习课件——导数的应用(三次函数)

三次函数---导数应用中一颗璀璨的明珠复习回顾例题精讲课堂小结课后思考三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)其导数为f´(x)=3ax2+2bx+c(a≠0)导函数的判别式为△=4b2-12acx1x1x2三次函数---导数应用中一颗璀璨的明珠x2△≤0a0a0△0a0a0三次函数的单调性与极值①a0,△≤0时，f(x)在R上是单调递增的.②a0,△≤0时，f(x)在R上是单调递减的.③a0,△0时，f(x)在(-∞,x1)↑,(x1,x2)↓(x2,+∞)↑.④a0,△0时，f(x)在(-∞,x1)↓,(x1,x2)↑,(x2,+∞)↓.①a0,△≤0时，f(x)在R上无极值.②a0,△≤0时，f(x)在R上无极值.③a0,△0时，f(x)在x=x1,处有极大值，在x=x2有极小值.④a0,△0时，f(x)在x=x1,处有极小值，在x=x2有极大值.三次函数---导数应用中一颗璀璨的明珠△≤0a0a0△0a0a0三次方程的根与交点问题△≤0a0a0△0a0a0f(x)=0有且仅有一个实根，y=f(x）与x轴有且仅有一个交点。f(x)的极大值小于0或极小值大于0f(x)=0有且仅有一个实根。f(x)的极大值等于0或极小值等于0f(x)=0有且仅有三个实根，y=f(x）与x轴有且仅有两个交点。f(x)的极大值大于0且极小值小于0，f(x)=0有且仅有三个不等实根。y=f(x）与x轴有且仅有三个交点。三次函数的切线问题与对称中心过点（m,n)引直线与y=f(x)的图像相切的直线的条数问题。可转化为关于x1的三次方程n-f(x1）=f(x1)(m-x1)的不同根的个数问题。三次函数的对称中心为(-b/(3a),f(-b/(3a))过三次曲线的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且仅有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点与该三次曲线相切的直线有二条.三次函数的图像三次函数的图像三次函数---导数应用中一颗璀璨的明珠例题1、函数y＝f(x）=x3+ax2+bx+a2在x=1时,有极值10,那么a,b的值为.例1.解：.3b3a11b4a或对吗？我来画图看看反思:极值存在的条件是什么呢？例题2、已知函数232()4()3fxxaxxxR在区间1,1上是增函数，求实数a的取值范围．解：2()422fxaxx，因为fx在区间1,1上是增函数，所以()0≥fx对1,1x恒成立，即220≤xax对1,1x恒成立，解之得：11≤≤a所以实数a的取值范围为1,1．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则()0fx≥；若函数单调递减，则()0fx≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．例3．设a为实数,函数f(x）=x3-x2-x+a(1)求f(x)的极值.(2)当a在什么范围内取值时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.(1)f(x)的极大值是f(-1/3)=5/27+5,极小值是f(1)=a-1.(2)当a(-∞,-5/27)U(1,+∞)时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.例4.已知曲线C:y=4ax3+x,过点Q(0,-1)作C的切线l,切点为P.(1)求证：不论a怎样变化,点P总在一条定直线上;(2)若a0,过点P且与l垂直的直线与x轴交于点T,求|OT|的最小值(O为原点).(1)切点Ｐ总在直线y=x+1/2上(2)|OT|的最小值为2+6.解:⑴143)(2xxxf0)(xf令解得31121xx或当x变化时，)()(xfxf、的变化情况如下：∴当x=-1时，)(xf取得极大值为4；当31x时，)(xf取得极小值为27112.例题5、已知函数8)(42)(223xaxxgxxxxf，.⑴求函数)(xf的极值；⑵若对任意的，0x都有()()≥fxgx，求实数a的取值范围.⑵设4)2()()()(23xaxxgxfxFmin()00()00FxFxx在，恒成立，，≥≥若04)(02minxFa，显然;若xaxxFa)24(3)(022，34200)(axxxF，，解得令当2403ax时,()0;Fx当243ax时,()0;Fx∴当0x，时,32min242424()0(2)40333aaaFxFa即≥≥525aa解不等式得，≤≤4)(0xFx时，当满足题意.综上所述a的取值范围为，5已知函数8)(42)(223xaxxgxxxxf，.⑴求函数)(xf的极值；⑵若对任意的，0x都有()()≥fxgx，求实数a的取值范围.课堂小结导数及其应用函数的单调性极值与最值切线问题三次函数三次函数的图象三次函数的性质与三次方程的关系导数感悟数学发现数学应用数学三次函数---导数应用中一颗璀璨的明珠思考题：三次函数---导数应用中一颗璀璨的明珠已知数列{an}满足2an+1=-an3+3an(n∈N*),且a1=1/2.(1)证明：0an1；(2)比较an与an+1的大小；(3)是否存在正实数c,使得对一切n∈N*恒成立？若存在，则求出c的取值范围；否则说明理由。02nnacac三次函数满意多多,惊喜多多!