相等，然后从等式中即可求解出()cosφ。同理，我们可以通过同样的代数运算，得到一个实的正弦函数也可以表示为两个复指数函数之和的形式：()000022220sin2222jftjftjftjfteejejeftjπππππ−−−==−(11)仔细审视方程(10)和(11)——它们是用复数表示正弦和余弦函数的标准形式，在关于正交通信系统的文献中随处可见。读者需记住，图5到图7的唯一目的是为了证实方程(10)和(11)正弦和余弦函的复数表示。这两个等式，加上方程(7)和(8)被看作是正交信号处理领域的“罗塞达石”。我们现在可以很容易地实现复指数信号和实正弦信号之间的相互转换。此外，我们正在学习那些能够通过同轴电缆传输、数字化和存储在计算机存储器中的实信号是如何通过复数的概念来描述的。的确，一个复数的每个组成部分都是实数，但是，我们用特殊的方式来处理它们——用正交的方式来处理。正交信号的频域表示现在我们已经熟知正交信号在时域的很多性质，接下来我们将看看它们在频域中的描述。本文将让大家很容易理解这些