第7章-空间解析几何与向量代数-第三节

F(x,y,z)=0Sxyzo一、曲面方程的概念定义:若曲面S与三元方程F(x,y,z)=0有如下关系:(1)S上任一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0;(2)坐标满足方程F(x,y,z)=0的点都在S上;那末,方程F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,而曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.第三节曲面及其方程研究空间曲面有两个基本问题：（2）已知曲面方程，研究曲面形状．（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．M0建立球心在点),,(0000zyxM、半径为R的球面方程.MR例1解以下给出几例常见的曲面.设),,(zyxM是球面上任一点，，RMM||0根据题意有，即Rzzyyxx202020)()()(.)()()(2202020Rzzyyxx所求方程为特殊地：球心在原点时方程为.2222Rzyx已知)3,2,1(A，)4,1,2(B，求线段AB的垂直平分面的方程.例2解设),,(zyxM是所求平面上任一点，根据题意有|,|||MBMA222)3()2()1(zyx,)4()1()2(222zyx化简得所求方程.07262zyx例3解zxyo方程的图形是怎样的？1)2()1(22yxz根据题意有1z用平面cz去截图形得圆：)1(1)2()1(22ccyx当平面cz上下移动时，得到一系列圆圆心在),2,1(c，半径为c1半径随c的增大而增大.图形上不封顶，下封底．c定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．播放二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.二、旋转曲面定义这条定直线叫旋转曲面的轴．旋转曲线称为该旋转曲面的母线.xozy0),(zyf),,0(111zyMM),,,(zyxM设曲面上任意点1)1(zz(2)点M到z轴的距离||122yyxd旋转过程中的特征：将代入2211,yxyzz0),(11zyfd母线:，0),(zyf，0x将代入2211,yxyzz0),(11zyf.0),(22zyxf此即yoz坐标面上的已知曲线0),(zyf绕z轴旋转一周的旋转曲面方程.得方程同理：yoz坐标面上的已知曲线0),(zyf绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为.0),(22zxyf直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周,所得旋转曲面叫圆锥面.两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角20叫圆锥面的半顶角.试建立顶点在坐标原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程．yoz面上直线方程为cotyz所以圆锥面方程为cot22yxz例4解xozy以曲线012222yczax为母线,绕z轴旋转而成的曲面方程为即1222222czayax——旋转单叶双曲面例5，122222czayx如果绕x轴旋转,则方程为1222222czcyax——旋转双叶双曲面以曲线012222yczax为母线,绕z轴旋转而成的曲面方程为例5以曲线012222ybzax为母线,绕z轴旋转而成的曲面方程为即1222222bzayax——旋转椭球面例6，1)(222222bzayx定义观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL三、柱面播放平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL三、柱面xyzo例如:考虑方程x2+y2=R2所表示的曲面.在xoy面上,x2+y2=R2表示以原点O为圆心,半径为R的圆.曲面可以看作是由平行于z轴的直线L沿xoy面上的圆x2+y2=R2移动而形成,称该曲面为圆柱面.ol画出下列柱面的图形:xozyxozyxy22抛物柱面xy平面方程F(x,y)=0表示:母线平行于z轴的柱面,准线为xoy面上的曲线00),(:zyxFCxozy类似:方程F(x,z)=0表示:母线平行于y轴的柱面,准线为xoz面上的曲线C:F(x,z)=0,y=0.方程F(y,z)=0表示:母线平行于x轴的柱面,准线为yoz面上的曲线C:F(y,z)=0,x=0.思考题指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？;2)1(x;4)2(22yx.1)3(xy思考题解答平面解析几何中空间解析几何中2x422yx1xy平行于y轴的直线平行于yoz面的平面圆心在)0,0(，半径为2的圆以z轴为中心轴的圆柱面斜率为1的直线平行于z轴的平面方程二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之．相应地平面被称为一次曲面．讨论二次曲面性状的截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线(即截痕)的形状,然后加以综合,从而了解曲面的全貌．以下用截痕法讨论几种常见的二次曲面．四、二次曲面.0222jizhygxfyzexzdxyczbyaxzxyO1用坐标面z=0,x=0和y=0去截割,分别得椭圆012222zbyax1222222czbyax,012222xczby.012222yczax(1)椭球面zxyO(1)椭球面1222222czbyax2用平面z=k去截割(要求|k|c),得椭圆kzckbyax2222221当|k|c时,|k|越大,椭圆越小;当|k|=c时,椭圆退缩成点.椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面球面球面方程可写为,)1(ba1222222czayax,)2(cba1222222azayax.2222azyxxyzozxyo(2)椭圆抛物面zqypx2222)(同号与qp0,0qp0,0qpxyzo(2)椭圆抛物面zqypx2222)(同号与qp0,0qp特殊情况：,qppzyx222--旋转抛物面.oxzy(3)椭圆锥面22222zbyax特殊情况：,ba2222zayx--圆锥面.(3)椭圆锥面22222zbyax特殊情况：,ba2222zayx--圆锥面.若方程为)0(22kyxkz则图形如右图oxzy(4)单叶双曲面xyoz1222222czbyax(5)双叶双曲面xyo1222222czbyax(6)双曲抛物面(马鞍面)xyzozqypx2222)(同号与qpxzyo(6)双曲抛物面(马鞍面)zqypx2222椭圆柱面12222byax还有三种以二次曲线为准线的柱面：抛物柱面)0(22ppyx双曲柱面12222byax思考题方程3254222xzyx表示怎样的曲线？思考题解答3254222xzyx.316422xzy表示双曲线.练习：P318习题7-34.5.8.(1)(5)10.(4)11.(3)利用向量的方法证明三角形的三条高线交于一点.设ABC的高BE和CF交于点P,由0ABCP,0CABP,得0)(ABAPCA,0)(CAAPBA,即0ABAPABCA,0CAAPCAAB,两式相加,得0)(CAABAP,即0CBAP,得证.只需证BCAP即可.例1证例5设kjimrrrr853，kjinrrrr742，kjiprrrr45，求向量pnmarrrr34在x轴上的投影及在y轴上的分向量.解pnmarrrr34)853(4kjirrr)742(3kjirrr)45(kjirrr,15713kjirrr在x轴上的投影为13xa,在y轴上的分向量为jr7.P30119.22222)(abzyx22222222abzybzyx)(4)(222222222zybabzyx——圆环面例8以曲线)(0)(222abzabyx为母线,绕x轴旋转而成的曲面方程为