22特殊三角形复习课

第22课特殊三角形基础知识自主学习1．等腰三角形：(1)性质：相等，相等，底边上的高线、中线、顶角的角平分线“三线合一”；(2)判定：有两边相等、两角相等或两线合一的三角形是等腰三角形．2．等边三角形：(1)性质：相等，三内角都等于；(2)判定：三边相等、三内角相等或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．要点梳理两腰两底角三边60°3．直角三角形：在△ABC中，∠C＝90°.(1)性质：边与边的关系：(勾股定理)a2＋b2＝；(2)角与角的关系：∠A＋∠B＝；(3)边与角的关系：若∠A＝30°，则a＝c，b＝c；若a＝c，则∠A＝30°；若∠A＝45°，则a＝b＝c；若a＝c，则∠A＝45°；斜边上的中线m＝c＝R.其中R为三角形外接圆的半径．(4)判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形；如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．c290°[难点正本疑点清源]1．等腰三角形的特殊性“等边对等角”是今后我们证明角相等的又一个重要依据．“等角对等边”可以判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据．等边三角形是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，等边三角形拥有等腰三角形的所有性质，但不分顶角、底角、腰、底边．因为等边三角形任何一个角都为60°，任何一条边都可看做腰或底边．解答等腰三角形的有关问题时，常作辅助线，构造出“三线合一”的基本图形．在添加辅助线时，要根据具体情况而定，表达辅助线的语句，不能限制条件过多，如一边上的高并且要平分这条边；作一边上的中线并且垂直平分这条边；作一个角的平分线并且垂直对边等等，这些都是不正确的．2．直角三角形的特殊性直角三角形是重要的基本图形之一，它的特征和识别应用非常广泛，把勾股定理运用到实际生活中解决实际问题，常常渗透着数形结合、方程思想．在利用勾股定理时，一定要看清题中所给的条件是不是直角三角形，所给的边是直角边还是斜边，如果题目无法确定是直角边还是斜边，则需要分类讨论．勾股定理的逆定理是把数转化为形，是通过计算判定一个三角形是否为直角三角形．实际问题可根据实际情况转化为直角三角形去解，图中无直角时，可通过添加辅助线来构造直角三角形．若图形中有特殊角，如30°、45°、60°的角，在作辅助线时，要注意保留其完整性，以便应用特殊三角形的性质．基础自测1．(2011·济宁)如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长是()A．15cmB．16cmC．17cmD．16cm或17cm答案D解析这个三角形的周长是5＋5＋6＝16或6＋6＋5＝17.2．(2011·铜仁)下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是()A．等腰三角形两底角相等B．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合C．等腰三角形是中心对称图形D．等腰三角形是轴对称图形答案C解析等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．3．(2011·芜湖)如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为()A．2B．4C．3D．4答案B解析在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，可得AD＝BD，易证△BDF≌△ADC，所以DF＝CD＝4.4．(2011·凉山)如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于()A.1013B.1513C.6013D.7513解析连接AD.∵AC＝AB＝13，D为BC中点，∴AD⊥BC.在Rt△ABD中，BD＝12BC＝5，∴AD＝132－52＝12.又∵S△ABD＝12BD·AD＝12AB·DE，∴DE＝AD·BDAB＝5×1213＝6013.答案C5．(2011·鸡西)如图，在Rt△ABC中，AB＝CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连结DE、EF.下列结论：①tan∠ADB＝2；②图中有4对全等三角形；③若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；④BD＝BF；⑤S四边形DFOE＝S△AOF，上述结论中正确的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个答案C解析沿AD折叠，有△ABD≌△AED，BD＝ED，∠AED＝∠ABD＝90°.若设BD＝ED＝a，则CD＝2a，AB＝BC＝a＋2a，所以tan∠ADB＝ABBD＝a＋2aa＝1＋2，结论①错误；图中有△ABO≌△CBO，△ABD≌△AED，△ABF≌△AEF，△BDF≌△EDF共4对全等三角形；画DG∥AB交于AC于G，△DEG是等腰直角三角形，△DEF沿EF折叠，点D一定落在AC上，结论③错误；AD平分∠BAC，∠BAD＝22.5°，∠BDA＝67.5°，∠BFD＝22.5°＋45°＝67.5°，BF＝BD；S四边形DFOE＝S△DEF＋△OEF＝12a·a·sin45°＋12a·22a·sin45°＝24a2＋14a2，S△AOF＝1222a＋a·22a＝14a2＋24a2，S四边形DFOE＝S△AOF；结论②④⑤正确.题型分类深度剖析【例1】(1)方程x2－9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为()A．12B．12或15C．15D．不能确定答案C解析解方程x2－9x＋18＝0，得x1＝3，x2＝6，周长为3＋6＋6＝15，应选C.(2)如果等腰三角形的一个内角是80°，那么顶角是________度．答案80或20解析顶角是80°，或当底角是80°时，顶角是180°－2×80°＝20°.探究提高在等腰三角形中，如果没有明确底边和腰，某一边可以是底，也可以是腰．同样，某一角可以是底角也可以是顶角，必须仔细分类讨论．题型一等腰三角形有关边角的讨论知能迁移1(1)(2011·株洲)如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC.①求∠ECD的度数；②若CE＝5，求BC长．解①解法一：∵DE垂直平分AC，∴CE＝AE，∠ECD＝∠A＝36°.解法二：∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝90°.又∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE，∠ECD＝∠A＝36°.②解法一：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°.∵∠ECD＝∠A＝36°，∴∠BCE＝∠ACB－∠ECD＝36°，∴∠BEC＝180°－36°－72°＝72°＝∠B，∴BC＝EC＝5.解法二：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∴∠BEC＝∠A＋∠ECD＝72°，∴∠BEC＝∠B，∴BC＝EC＝5.(2)(2011·烟台)等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为___________________．答案4或6解析①等腰三角形的底边为4；②等腰三角形的两腰为4时，则底边等于14－4－4＝6.题型二等腰三角形的性质【例2】如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，且AE＝BF，试判断△DEF的形状．解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！解：连接AD，在等腰Rt△ABC中，∵AD是中线，∴AD⊥BC，∠DAE＝∠BAC＝45°，AD＝BD.又∵∠B＝∠C＝45°，∴∠B＝∠DAE.[2分]在△BDF和△ADE中，∴△BDF≌△ADE(SAS)．[4分]∴DF＝DE，∠1＝∠2.又∵∠3＋∠1＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，即∠EDF＝90°.∴△DEF也是等腰直角三角形．[6分]探究提高作等腰三角形的底边中线，构造等腰三角形“三线合一”的基本图形，是常见的辅助线的作法之一．知能迁移2已知：如图，D是等腰△ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF.当D点在什么位置时，DE＝DF？并加以证明．解当点D在BC的中点时，DE＝DF.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴DE＝DF.题型三等边三角形【例3】(1)已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的度数．解∵AP＝PQ＝AQ，∴△APQ是等边三角形．∴∠PAQ＝60°，∠APQ＝60°.∵AP＝BP，∴∠B＝∠BAP＝×60°＝30°.同理：∠C＝∠CAQ＝30°，∴∠BAC＝30°＋60°＋30°＝120°.(2)(2010·大兴安岭)如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC.其中正确结论的个数()A．1个B．2个C．3个D．4个答案D解析由△BCD≌△ACE，可得①AE＝BD成立；由△ACG≌△BCF，可得②AG＝BF成立；∵△ACG≌△BCF，∴CG＝CF，又∠ACD＝60°，∴△FCG是等边三角形，∴∠CFG＝60°＝∠ACB，∴③FG∥BE成立；过C画CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别是M、N，∵△BCD≌△ACE，∴CM＝CN，∴点C在∠BOE的角平分线上，OC平分∠BOE，即④∠BOC＝∠EOC成立．探究提高在解题的过程中要充分利用等边三角形特有的性质，每个角都相等，每条边都相等，这可以让我们轻松找到证明全等所需的条件．知能迁移3如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F.(1)求证：AD＝CE；(2)求∠DFC的度数．解(1)在等边△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝∠CBA＝60°，又BD＝AE，∴△ABD≌△CAE，∴AD＝CE.(2)∵△ABD≌△CAE，∴∠BAD＝∠ECA.∵∠DFC是△AFC的外角，∴∠DFC＝∠ECA＋∠DAC＝∠BAD＋∠DAC＝∠BAC＝60°.题型四直角三角形、勾股定理【例4】(1)如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上，且l1、l2之间的距离为2，l2、l3之间的距离为3，则AC的长是()A．2B．2C．4D．7答案A解析分别过A、C画AD⊥l3，CE⊥l3，垂足分别为D、E，易证明△ABD≌△BCE，所以AD＝BE＝3，BD＝CE＝3＋2＝5.在Rt△ABD中，AB＝32＋52＝34，在Rt△ABC中，AB＝BC，所以AC＝2AB＝2×34＝217.应选A.(2)如图，在钝角三角形ABC中，BC＝9，AB＝17，AC＝10，AD⊥BC，交BC的延长线于D，求AD的长．探究提高在线段的长无法直接求出时，可利用另一线段把这一线段表示出来，然后利用勾股定理得到一个方程，最后得解，这是利用勾股定理解决线段长的常用方法．解在Rt△ABD中，设CD＝x，则AD2＝AB2－BD2＝172－(9＋x)2.在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2＝102－x2，∴172－(9＋x)2＝102－x2，解得x＝6，∴在Rt△ACD中，AD＝102－62＝8.答：AD的长是8.知能迁移4(1)如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5和11，则b的面积为()A．4B．6C．16D．55答案C(2)(2011·鸡西)已知三角形相邻两边长分别为20cm和30cm，第三边上的高为10cm，则此三角形的面积为__________cm2.答案(1002＋503)或(1002－503)解析如图①，在Rt△ABD中，AB＝30，AD＝10，则BD＝302－102＝800＝202，在Rt△ACD中，AC＝20，AD＝10，则CD＝202－102＝300＝103，∴BC＝202＋103.∴S△ABC＝12BC·AD＝12(202＋103)×10＝1002＋503.如图②，同理可得BC＝202－103，∴S△ABC＝12BC·AD＝12(202－103)×10＝1